【数学】2018届一轮复习人教A版（理）4-3两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（理）4-3两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式学案

‎§4.3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式 考纲展示►　‎ ‎1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．‎ ‎2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．‎ ‎3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．‎ 考点1　三角函数公式的基本应用 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝________________；‎ cos(α∓β)＝________________；‎ tan(α±β)＝.‎ 答案：sin αcos β±cos αsin β cos αcos β±sin αsin β ‎2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝________________；‎ cos 2α＝______________＝______________＝______________；‎ tan 2α＝.‎ 答案：2sin αcos α　cos2α－sin2α　2cos2α－1　‎ ‎1－2sin2α ‎(1)[教材习题改编]计算：sin 108°cos 42°－cos 72°sin 42°＝________.‎ 答案： ‎(2)[教材习题改编]已知cos α＝－，α∈，则sin的值是________．‎ 答案： 解析：因为cos α＝－，α∈，所以sin α＝，所以sin＝sin αcos＋cos αsin＝×＋×＝.‎ 公式使用中的误区：角的范围；公式的结构．‎ ‎(1)若函数f(α)＝，则α满足2tan α≠1，且α≠________.‎ 答案：kπ＋(k∈Z)‎ 解析：要使函数f(α)＝有意义，则1－2tan α≠0，tan α有意义，所以2tan α≠1，则α≠kπ＋(k∈Z)．‎ ‎(2)化简：sin x－cos x＝________.‎ 答案：sin 解析：sin x－cos x＝cos sin x－sin cos x＝sin.‎ ‎[典题1]　(1)[2017·江西新余三校联考]已知cos＝－，则sin的值为(　　)‎ A. B. C．± D．± ‎[答案]　C ‎[解析]　因为cos ‎＝cos＝，‎ 所以有sin2＝×＝，‎ 从而求得sin的值为±，故选C.‎ ‎(2)已知cos θ＝－，θ∈，则sin的值为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　由cos θ＝－，θ∈得 sin θ＝－＝－，‎ 故sin＝sin θcos －cos θsin ‎＝－×－× ‎＝.‎ ‎(3)设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，‎ ‎∴cos α＝－.‎ 又α∈，∴sin α＝，tan α＝－，‎ ‎∴tan 2α＝＝－＝.‎ ‎[点石成金]　三角函数公式的应用策略 ‎(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．‎ ‎(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．‎ 考点2　三角函数公式的逆用与变形应用 公式的常用变形 ‎(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(________)；‎ ‎(2)________＝，________＝；‎ ‎(3)1＋sin 2α＝(________)2,1－sin 2α＝(________)2，________＝sin.‎ 答案：(1)1∓tan αtan β　(2)cos2α　sin2α ‎(3)sin α＋cos α　sin α－cos α　sin α±cos α ‎(1)[教材习题改编]计算：sin 43°cos 13°－sin 13°cos 43°＝________.‎ 答案： 解析：原式＝sin(43°－13°)＝sin 30°＝.‎ ‎(2)[教材习题改编]已知sin θ＝，θ为第二象限角，则sin 2θ的值为________．‎ 答案：－ 解析：∵sin θ＝，θ为第二象限角，‎ ‎∴cos θ＝－，‎ ‎∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝－.‎ 辅助角公式．‎ ‎(1)函数f(x)＝sin x＋cos x的最大值为________．‎ 答案： 解析：sin x＋cos x＝ ‎＝sin≤ .‎ ‎(2)一般地，函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝________或f(α)＝________.