浙江省2021届高考数学一轮复习第五章三角函数解三角形第4节二倍角公式含解析
第4节 二倍角公式
考试要求 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.
知 识 梳 理
二倍角公式
sin 2α＝2sin__αcos__α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，tan 2α＝.
[常用结论与易错提醒]
二倍角公式变形
(1)升降幂公式：cos2α＝；sin2α＝；
sin αcos α＝sin 2α.
(2)配方变形公式：1＋cos 2α＝2cos2α；1－cos 2α＝2sin2α；1±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)二倍角的正弦、余弦公式对任意角都成立.( )
(2)二倍角正切公式左右两端有意义的范围不完全相同.( )
(3)在使左右两端都有意义的条件下，二倍角正切公式才成立.( )
(4)不存在α，使tan 2α＝2tan α.( )
解析 当α＝0时，tan 2α＝2tan α，(4)不正确，如α＝0.
答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2.(2020·金华十校期末调研)已知x∈，sin x＝－，则tan 2x＝( )
A. B.－
C. D.－
解析 因为x∈，sin x＝－，所以cos x＝＝，tan x＝＝－
，则tan 2x＝＝－，故选D.
答案 D
3.若α∈，则＋的值为( )
A.2cos B.－2cos
C.2sin D.－2sin
解析 ∵α∈，∴≤≤，
∴＋＝＋
＝－－＝－2sin.
答案 D
4.已知函数f(x)＝cos2－cos2，则f的值为( )
A. B.－
C. D.－
解析 ∵＋＝，∴cos＝sin，
∴f(x)＝cos2－cos2
＝cos2－sin2
＝cos
＝－sin 2x，
故f＝－sin＝－.
答案 B
5.已知tan＝2，则cos 2α的值是________.
解析 因为tan＝2，所以cos 2α＝－sin＝－＝－＝－.
答案 －
6.若sin θ＝－，tan θ＞0，则cos θ＝__________，tan 2θ＝__________.
解析 由题意知，因为sin θ＜0，tan θ＞0，所以cos θ＜0，又sin2θ＋cos2θ＝1，故cos θ＝－，又由tan θ＝＝，tan 2θ＝，
可知tan 2θ＝.
答案 －
考点一 二倍角公式的正用
【例1】 (1)(2019·全国Ⅱ卷)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )
A. B.
C. D.
(2)已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝( )
A.－ B.－
C. D.
解析 (1)由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝2cos2α.
又α∈，所以2sin α＝cos α，又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝，所以sin α＝.
(2)sin 2α＝2sin αcos α＝＝－.
答案 (1)B (2)A
规律方法 二倍角公式与其他公式应用时注意：“化异为同”，即“化异次为同次，化异角为同角”.
【训练1】 (1)(一题多解)已知α为锐角，且tan α＝，则sin 2α＝( )
A. B.
C. D.
(2)若cos 2α＝2cos，α∈(0，π)，则sin 2α＝________，tan α＝________.
解析 (1)法一 sin 2α＝＝＝＝，故选D.
法二 由α为锐角，且tan α＝，得sin α＝，cos α＝，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，故选D.
(2)cos 2α＝2cos，α∈(0，π)，得cos2α－sin2α＝cos α－sin α，α∈(0，π)，即(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝(cos α－sin α) ①，α∈(0，π)，当cos α－sin α＝0时，α＝；当cos α－sin α≠0时，①式化简为cos α＋sin α＝，α∈(0，π)，即sin＝1，α∈(0，π)，即α＝，综上所述，α＝，则sin 2α＝sin＝1，tan α＝tan＝1.
答案 (1)D (2)1 1
考点二 二倍角公式的逆用
【例2】 (1)4cos 50°－tan 40°＝( )
A. B.
C. D.2－1
(2)cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°＝________.
解析 (1)原式＝4sin 40°－
＝＝
＝＝
＝＝，故选C.
(2)原式＝cos 20°cos 40°··cos 80°
＝
＝
＝
＝
＝.
答案 (1)C (2)
规律方法 利用二倍角公式可对形如cos αcos 2αcos 4α…cos 2nα的式子进行化简和计算.
【训练2】 (1)化简：＝________.
(2)计算：＝________.
解析 (1)原式＝
＝＝
＝＝cos 2α.
(2)原式＝＝
＝＝
＝＝－4.
答案 (1)cos 2α (2)－4
考点三 二倍角公式的变形应用
【例3】 化简下列各式
(1)＋2的化简结果是________.
(2)(0<α<π)＝________.
解析 (1)原式＝＋2
＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|，
因为π<4<π，所以cos 4<0，且sin 4
0，所以原式＝cos α.
答案 (1)－2sin 4 (2)cos α
规律方法 二倍角公式的常见变形有1－cos 2α＝2sin2α，1＋cos 2α＝2cos2α，1±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，及cos2α＝，sin2α＝，sin αcos α＝sin 2α等.
【训练3】 求值：－sin 10°.
解 原式＝－sin 10°
＝－sin 10°·
＝－sin 10°·
＝－2cos 10°＝
＝
＝
＝
＝
＝.
基础巩固题组
一、选择题
1.化简·的结果为( )
A.tan α B.tan 2α
C.1 D.
解析 原式＝·＝＝tan 2α.
答案 B
2.若tan θ＝－，则cos 2θ＝( )
A.－ B.－
C. D.
解析 tan θ＝－，则cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝.
