数学北师大版（2019）必修第二册：4-3-1 二倍角公式 学案与作业

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§3 二倍角的三角函数公式 3.1 二倍角公式 (15 分钟 35 分) 1.(2020·成都高一检测)设单位向量 e= ,则 cos 2α的值为 ( ) A. B.- C.- D. 【 解 析 】 选 A. 由 题 设 可 得 cos2α+ =1 ⇒ cos2α= , 则 cos 2α=2cos2α-1= . 2.已知 sin 2θ=- ,则 tan θ+ =( ) A. B.- C. D.- 【解析】选 D.因为 sin 2θ=2sin θcos θ=- , 所以 sin θcos θ=- , 所以 tan θ+ = + = = =- . 【补偿训练】 设 sin α= ,tan(π-β)= , 则 tan(α-2β)=( ) A.- B. - C. D. 【解析】选 D.因为 sin α= ,α∈ , 所以 cos α=- ,所以 tan α=- . 又 tan(π-β)= ,所以 tan β=- , 所 以 tan 2β= =- . 所 以 tan(α-2β)= = = . 3.(2020·大理高一检测)已知角α+ 的终边与单位圆 x2+y2=1 交于 P ,则 sin 2α等于( ) A.- B.- C. D. 【解析】选 A.由任意角三角函数定义可得 sin = ,则 sin 2α=-cos =2sin2 -1=- . 4.已知 tan α= ,则 cos2α+sin 2α的结果为________. 【解析】因为 tan α= ,所以 = , 即 2sin α=cos α, 所以 sin2α+cos2α= cos2α+cos2α=1, 即 cos2α= ,所以 cos2α+sin 2α=cos2α+2sin α·cos α=2cos2α= . 答案: 5.(2020·广州高一检测)若 sin = ,则 cos =________. 【 解 析 】 已 知 sin = , 且 + = , 则 cos =sin = ,故 cos =2cos2 -1=- . 答案:- 6.(2020·宁波高一检测)已知函数 f(x)= 2sin x( cos x+sin x)-1. (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)若 f = ,求 sin 的值. 【 解 析 】 (1)f(x)=2 sin xcos x+2sin2x-1= sin 2x-cos 2x=2sin , 令- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z,解得- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z, 故单调递增区间为 (k∈Z). (2)由 f = 得 sin = , 则 sin =sin =cos =1-2sin2 = . (30 分钟 60 分) 一、单选题(每小题 5 分,共 20 分) 1.若 sin α+cos α= ,0<α<π,则 sin 2α+cos 2α=( ) A. B. C. D. 【解析】选 A.因为 sin α+cos α= ,① 所以 1+2sin αcos α= , 即 2sin αcos α=sin 2α=- , 所以 1-2sin αcos α=(sin α-cos α)2= . 因为 sin αcos α<0,且 0<α<π, 所以 sin α>0,cos α<0, 所以 sin α-cos α= .② ①×②变形得 cos2α-sin2α=cos 2α=- , 所以 sin 2α+cos 2α=- - = . 2.(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0,π),且 3cos 2α-8cos α=5,则 sin α=( ) A. B. C. D. 【解析】选 A.由 3cos 2α-8cos α=5, 得 6cos2α-8cos α-8=0, 即 3cos2α-4cos α-4=0, 解得 cos α=- 或 cos α=2(舍去), 又因为α∈(0,π),所以 sin α= = . 【补偿训练】 (2020· 合 肥 高 一 检 测 ) 若 cos = , 则 cos =( ) A.- B. C.- D. 【解析】选 C.cos =cos =cos =cos =2cos2 -1=2× -1=- . 3.(2020· 石 家 庄 高 一 检 测 ) 若 角 α∈ ,β∈ , sin β=cos -sin ,sin α= ,则 cos β=( ) A. B. C. D. 【解析】选 A.由题意可得 sin β=sin . 