【数学】2018届一轮复习北师大版 函数与方程 教案
第七讲 函数与方程
项目
内容
课题
函数与方程（共 3 课时）
修改与创新
教学目标
1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；
2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
命题走向
函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。
预计2017年高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。
（1）题型可为选择、填空和解答；
（2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。
教学准备
多媒体
教学过程
要点精讲：
1．方程的根与函数的零点
（1）函数零点
概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。
函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。
二次函数的零点：
１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点；
２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；
３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点。
零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。既存在，使得，这个也就是方程的根。
2.二分法
二分法及步骤：
对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：
（1）确定区间，，验证·，给定精度；
（2）求区间，的中点；
（3）计算：
①若=，则就是函数的零点；
②若·<，则令=（此时零点）；
结合二次函数的图像，复习掌握函数零点的概念，并具备利用图像判断零点情况的能力。
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③若·<，则令=（此时零点）；
（4）判断是否达到精度；
即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤2~4。
注：函数零点的性质
从“数”的角度看：即是使的实数；
从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标；
若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；
若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点。
注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。
3．二次函数的基本性质
（1）二次函数的三种表示法：y=ax2+bx+c；y=a(x－x1)(x－x2)；y=a(x－x0)2+n。
（2）当a>0，f(x)在区间［p，q］上的最大值M，最小值m，令x0= (p+q)。
若－
0.∴函数f(x)在R上单调递增．f(－1)＝e－1＋(－1)－4＝－5＋e－1<0，f(0)＝－3<0，f(1)＝e＋1－4＝e－3<0，f(2)＝e2＋2－4＝e2－2>0，f(1)f(2)<0，故零点x0∈(1,2)．
[答案] C
由题悟法
利用函数零点的存在性定理判断零点所在的区间时，首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续不断，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
以题试法
1．设函数y＝x3与y＝x－2的图象交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：选B 设函数f(x)＝x3－x－2，f(1)·f(2)<0，且f(x)为单调函数，则x0∈(1,2)．
考点二：判断函数零点个数
典题导入
[例2] (1)函数f(x)＝x－x的零点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))＋1的零点个数是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
[自主解答] (1)在同一平面直角坐标系内作出y1＝x与y2＝x的图象如图所示，易知，两函数图象只有一个交点，因此函数f(x)＝x－x只有1个零点．
(2)由f(f(x))＋1＝0可得f(f(x))＝－1，
又由f(－2)＝f＝－1.
可得f(x)＝－2或f(x)＝.
若f(x)＝－2，则x＝－3或x＝；
若f(x)＝，则x＝－或x＝，
综上可得函数y＝f(f(x))＋1有4个零点．
[答案] (1)B (2)A
由题悟法
判断函数零点个数的常用方法
(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．
以题试法
2．函数f(x)＝xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
把两个函数图像交点转化为一个函数的零点，再由根的存在性定理判断，由于转了几个弯子，学生难以开启思路。教师应做好引导工作。
解析：选C 令xcos x2＝0，则x＝0，或x2＝kπ＋，又x∈[0,4]，因此xk＝ (k＝0,1,2,3,4)，共有6个零点．
考点三：函数零点的应用
典题导入
[例3] 已知函数f(x)＝ex－x＋a有零点，则a的取值范围是________．
[自主解答] ∵f(x)＝ex－x＋a，
∴f′(x)＝ex－1.令f′(x)＝0，得x＝0.
当x<0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－∞，0)上是减函数；
当x>0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
故f(x)min＝f(0)＝1＋a.
若函数f(x)有零点，则f(x)min≤0，
即1＋a≤0，得a≤－1.
[答案] (－∞，－1]
若函数变为f(x)＝ln x－2x＋a，其他条件不变，求a的取值范围．
解：∵f(x)＝ln x－2x＋a，∴f′(x)＝－2.
令f′(x)＝0，得x＝.
当0时，f′(x)<0，∴f(x)为减函数．
∴f(x)max＝f＝ln－1＋a.
若f(x)有零点，则f(x)max≥0，即ln－1＋a≥0.
解得a≥1－ln，a的取值范围为.
由题悟法
已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
以题试法
3．已知函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)是偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若在区间[－1,3]上函数g(x)＝f(x)－kx－k有4个零点，则实数k的取值范围是______．
解析：由f(x＋1)＝f(x－1)得，f(x＋2)＝f(x)，则f(x)是周期为2的函数．∵f(x)是偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，∴当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x，易得当x∈[1,2]时，f(x)＝－x＋2，当x∈[2,3]时，f(x)＝x－2.
在区间[－1,3]上函数g(x)＝f(x)－kx－k有4个零点，即函数y＝f(x)与y＝kx＋k的图象在区间[－1,3]上有4个不同的交点．作出函数y＝f(x)与y＝kx＋k的图象如图所示，结合图形易知，k∈.
答案：
此题不能画图，怎么办？按定义，通过解方程，求出根即可。
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板书设计
函数与方程
1．方程的根与函数的零点
（1）函数零点
概念：对于函数，把使 例1
成立的实数叫做函数
的零点。
方程有实数根函数的图象 例2
与轴有交点函数有零点。
(2) 零点存在性定理：如果函数在 例3
区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且
有，那么函数在区间
内有零点。既存在，使得，
这个也就是方程的根。
2.二分法
二分法及步骤：
给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：
（1）确定区间，，验证·，给定精度；
（2）求区间，的中点；
（3）计算：
①若=，则就是函数的零点；
②若·<，则令=（此时零点）；
③若·<，则令=（此时零点）；
（4）判断是否达到精度；
即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤2~4。
教学反思
函数与方程，高考要求不高，主要是通过图像判断根的情况。但有时需要合理的转化，学生在转化时往往会遇到困难。再利用适当机会，增加一点练习，学生基本上能过关。
