高考数学一轮复习练案22第三章三角函数解三角形第三讲两角和与差的三角函数二倍角公式第2课时三角函数式的化简与求值含解析

高考数学一轮复习练案22第三章三角函数解三角形第三讲两角和与差的三角函数二倍角公式第2课时三角函数式的化简与求值含解析

‎ [练案22]第二课时　三角函数式的化简与求值 A组基础巩固 一、单选题 ‎1．(2020·安徽怀远一中月考)sin 10°sin 50°sin 70°＝(　C　)‎ A．　 B．　‎ C．　 D． ‎[解析]　sin 10°sin 50°sin 70°＝sin 10°cos 40°cos 20°＝＝＝.‎ ‎2.(　C　)‎ A．－　 B．－　‎ C．　 D． ‎[解析]　sin 47°＝sin (30°＋17°)＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°，∴原式＝＝sin 30°＝.‎ ‎3．(2020·东北四市联考)已知sin (－α)＝cos (＋α)，则cos 2α＝(　D　)‎ A．1　 B．－1　‎ C．　 D．0‎ ‎[解析]　因为sin (－α)＝cos (＋α)，所以cos α－sin α＝cos α－sin α，即(－)sin α＝－(－)cos α，所以tan α＝＝－1，所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝0，故选D. ‎ ‎4．(2020·内蒙古鄂尔多斯四校联考)已知sin θ＝－，则sin2(＋)＝(　D　)‎ A．　 B．　‎ C．　 D． - 7 -‎ ‎[解析]　sin2(＋)＝＝＝＝，故选D.‎ ‎5．(2020·河南郑州一中月考)若＝4，则tan (2α＋)＝(　C　)‎ A．　 B．　‎ C．　 D． ‎[解析]　∵＝＝＝4，∴tan (2α＋)＝＝.故选C.‎ ‎6．(2020·全国高考信息卷)若α为第二象限角，且sin 2α＝sin (α＋)cos (π－α)，则cos (2α－)的值为(　A　)‎ A．－　 B．　‎ C．　 D．－ ‎[解析]　∵sin 2α＝sin (α＋)cos (π－α)，‎ ‎∴2sin αcos α＝－cos2α，∵α是第二象限角，‎ ‎∴cos α≠0,2sin α＝－cos α，∴4sin2α＝cos2α＝1－sin2α，‎ ‎∴sin2α＝，∴cos (2α－)＝cos 2α＋sin 2α＝cos2α－sin2α＋2sin αcos α＝－sin2α＝－，故选A.‎ 二、多选题 ‎7．(2020·湖南岳阳三校第一次联考改编)已知α为三角形内角，且满足cos 2α＝sin α，则α的值为(　AD　)‎ A．30°　　 B．135°‎ C．60°　　 D．150°‎ ‎[解析]　由cos 2α＝sin α，得1－2sin2α＝sin α，即2sin2α＋sin α - 7 -‎ ‎－1＝0，得sin α＝或sin α＝－1.因为α为三角形内角，所以sin α＝，所以α＝30°或150°，故选A、D.‎ ‎8．(2020·江西九江两校第二次联考改编)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x，若α∈(0，π)，且f(α)＝，则α的值为(　AC　)‎ A．　 B．　‎ C．　 D． ‎[解析]　由题意知f(x)＝cos 2xsin 2x＋cos 4x＝sin 4x＋cos 4x＝sin (4x＋)，‎ 因为f(α)＝sin (4α＋)＝，‎ 所以4α＋＝＋2kπ，k∈Z，即α＝＋，k∈Z.‎ 因为α∈(0，π)，所以α＝或α＝＋＝，故选A、C.‎ 三、填空题 ‎9．sin 15°＋sin 75°＝　　.‎ ‎[解析]　sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝sin (15°＋45°)＝sin 60°＝.‎ 另解：原式＝sin (45°－30°)＋sin (45°＋30°)‎ ‎＝2sin 45°cos 30°＝2××＝.‎ ‎10．化简：＝　2cos α　.‎ ‎[解析]　原式＝＝2cos α.‎ ‎11．(2020·福建龙岩第一次质量检测)化简：－sin 10°(－tan 5°)的值为　　.