因为 - ∈ ,β∈ , 所以 - =β,则 2β= -α, 所以 cos 2β=cos =sin α= , 又 cos 2β=2cos2β-1= ,解得 cos2β= , 又β∈ ,所以 cos β= . 4.(2020·合肥高一检测)已知函数 f(x)=sin(x+φ+θ)的图象关于直 线 x=π对称,其中 0<φ<π,- <θ<0,且 tan θ=-2,则 sin 2φ的值为 ( ) A. B. C.- D.- 【解析】选 D.因为函数 f(x)=sin(x+φ+θ)的图象关于直线 x=π对称, 所以由正弦函数的图象与性质可知π+φ+θ= +kπ,k∈Z, 则θ=- -φ+kπ,k∈Z, 所以 tan θ=tan =tan =-2, 即 tan =2, 故 =2, 化 简 得 cos φ=-2sin φ, 又 sin2φ+cos2φ=1 ,解得 sin2φ= , 因为 0<φ<π,所以 sin φ>0,则 sin φ= ,而由 cos φ=-2sin φ,可 得 cos φ= , 所以 sin 2φ=2sin φcos φ=2× × =- . 二、多选题(每小题 5 分,共 10 分,全部选对得 5 分,选对但不全的得 3 分,有选错的得 0 分) 5.(2020·盐城高一检测)下列各式中,值为 的是( ) A.sin 15°cos 15° B.cos2 -sin2 C. D. 【解析】选 CD.因为 sin 15°cos 15°= sin 30° = × = ,所以 A 不正确; 因为 cos2 -sin2 =cos = ,所以 B 不正确; 因为 = × = tan 60°= ,所以 C 正确; 因为 = = ,所以 D 正确. 6.在△ABC 中,若 acos A=bcos B,则△ABC 的形状可能为( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 【解析】选 ABCD.根据正弦定理 = , 因为 acos A=bcos B, 所以 sin Acos A=sin Bcos B, 即 sin 2A=sin 2B. 因为 2A,2B∈(0,2π), 所以 2A=2B 或 2A+2B=π,即 A=B 或 A+B= , 所以△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三 角形. 三、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 7. 函 数 y=sin xcos x+ cos2x- 的 图 象 的 一 个 对 称 中 心 为 ________. 【解析】y= sin 2x+ (1+cos 2x)- = sin 2x+ cos 2x- =sin - , 令 2x+ =kπ,x= - (k∈Z), 当 k=1 时,x= ,对称中心是 ; 当 k=2 时,x= ,对称中心是 . 答案: (答案不唯一) 【补偿训练】 已知函数 f(x)= cos2x-sin xcos x- ,则 f =________;函数 f(x)在 上的值域为________. 【解析】由题可知 f(x)= cos2x-sin xcos x- , 则 f(x)= - sin 2x- = cos 2x- sin 2x, 所以 f(x)=cos , 则 f =cos =0, 因为 x∈ ,所以 2x+ ∈ , 又 函数 y=cos t 在 上 单调 递 减 ,在 上 单调 递 增 ,当 2x+ =π, 即 x= 时,f(x)min=cos π=-1. 当 2x+ = , 即 x=0 时,f(x)max=cos = . 所以函数 f(x)在 上的值域为 . 答案:0 8. 已 知 cos = , 0, 所以 tan = , 则 tan α= =- . 2.在△ABC 中,设向量 m=(sin A,cos B),n=(sin B,cos A)且 m∥n,m≠n. (1)求证:A+B= . (2)求 sin A+sin B 的取值范围. (3)若(sin Asin B)x=sin A+sin B,试确定实数 x 的取值范围. 【解析】(1)因为向量 m=(sin A,cos B),n=(sin B,cos A)且 m∥n, 所以 sin Acos A-sin Bcos B=0,即 sin 2A=sin 2B,解得 2A=2B 或 2A+2B=π, 化简可得 A=B,或 A+B= ,但 A=B 时有 m=n,与已知矛盾,故舍去,故有 A+B= . (2)由(1)可知 A+B= ,故 sin A+sin B =sin A+sin =sin A+cos A = sin , 因为 0

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