‎ 答案：sin(α＋φ)　cos(α－φ)‎ 解析：一般地，函数f(x)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ).‎ ‎[典题2]　(1)[2017·贵州贵阳监测]已知sin＋sin α＝，则sin的值是(　　)‎ A．－ B. C. D．－ ‎[答案]　D ‎[解析]　∵sin＋sin α＝，‎ ‎∴sin cos α＋cos sin α＋sin α＝，‎ ‎∴sin α＋cos α＝，‎ 即sin α＋cos α＝.‎ 故sin＝sin αcos ＋cos αsin ‎＝－＝－.‎ ‎(2)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为(　　)‎ A．－ B. C. D．－ ‎[答案]　B ‎[解析]　由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，‎ 可得＝－1，‎ 即tan(A＋B)＝－1，‎ 又A＋B∈(0，π)，‎ 所以A＋B＝，‎ 则C＝，cos C＝.‎ ‎(3)[2017·陕西西安模拟]计算：－sin 10°·＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　原式＝－sin 10°·‎ ‎＝－ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝.‎ ‎[点石成金]　三角函数公式活用的技巧 ‎(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．‎ ‎(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．‎ ‎(3)注意切化弦思想的运用.‎ ‎1.已知sin＝，则cos的值是(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 答案：D 解析：∵sin＝，‎ ‎∴cos＝cos ‎＝1－2sin2＝，‎ ‎∴cos＝cos ‎＝cos ‎＝－cos＝－.‎ ‎2．化简：(0＜α＜π)＝________.‎ 答案：cos α 解析：原式＝‎ ‎＝ ‎＝.‎ 因为0＜α＜π，所以0＜＜，‎ 所以cos ＞0，所以原式＝cos α.‎ 考点3　角的变换 ‎ 　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 角的变换技巧 ‎2α＝(α＋β)＋(α－________)；‎ α＝(α＋________)－β；β＝________；‎ ＝________.‎ 答案：β　β　－　－‎ ‎[典题3]　已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－.‎ ‎(1)求sin(α－β)的值；‎ ‎(2)求cos β的值．‎ ‎[解]　(1)∵α，β∈，‎ ‎∴－<α－β<.‎ 又tan(α－β)＝－<0，‎ ‎∴－<α－β <0.‎ ‎∴sin(α－β)＝－.‎ ‎(2)由(1)可得，cos(α－β)＝.‎ ‎∵α为锐角，且sin α＝，‎ ‎∴cos α＝.‎ ‎∴cos β＝cos [α－(α－β)]‎ ‎＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)‎ ‎＝×＋× ‎＝ .‎ ‎[题点发散1]　在本例条件下，求sin(α－2β)的值．‎ 解：∵sin(α－β)＝－，cos(α－β)＝，‎ cos β＝，sin β＝.‎ ‎∴sin(α－2β)＝sin [(α－β)－β]‎ ‎＝sin(α－β)cos β－cos(α－β)sin β ‎＝－.‎ ‎[题点发散2]　若本例中“sin α＝”变为“tan α＝”，其他条件不变，求tan(2α－β)的值．‎ 解：∵tan α＝，tan(α－β)＝－，‎ ‎∴tan(2α－β)＝tan ‎＝ ＝＝.‎ ‎[点石成金]　利用角的变换求三角函数值的策略 ‎(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；‎ ‎(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.‎ 已知0<β<<α<π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值．‎ 解：∵0<β <<α<π，‎ ‎∴<α－<π，‎ ‎－<－β<，‎ ‎∴sin＝＝，‎ cos＝＝，‎ ‎∴cos ＝cos ‎＝coscos＋sinsin ‎＝×＋×＝，‎ 则由二倍角公式，可得 cos(α＋β)＝2cos2－1＝－.‎ ‎ 真题演练集训 ‎ ‎1．[2015·新课标全国卷Ⅰ]sin 20°cos 10°－cos 160°·sin 10°＝(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 答案：D 解析：sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°·cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝，故选D.‎ ‎2．