‎ - 7 -‎ ‎[解析]　原式＝－sin 10°(－)＝－sin 10°×＝＝＝＝.‎ ‎12．(2020·河南濮阳模拟)设0°<α<90°，若sin (75°＋2α)＝－，则sin (15°＋α)·sin (75°－α)＝　　.‎ ‎[解析]　因为0°<α<90°，所以75°<75°＋2α<255°.又因为sin (75°＋2α)＝－<0，所以180°<75°＋2α<255°，角75°＋2α为第三象限角，所以cos (75°＋2α)＝－，所以sin (15°＋α)·sin (75°－α)＝sin (15°＋α)·cos (15°＋α)＝sin (30°＋2α)＝sin [(75°＋2α)－45°]＝[sin (75°＋2α)cos 45°－cos (75°＋2α)·sin 45°]＝×(－×＋×)＝.‎ 四、解答题 ‎13．(2020·江西临川一中月考)已知00，cos (α＋β)<0.‎ ‎∵cos (β－)＝，sin (α＋β)＝，‎ ‎∴sin (β－)＝，cos (α＋β)＝－.‎ ‎∴cos (α＋)＝cos [(α＋β)－(β－)]＝cos (α＋β)·cos (β－)＋sin (α＋β)sin(β－)＝－×＋×＝.‎ B组能力提升 ‎1．(2020·巴中模拟)化简(tan α＋)·sin 2α－2cos2α＝(　D　)‎ - 7 -‎ A．cos2α　 B．sin2α　‎ C．cos 2α　 D．－cos 2α ‎[解析]　原式＝(＋)·sin αcos α－2cos2α＝(sin2α＋cos2α)－2cos2α＝1－2cos2α＝－cos 2α.‎ ‎2．(2020·贵州遵义模拟)已知θ是第一象限角，若sin 4θ＋cos 4θ＝，则sin 2θ＝(　C　)‎ A．　 B．－　‎ C．　 D．－ ‎[解析]　∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴sin 4θ＋cos 4θ＋2sin2θcos2θ＝1，∵sin 4θ＋cos 4θ＝，∴2sin2θcos2θ＝sin22θ＝，∵θ是第一象限角，∴sin 2θ＝，故选C.‎ ‎3．(多选题)(2020·湖北八校第一次联考改编)已知3π≤θ≤4π，且＋＝，则θ＝(　CD　)‎ A．π　　 B．π C.　　 D．π ‎[解析]　∵3π≤θ≤4π，∴≤≤2π，∴cos >0，sin <0，则＋＝＋＝cos －sin ＝cos (＋)＝，‎ ‎∴cos (＋)＝，∴＋＝＋2kπ或＋＝－＋2kπ，k∈Z，即θ＝－＋4kπ或θ＝－＋4kπ，k∈Z.∵3π≤θ≤4π.∴θ＝或，故选C、D.‎ ‎4．已知方程x2＋3ax＋‎3a＋1＝0(a>1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈(－，)，则α＋β＝　－　.‎ ‎[解析]　由已知，得tan α＋tan β＝－‎3a，tan αtan β＝‎3a＋1，∴tan (α＋β)＝1.∵α，β∈(－，)，tan α＋tan β＝－‎3a<0，tan αtan β＝‎3a＋1>0，∴tan α<0，tan β<0，∴α，β∈(－，0)，‎ - 7 -‎ ‎∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－.‎ ‎5．(2020·广东名校联考)已知向量m＝(2，sin α)，n＝(cos α，－1)，其中α∈(0，)，且m⊥n.‎ ‎(1)求sin 2α和cos 2α的值；‎ ‎(2)若sin (α－β)＝，且β∈(0，)，求角β.‎ ‎[解析]　∵m⊥n，∴2cos α－sin α＝0，即sin α＝2cos α.代入cos2α＋sin2α＝1中，得5cos2α＝1，且α∈(0，)，则cos α＝，sin α＝.则sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－.‎ ‎(2)∵α∈(0，)，β∈(0，)，∴α－β∈(－，)．‎ 又sin (α－β)＝，∴cos (α－β)＝.‎ ‎∴sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β)＝×－×＝.又由β∈(0，)，得β＝.‎ - 7 -‎