【数学】2019届一轮复习人教A版1-1集合的概念与运算学案
1.1 集合的概念与运算
[知识梳理]
1.集合与元素
(1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系有属于或不属于两种,用符号∈或∉表示.
(3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法.
(4)常见数集的记法
2.集合间的基本关系
3.集合的基本运算
4.集合的运算性质
(1)并集的性质:A∪∅=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆A.
(2)交集的性质:A∩∅=∅;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B.
(3)补集的性质:A∪(∁UA)=U;A∩(∁UA)=∅;∁U(∁UA)=A;∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB);∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB).
(4)若有限集A中有n个元素,则A的子集个数为2n个,非空子集个数为2n-1个,真子集有2n-1个,非空真子集的个数为2n-2个.
[诊断自测]
1.概念思辨
(1)直线y=x+3与y=-2x+6的交点组成的集合是{1,4}.( )
(2)若集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},则A,B,C表示同一个集合.( )
(3)设集合A={0,1},若B={x|x⊆A},则A⊆B.( )
(4)设集合A={x|ax=1},B={x|x2=1},若A⊆B,则a=1或-1.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2.教材衍化
(1)(必修A1P12T5)若集合P={x|x≥5},Q={x|5≤x≤7},则P与Q的关系是( )
A.P=Q B.P?Q C.P?Q D.P⊄Q
答案 C
解析 因为集合P={x|x≥5},Q={x|5≤x≤7},所以Q?P.故选C.
(2)(必修A1P12T2)已知A={(x,y)|4x+y=6},B={(x,y)|3x+2y=7},则A∩B=________.
答案 {(1,2)}
解析 A∩B={(x,y)|4x+y=6}∩{(x,y)|3x+2y=7}=={(1,2)}.
3.小题热身
(1)已知集合A={x|-3
7},B={x|x<2m-1},若
B⊆A,则实数m的取值范围是________.
本题可用数形结合方法.
答案 (-∞,-1]
解析 由题意知2m-1≤-3,m≤-1,∴m的取值范围是(-∞,-1].
[条件探究1] 典例2中的B改为B={x|m+1≤x≤2m-1},其余不变,该如何求解?
解 当B=∅时,有m+1>2m-1,则m<2.
当B≠∅时,或
解得m>6.综上可知m的取值范围是(-∞,2)∪(6,+∞).
[条件探究2] 典例2中的A改为A={x|-3≤x≤7},B改为B={x|m+1≤x≤2m-1},又该如何求解?
解 当B=∅时,满足B⊆A,此时有m+1>2m-1,
即m<2;当B≠∅,要使B⊆A,则有
解得2≤m≤4.
综上可知m的取值范围是(-∞,4].
方法技巧
1.集合相等的问题求解思路
首先分析已知元素与另一个集合中的哪个元素相等,一般要分类讨论,列出方程(组)求解,最后要验证是否满足互异性.例如典例1.
2.已知两个集合间的关系求参数时的关键点及注意点
(1)关键点:将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系.例如条件探究1,2.
(2)注意点:①利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论;②注意区间端点的取舍.例如典例2.
提醒:空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解.
冲关针对训练
1.已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|-2或x<0},又B={x|-0},则A∩B=( )
A. B.
C. D.
本题用数形结合法.
答案 D
解析 易知A=(1,3),B=,∴A∩B=.故选D.
角度2 求并集
(2018·浙江模拟)已知集合P={x|-10},B={x|y=lg (x-1)},则(∁UA)∩B=( )
A.{x|x>2或x<0} B.{x|10,即x(x-2)>0,得x<0或x>2,故A={x|x<0或x>2}.集合B是函数y=lg (x-1)的定义域,由x-1>0
,解得x>1,所以B={x|x>1}.易知∁UA={x|0≤x≤2},所以(∁UA)∩B={x|0≤x≤2}∩{x|x>1}={x|11} D.A∩B=∅
答案 A
解析 ∵B={x|3x<1},∴B={x|x<0}.
又A={x|x<1},∴A∩B={x|x<0},A∪B={x|x<1}.故选A.
2.(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为( )
A.3 B.2 C.1 D.0
答案 B
解析 集合A表示以原点O为圆心,半径为1的圆上的所有点的集合,集合B表示直线y=x上的所有点的集合.
由图形可知,直线与圆有两个交点,所以A∩B中元素的个数为2.故选B.
3.(2018·武昌调研)设A,B是两个非空集合,定义集合A-B={x|x∈A,且x∉B}.若A={x∈N|0≤x≤5},B={x|x2-7x+10<0},则A-B=( )
A.{0,1} B.{1,2}
C.{0,1,2} D.{0,1,2,5}
答案 D
解析 A={0,1,2,3,4,5},B={x|21},则(∁RA)∩B=( )
A.[1,+∞) B.(0,+∞)
C.(0,1) D.[0,1]
答案 A
解析 依题意得,A={x|00},故(∁RA)∩B={x|x≥1}=[1,+∞).故选A.
5.若集合M={x||x|≤1},N={y|y=x2,|x|≤1},则( )
A.M=N B.M⊆N
C.N⊆M D.M∩N=∅
答案 C
解析 M={x||x|≤1}=[-1,1],N={y|y=x2,|x|≤1}=[0,1],所以N⊆M.故选C.
6.(2017·山西模拟)设全集U=R,集合A={x∈N|x2<6x},B={x∈N|30可解得-60},集合B={x|x2-2ax-1≤0,a>0},若A∩B中恰含有一个整数,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.(1,+∞)
答案 B
解析 A={x|x2+2x-3>0}={x|x>1或x<-3},
设函数f(x)=x2-2ax-1,因为函数f(x)=x2-2ax-1图象的对称轴为x=a(a>0),f(0)=-1<0,根据对称性可知若A∩B中恰有一个整数,则这个整数为2,
所以有即
所以即≤a<.故选B.
二、填空题
11.(2017·南昌模拟)已知集合M={x|x2-4x<0},N={x|m-2时,B=(m-1,2m+1),因此,要B⊆A,
则只要⇒-1≤m≤2.
综上所述,m的取值范围是{m|m=-2或-1≤m≤2}.