【数学】2020届一轮复习(理)通用版5-3-2系统题型——平面向量的数量积及应用学案

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【数学】2020届一轮复习(理)通用版5-3-2系统题型——平面向量的数量积及应用学案

第2课时 系统题型——平面向量的数量积及应用 一、学前明考情——考什么、怎么考 ‎1.(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=(  )‎ A.4           B.3‎ C.2 D.0‎ 解析:选B a·(2a-b)=2a2-a·b=2|a|2-a·b.‎ ‎∵|a|=1,a·b=-1,∴原式=2×12+1=3.‎ ‎2.(2016·全国卷Ⅲ)已知向量=,=,则∠ABC=(  )‎ A.30° B.45°‎ C.60° D.120°‎ 解析:选A 因为=,=,所以·=+=.又因为·=||||cos∠ABC=1×1×cos∠ABC=,所以cos∠ABC=.又0°≤ ∠ABC≤180°,所以∠ABC=30°.‎ ‎3.(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是(  )‎ A.-2 B.- C.- D.-1‎ 解析:选B 如图,以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴,以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,),B(-1,0),C(1,0),设P(x,y),则=(-x, -y),=(-1-x,-y),=(1-x,-y),所以·(+)=(-x,-y)·(-2x,-2y)=2x2+22-,当x=0,y=时,·(+)取得最小值,最小值为-.‎ 常规角度 ‎1.平面向量数量积及其性质的应用:主要考查平面向量数量积的计算,以及利用数量积求向量的模、夹角等.‎ ‎2.平面向量数量积的应用:主要考查平面向量模或数量积的最值范围问题.‎ 主要以选择、填空题为主,难度中等偏下 创新角度 平面向量的数量积与解析几何、平面几何以及三角函数交汇,主要利用数量积证明垂直或利用数量积转化垂直的条件、求长度等 二、课堂研题型——怎么办、提知能 平面向量数量积及其性质的应用 ‎1.(2019·宝鸡金台区质检)在直角三角形ABC中,角C为直角,且AC=BC=1,点P是斜边上的一个三等分点,则·+·=(  )‎ A.0           B.1‎ C. D.- 解析:选B 以点C为坐标原点,分别以,的方向为x,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则C(0,0),A(1,0),B(0,1),不妨设P,所以·+·=+=1.故选B.‎ ‎2.已知向量a,b均为单位向量,若它们的夹角为60°,则|a+3b|等于(  )‎ A. B. C. D.4‎ 解析:选C 依题意得a·b=,|a+3b|==,故选C.‎ ‎3.(2019·江西三校联考)若|a|=2,|b|=4,且(a+b)⊥a,则a与b的夹角为(  )‎ A. B. C. D.- 解析:选A ∵(a+b)⊥a,∴(a+b)·a=a2+a·b=0,∴a·b=-4,cosa,b===-,∴a,b=,故选A.‎ ‎4.(2019·深圳高级中学期中)已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则λ=(  )‎ A.-4 B.-3‎ C.-2 D.-1‎ 解析:选B ∵(m+n)⊥(m-n),∴(m+n)·(m-n)=m2-n2=(λ+1)2+1-(λ+2)2-4=0,解得λ=-3.故选B.‎ ‎1.平面向量数量积的2种运算方法 方法 运用提示 适用题型 定义法 当已知向量的模和夹角θ时,可利用定义法求解,即a·b=|a|·|b|cos θ 适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题 坐标法 当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2‎ 适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题 ‎2.利用数量积求解长度问题的处理方法 ‎(1)a2=a·a=|a|2或|a|=.‎ ‎(2)|a±b|==.‎ ‎(3)若a=(x,y),则|a|=.‎ ‎3.向量夹角问题的2个注意点 ‎(1)切记向量夹角的范围是[0,π].‎ ‎(2)a与b夹角为锐角⇔a·b>0且a,b不共线,a与b夹角为钝角⇔a·b<0且a,b不共线.‎ ‎4.两向量垂直的应用 两非零向量垂直的充要条件是a⊥b⇔a·b=0⇔|a-b|=|a+b|.‎ 平面向量数量积的应用问题 平面向量数量积的应用中,常考查向量的模或数量积的最值或范围问题,能力要求较高,综合性强.