- 2021-06-16 发布 |
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文档介绍
2021届高考数学一轮复习专题六立体几何第3课时课件
第 3 课时 题型 1 利用空间向量求空间角 ( 距离 ) 就新课标卷而言,对立体几何的命题基本上是“一题两 法”的格局 . 在备考中,对理科考生而言,还是应该注重两种方 法并重,不要盲 目地追求空间向量 ( 容易建系时才用空间向量 ) , 千万不要重计算而轻论证! 例 1 : (20 18 年新课标 Ⅱ ) 如图 6-34 ,在三棱锥 P - ABC 中, (1) 证明: PO ⊥ 平面 ABC ; (2) 若点 M 在棱 BC 上,且二面角 M - PA - C 为 30° ,求 PC 与 平面 PAM 所成角的正弦值 . 图 6-34 图 6-35 【 规律方法 】 立体几何中的直线与平面的位置关系,以及 空间的三种角,是高考的必考内容,都可以采用传统的方法来 处理,对于直线与平面间几种位置关系,可采用平行垂直间的 转化关系来证明,对于异面直线所成的角、直线与平面所成的 角和二面角可分别通过平移法、射影法和垂面法将它们转化为 相交直线所成的角来处理 . 本题主要考查立体几何中传统的平 行与垂直关系,并且考查了线面所成的角,难度并不是太大, 旨在考查考生对解题技巧的把握和抽象分析能力 . 【 跟踪训练 】 1.(2017 年新课标 Ⅰ ) 如图 6-36 ,在四棱锥 P - ABCD 中, AB ∥ CD ,且 ∠ BAP = ∠ CDP = 90°. (1) 证明:平面 PAB ⊥ 平面 PAD ; (2) 若 PA = PD = AB = DC , ∠ APD = 90° ,求二面角 A - PB - C 的余弦值 . 图 6-36 (1) 证明: 由已知 ∠ BAP = ∠ CDP = 90° ,得 AB ⊥ AP , CD ⊥ PD . 由于 AB ∥ CD ,故 AB ⊥ PD . 又 AP ∩ PD = P ,从而 AB ⊥ 平面 PAD . 又 AB ⊂ 平面 PAB , ∴ 平面 PAB ⊥ 平面 PAD . (2) 解: 在平面 PAD 内作 PF ⊥ AD ,垂足为 F , 由 (1) 可知, AB ⊥ 平面 PAD ,故 AB ⊥ PF ,可得 PF ⊥ 平面 ABCD . . 图 D101 题型 2 折叠问 题 将平面图形沿其中一条或几条线段折起,使其成为空间图 形,把这类问题称为平面图形的翻折问题 . 平面图形经过翻折成 为空间图形后,原有的性质有的发生了变化,有的没有发生变 化,弄清 它们是解决问题的关键 . 一般地,翻折后还在同一个平 面上的性质不发生变化,不在同一个平面上的性质发生变化 . 解 决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系 和几何量的度量值 ,这是化解翻折问题难点的主要方法 . 例 2 : (20 18 年新课标 Ⅰ ) 如图 6-37 ,四边形 ABCD 为正方 形, E , F 分别为 AD , BC 的中点,以 DF 为折痕把 △ DFC 折 起,使点 C 到达点 P 的位置,且 PF ⊥ BF . (1) 证明:平面 PEF ⊥ 平面 ABFD ; (2) 求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值 . 图 6-37 (1) 证明: 由已知可得, BF ⊥ PF , BF ⊥ EF , 又 PF ∩ EF = F , ∴ BF ⊥ 平面 PEF . 又 BF ⊂ 平面 ABFD , ∴ 平面 PEF ⊥ 平面 ABFD . (2) 解: 作 PH ⊥ EF ,垂足为 H . 由 (1) 得, PH ⊥ 平面 ABFD . 建立如图 6-38 所示的空间直角坐标系 H - xyz . 