[2016·四川卷]cos2－sin2＝________.‎ 答案： 解析：由二倍角公式，得 cos2 －sin2 ＝cos＝.‎ ‎3．[2015·四川卷]sin 15°＋sin 75°的值是________．‎ 答案： 解析：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°‎ ‎＝ ‎＝(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)‎ ‎＝sin 60°＝×＝.‎ ‎4．[2015·江苏卷]已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为________．‎ 答案：3‎ 解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝ ‎＝＝3.‎ ‎ 课外拓展阅读 ‎ 三角恒等变换的综合问题 ‎1．三角恒等变换与三角函数性质的综合应用 利用三角恒等变换先将三角函数式转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再求其周期、单调区间、最值等，一直是高考的热点．‎ ‎[典例1]　[改编题]已知函数f(x)＝2sin ωx－4sin2＋2＋a(其中ω>0，α∈R)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为2.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)若f(x)在区间[6,16]上的最大值为4，求a的值．‎ ‎[解]　(1)f(x)＝2sin ωx－4sin2＋2＋a＝2sin＋a，‎ 由题意，知2ω＋＝，得ω＝.‎ 所以最小正周期T＝＝16.‎ ‎(2)f(x)＝2sin＋a，‎ 因为x∈[6,16]，所以x＋∈.‎ 由图象可知(图略)，当x＋＝，‎ 即当x＝16时， f(x)的最大值，‎ 由2sin ＋a＝4，得a＝2.‎ ‎2．三角恒等变换与三角形的综合 三角恒等变换经常出现在解三角形中，与正弦定理、余弦定理相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等，是高考热点内容．‎ 根据所给条件解三角形时，主要有两种途径：‎ ‎(1)利用正弦定理把边的关系化成角，因为三个角之和等于π，可以根据此关系把未知量减少，再用三角恒等变换化简求解；‎ ‎(2)利用正弦、余弦定理把边的关系化成角的关系，再用三角恒等变换化简求解．‎ ‎[典例2]　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.‎ ‎(1)求C；‎ ‎(2)设cos Acos B＝，＝，求tan α的值．‎ ‎[解]　(1)因为a2＋b2＋ab＝c2，‎ 由余弦定理，得cos C＝＝＝－.故C＝.‎ ‎(2)由题意，得 ＝，‎ 因此(tan αsin A－cos A)(tan αsin B－cos B)＝，‎ tan2αsin Asin B－tan α(sin Acos B＋cos Asin B)＋cos Acos B＝，‎ tan2αsin Asin B－tan αsin(A＋B)＋cos Acos B＝.①‎ 因为C＝，A＋B＝，‎ 所以sin(A＋B)＝.‎ 因为cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，‎ 即－sin Asin B＝，‎ 解得sin Asin B＝－＝.‎ 由①得tan2α－5tan α＋4＝0，‎ 解得tan α＝1或tan α＝4.‎ ‎3．三角恒等变换与向量的综合 三角恒等变换与向量的综合问题是高考中经常出现的问题，一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，往往是两向量平行或垂直的计算，即令a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，a∥b⇔x1y2＝x2y1，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0，把向量形式化为坐标运算后，接下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数、解三角形等知识的运用．‎ ‎[典例3]　已知△ABC为锐角三角形，若向量p＝(2－2sin A，cos A＋sin A)与向量q＝(sin A－cos A,1＋sin A)，是共线向量．‎ ‎(1)求角A；‎ ‎(2)求函数y＝2sin2B＋cos 的最大值．‎ ‎[思路分析]　(1)→ → ‎(2)→ ‎[解]　(1)因为p，q共线，所以(2－2sin A)(1＋sin A)＝(cos A＋sin A)(sin A－cos A)，‎ 则sin‎2A＝.‎ 又A为锐角，所以sin A＝，则A＝.‎ ‎(2)y＝2sin2B＋cos ‎＝2sin2B＋cos ‎＝2sin2B＋cos ‎＝1－cos 2B＋cos 2B＋sin 2B ‎＝sin 2B－cos 2B＋1‎ ‎＝sin＋1.‎ 因为B∈，所以2B－∈，‎ 所以当2B－＝时，函数y取得最大值，‎ 解得B＝，ymax＝2.‎