高中数学人教a版选修1-2学业分层测评7反证法word版含解析

高中数学人教a版选修1-2学业分层测评7反证法word版含解析

学业分层测评 (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确 的是( ) A．有两个内角是钝角 B．有三个内角是钝角 C．至少有两个内角是钝角 D．没有一个内角是钝角 【解析】 “最多有一个”的反设是“至少有两个”，故选 C. 【答案】 C 2．下列命题错误的是( ) A．三角形中至少有一个内角不小于 60° B．四面体的三组对棱都是异面直线 C．闭区间[a，b]上的单调函数 f(x)至多有一个零点 D．设 a，b∈Z，若 a，b 中至少有一个为奇数，则 a＋b 是奇数 【解析】 a＋b 为奇数⇔a，b 中有一个为奇数，另一个为偶数，故 D 错误． 【答案】 D 3．“自然数 a，b，c 中恰有一个偶数”的否定正确的为( ) 【导学号：19220029】 A．a，b，c 都是奇数 B．a，b，c 都是偶数 C．a，b，c 中至少有两个偶数 D．a，b，c 中都是奇数或至少有两个偶数 【解析】 自然数 a，b，c 的奇偶性共有四种情形：(1)3 个都是奇数；(2)2 个奇数，1 个偶数；(3)1 个奇数，2 个偶数；(4)3 个都是偶数．所以否定正确的 是 a，b，c 中都是奇数或至少有两个偶数． 【答案】 D 4．设 x，y，z 都是正实数，a＝x＋1 y ，b＝y＋1 z ，c＝z＋1 x ，则 a，b，c 三个 数( ) A．至少有一个不大于 2 B．都小于 2 C．至少有一个不小于 2 D．都大于 2 【解析】 若 a，b，c 都小于 2，则 a＋b＋c<6，① 而 a＋b＋c＝x＋1 x ＋y＋1 y ＋z＋1 z ≥6，② 显然①，②矛盾，所以 C 正确． 【答案】 C 5．(2016·温州高二检测)用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直 角”的过程归纳为以下三个步骤：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C>180°，这与三角形 内角和为 180°相矛盾，A＝B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设三角形的三个内角 A，B，C 中有两个直角，不妨设 A＝B＝90°，正确顺 序的序号为( ) A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①② 【解析】 根据反证法的步骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定 假设，从而肯定结论． 【答案】 D 二、填空题 6．(2016·南昌高二检测)命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边 形或五边形”的结论的否定是__________________． 【解析】 “至少有一个”的否定是“没有一个”． 【答案】 任意多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形 7．(2016·汕头高二检测)用反证法证明命题“如果 a>b，那么3 a>3 b”时， 假设的内容应是________． 【解析】 3 a与3 b的关系有三种情况：3 a>3 b，3 a＝3 b和3 a<3 b，所以 “3 a>3 b”的反设应为“3 a＝3 b或3 a<3 b”． 【答案】 3 a＝3 b或3 a<3 b 8．(2016·石家庄高二检测)设 a，b 是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1； ②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2. 其中能推出“a，b 中至少有一个大于 1”的条件是________(填序号)． 【解析】 若 a＝1 3 ，b＝2 3 ，则 a＋b＝1，但 a<1，b<1，故①不能推出．若 a＝b＝1，则 a＋b＝2，故②不能推出． 若 a＝－2，b＝1，则 a2＋b2>2，故④不能推出． 对于③，即 a＋b>2，则 a，b 中至少有一个大于 1. 反证法：假设 a≤1 且 b≤1，则 a＋b≤2 与 a＋b>2 矛盾，因此假设不成立， 故 a，b 中至少有一个大于 1. 【答案】 ③ 三、解答题 9．已知 x∈R，a＝x2＋1 2 ，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明：a，b，c 至少有 一个不小于 1. 【导学号：19220030】 【证明】 假设 a，b，c 均小于 1，即 a<1，b<1，c<1，则有 a＋b＋c<3. 而与 a＋b＋c＝2x2－2x＋1 2 ＋3＝2 x－1 2 2＋3≥3 矛盾，故假设不成立，即 a， b，c 至少有一个不小于 1. 10．已知三个正数 a，b，c 成等比数列，但不成等差数列，求证： a， b， c不成等差数列． 【证明】 假设 a， b， c成等差数列，则 a＋ c＝2 b，两边同时平 方得 a＋c＋2 ac＝4b. 把 b2＝ac 代入 a＋c＋2 ac＝4b，可得 a＋c＝2b，即 a，b，c 成等差数列， 这与 a，b，c 不成等差数列矛盾． 所以 a， b， c不成等差数列． [能力提升] 1．有以下结论： ①已知 p3＋q3＝2，求证 p＋q≤2，用反证法证明时，可假设 p＋q≥2； ②已知 a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程 x2＋ax＋b＝0 的两根的绝对值都小于 1，用反证法证明时可假设方程有一根 x1 的绝对值大于或等于 1，即假设|x1|≥1. 下列说法中正确的是( ) A．①与②的假设都错误 B．①与②的假设都正确 C．①的假设正确；②的假设错误 D．①的假设错误；②的假设正确 【解析】 用反证法证题时一定要将对立面找准．在①中应假设 p＋q>2， 故①的假设是错误的，而②的假设是正确的． 【答案】 D 2．已知命题“在△ABC 中，A≠B.求证 sin A≠sin B”．若用反证法证明， 得出的矛盾是( ) A．与已知条件矛盾 B．与三角形内角和定理矛盾 C．与已知条件矛盾且与三角形内角和定理矛盾 D．与大边对大角定理矛盾 【解析】 证明过程如下：假设 sin A＝sin B，因为 02，与②相矛盾． 故数列{cn}不是等比数列．