答案 D
3.cos·cos·cos＝( )
A.－ B.－
C. D.
解析 cos·cos·cos＝cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°
＝－
＝－
＝－
＝－＝－＝－.
答案 A
4.化简sin2＋sin2－sin2α的结果是( )
A. B.
C. D.
解析 原式＝＋－sin2α
＝1－－sin2α
＝1－×2cos 2αcos －＝.
答案 C
5.设a＝cos 2°－sin 2°，b＝，c＝，则有( )
A.a＜c＜b B.a＜b＜c
C.b＜c＜a D.c＜a＜b
解析 由题意可知，a＝sin 28°，b＝tan 28°，c＝sin 25°，∴c＜a＜b.
答案 D
6.(2019·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析 令f(x)＝0，得2sin x－sin 2x＝0，即2sin x－2sin xcos x＝0，
∴2sin x(1－cos x)＝0，∴sin x＝0或cos x＝1.
又x∈[0，2π]，由sin x＝0得x＝0，π或2π，由cos x＝1得x＝0或2π.
故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个.故选B.
答案 B
二、填空题
7.若cos＝，则sin的值是________.
解析 sin＝sin＝
cos 2＝2cos2－1＝2×－1＝－.
答案 －
8.已知θ∈，且sin＝，则tan 2θ＝________.
解析 sin＝，得sin θ－cos θ＝，①
θ∈，①平方得2sin θcos θ＝，可求得sin θ＋cos θ＝，∴sin θ＝，cos θ＝，∴tan θ＝，tan 2θ＝＝－.
答案 －
9.已知cos4α－sin4α＝，且α∈，则cos＝________.
解析 ∵cos4α－sin4α＝(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)＝cos 2α＝，又α∈，∴2α∈(0，π)，
∴sin 2α＝＝，
∴cos＝cos 2α－sin 2α
＝×－×＝.
答案
10.已知θ∈，且sin θ－cos θ＝－，则＝________.
解析 ∵sin θ－cos θ＝－，即cos θ－sin θ＝，cos＝，即cos＝.
∵θ∈，∴<θ＋<，∴sin＝＝.
∴＝
＝
＝(sin θ＋cos θ)＝2sin＝.
答案
三、解答题
11.已知函数f(x)＝－2sin x－cos 2x.
(1)比较f，f的大小；
(2)求函数f(x)的最大值.
解 (1)因为f(x)＝－2sin x－cos 2x，
所以f＝－2sin －cos＝－，
f＝－2sin －cos＝－，
因为－>－，所以f>f.
(2)因为f(x)＝－2sin x－(1－2sin2x)
＝2sin2x－2sin x－1
＝2－，
令t＝sin x，t∈[－1，1]，所以y＝2－，
因为对称轴t＝，
根据二次函数性质知，当t＝－1时，函数取得最大值3.
12.(2019·七彩阳光联盟三联)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上.
(1)求cos 2α的值；
(2)若角β满足tan(2α－β)＝1，求tan β的值.
解 (1)由已知得tan α＝2，
所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝
＝－.
(2)由(1)知tan 2α＝＝－，
而tan β＝tan[2α－(2α－β)]＝
＝＝7.
能力提升题组
13.(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝( )
A. B.
C. D.1
解析 由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos2α－1＝，所以cos α＝，sin α＝±，得|tan α|＝.由题意知|tan α|＝，所以|a－b|＝.故选B.
答案 B
14.已知不等式f(x)＝3sin cos ＋cos2－＋m≤0对于任意的－≤x≤恒成立，则实数m的取值范围是( )
A.[，＋∞) B.(－∞，)
C.(－∞，－] D.[－，]
解析 f(x)＝sin ＋＋m
＝＋m≤0，
∴m≤－sin ，x∈，
令g(x)＝－sin，x∈，
∵－≤＋≤，
∴g(x)min＝－，∴m∈(－∞，－].
答案 C
15.(一题多解)(2019·江苏卷)已知＝－，则sin的值是________.
解析 法一 由＝＝＝－，解得 tan α＝2或－.
sin＝
＝(2sin αcos α＋2cos2α－1)
＝(sin αcos α＋cos2α)－
＝·－
＝·－，
将tan α＝2和－分别代入得sin＝.
法二 ∵＝＝－，
∴sin αcos＝－cos αsin.①
又sin ＝sin
＝sincos α－cossin α＝，②
由①②解得sin αcos＝－，
cos αsin＝.
∴sin＝sin
＝sin αcos＋cos αsin＝.
答案
16.若θ∈，sin 2θ＝，则sin θ＝__________；cos＝__________.
解析 因为sin 2θ＝，θ∈，所以sin θ＞0，cos θ＞0，且sin θ＞cos θ，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝＝，所以sin θ＋cos θ＝，同理可得sin θ－cos θ＝，所以sin θ＝.
因为θ∈，sin 2θ＝，所以cos 2θ＝－，
所以cos＝cos 2θ－sin 2θ＝－.
答案 －
17.已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)－1.
(1)求f的值；
(2)若f(x0)＝，x0∈，求sin 2x0的值.
解 (1)因为f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，
所以f＝2sin＝2sin ＝2.
(2)由上可知f(x0)＝2sin＝，
所以sin＝.
由x0∈，得2x0＋∈.
由0
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