图 6-38 【 规律方法 】 有关折叠问题,一定要分清折叠前后两图形 ( 折叠前的平面图形和折叠后的空间图形 ) 各元素间的位置和数 量关系,哪些变,哪些不变 . 如角的大小不变,线段长度不变, 线线关系不变,再由面面垂直的判定定理进行推理证明 . 【 跟踪训练 】 2. 如图 6-39 ,在四边形 ABED 中, AB ∥ DE , AB ⊥ BE ,点 C 在 AB 上,且 AB ⊥ CD , AC = BC = CD = ,现将 2 ACD 沿 CD 折起,使点 A 到达点 P 的位置,且 PE 与平面 PBC 所成的角为 45°. (1) 求证:平面 PBC ⊥ 平面 DEBC ; (2) 求二面角 D - PE - B 的余弦值 . 图 6-39 (1) 证明: ∵ AB ⊥ CD , AB ⊥ BE , ∴ CD ∥ EB . ∵ AC ⊥ CD , ∴ PC ⊥ CD .∴ EB ⊥ PC , 且 PC ∩ BC = C , ∴ EB ⊥ 平面 PBC, 又 ∵ EB ⊂ 平面 DEBC , ∴ 平面 PBC ⊥ 平面 DEBC . 图 D102 (2) 解: 由 (1 ) 知 EB ⊥ 平面 PBC , ∴ EB ⊥ PB , 由 PE 与平面 PBC 所成的角为 45° ,得 ∠ EPB = 45° , ∴△ PBE 为等腰直角三角形, ∴ PB = BE . ∵ AB ∥ DE ,结合 CD ∥ EB 得 BE = CD = 2 , ∴ PB = ,故 2 PBC 为等边三角形 . 取 BC 的中点 O ,连接 PO , ∵ PO ⊥ BC , ∴ PO ⊥ 平面 EBCD , 以 O 为坐标原点,过点 O 与 BE 平行的直线为 x 轴, CB 所在的直线为 y 轴, OP 所在的直线为 z 轴建立空间直角坐标系 如图 D102 , 题型 3 探索性问题 图 6-40 (1) 证明: 连接 AC ,如图 6-41. ∴ BC 2 = AB 2 + AC 2 , ∴ AB ⊥ AC . ∵ AB ∥ CD , ∴ AC ⊥ CD . 又 ∵ PA ⊥ 底面 ABCD, ∴ PA ⊥ CD . ∵ AC ∩ PA = A , ∴ CD ⊥ 平面 PAC . 图 6-41 (2) 解: 如图 6-41 ,以 A 为原点, AB , AC , AP 所在直线分 别为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系,则 A (0,0,0) , P (0,0,2) , B (2,0,0) , C (0,2,0) , D ( - 2,2,0). ∵ M 是棱 PD 的中点, ∴ M ( - 1,1,1). 【 跟踪训练 】 3. 如图 6-42 , ABEDFC 为多面体,平面 ABED 与平面 ACFD 垂直,点 O 在线段 AD 上, OA = 1 , OD = , 2 OAB , △ OAC , △ ODE , △ ODF 都是正三角形 . (1) 证明:直线 BC ∥ 面 OEF ; (2) 在线段 DF 上是否存在一点 M ,使得二面角 M - OE - D 的 在的位置 . 图 6-42 (1) 证明: 依题意,在平面 AD FC 中, ∠ CAO = ∠ FOD = 60° , ∴ AC ∥ OF . 又 OF ⊂ 平面 OEF , ∴ AC ∥ 平面 OEF . ① 同理,在平面 ABED 中, ∠ BAO = ∠ EOD = 60° , ∴ AB ∥ OE , ∴ AB ∥ 平面 OEF . ② ∵ AB ∩ AC = A , OE ∩ OF = O , AB ∥ 面 OEF , AC ∥ 面 OEF , OE ⊂ 面 OEF , OF ⊂ 面 OEF , 由 ①② 可得,平面 ABC ∥ 平面 OEF . 又 BC ⊂ 面 ABC , ∴ 直线 BC ∥ 面 OEF . ( 本题可先证明 BC ∥ EF 后得证,也可建立空间直 角坐标系 得证 )查看更多