‎ 考法一 平面向量模的最值或范围问题 ‎ ‎[例1] (1)(2019·衡水中学调研)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=a·b=2,(a-c)·(b-2c)=0,则|b-c|的最小值为(  )‎ A. B. C. D. ‎(2)(2019·长春模拟)已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值是(  )‎ A.1 B.2‎ C. D. ‎[解析] (1)由|a|=|b|=a·b=2,知a,b的夹角为,‎ 可设a=(2,0),b=(1,),c=(x,y),‎ ‎∵(a-c)·(b-2c)=0,‎ ‎∴(2-x,-y)·(1-2x,-2y)=0,‎ 即2x2+2y2-5x-y+2=0.‎ 方程2x2+2y2-5x-y+2=0表示圆心为,半径为的圆,|b-c|=表示圆2x2+2y2-5x-y+2=0上的点到点(1,)的距离,所以|b-c|的最小值为 -=.‎ ‎(2)因为|a|=|b|=1,a·b=0,‎ ‎(a-c)·(b-c)=-c·(a+b)+|c|2=-|c||a+b|·cos θ+|c|2=0,其中θ为c与a+b的夹角,‎ 所以|c|=|a+b|cos θ=cos θ≤,‎ 所以|c|的最大值是.‎ ‎[答案] (1)A (2)C ‎[方法技巧]‎ 求向量模的最值(范围)的2种方法 代数法 把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解 几何法 弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解 考法二 数量积的最值或范围问题 ‎ ‎[例2] (1)(2019·南昌调研)如图,在直角梯形ABCD中,DA=AB=1,BC=2,点P在阴影区域(含边界)中运动,则·的取值范围是(  )‎ A. B. C.[-1,1] D.[-1,0]‎ ‎(2)(2019·宝鸡模拟)在等腰直角△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=2,M,N(不与A,C重合)为AC边上的两个动点,且满足| |=,则·的取值范围为(  )‎ A. B. C. D. ‎[解析] (1)∵在直角梯形ABCD中,DA=AB=1,BC=2,‎ ‎∴BD=.如图所示,过点A作AO⊥BD,垂足为O,‎ 则=+,·=0,‎ ‎∴·=(+)·=·.‎ ‎∴当点P与点B重合时,·取得最大值,‎ 即·=·=××=1;‎ 当点P与点D重合时,·取得最小值,‎ 即·=-××=-1.‎ ‎∴·的取值范围是[-1,1].‎ ‎(2)以等腰直角三角形的直角边BC所在直线为x轴,BA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系如图所示,则B(0,0),直线AC的方程为x+y=2.‎ 设M(a,2-a),‎ 则0< a <1,N(a+1,1-a),‎ ‎∴=(a,2-a),=(a+1,1-a),‎ ‎∴·=a (a+1)+(2-a)(1-a)=2 a 2-2 a+2,‎ ‎∵0sin A,∴B>A,故A为锐角,∴cos A=,∴cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=.‎ ‎(2)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B得,‎ ‎16=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,当且仅当a=c时等号成立,∴ac≤13,‎ ‎∴·=accos(π-B)=-accos B=-ac≥-5.‎ 故·的最小值为-5.‎ ‎11.(2019·太原模拟)已知向量m=,n=,f(x)=m·n.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;‎ ‎(2)若a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对的边,且a=2,(2a-b)cos C= ccos B,f(A)=,求c.‎ 解:(1)∵f(x)=m·n=sin cos +cos2 ‎=sin +=sin+,‎ ‎∴函数f(x)的最小正周期为3π,‎ 令-+2kπ≤+≤+2kπ,k∈Z,则-π+3kπ≤x≤+3kπ,k∈Z,‎ ‎∴函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.‎ ‎(2)∵(2a-b)cos C=ccos B, ‎ ‎∴2sin Acos C=sin Bcos C+cos Bsin C=sin(B+C)=sin A,‎ ‎∵00,∴cos C=,∴C=.‎ ‎∵f(A)=sin+=,‎ ‎∴sin=1,‎ ‎∴+=+2kπ,k∈Z,∴A=,‎ ‎∴c=asin C=2sin =.‎ ‎[B级 难度题——适情自主选做]‎ ‎1.在等腰三角形AOB中,若||=||=5,且|+|≥||,则·的取值范围为(  )‎ A.[-15,25) B.[-15,15]‎ C.[0,25) D.[0,15]‎ 解析:选A |+|≥||=|-|,所以|+|2≥|-|2,即(+)2≥(-)2,所以2+2·+2≥(2-2·+2),即52+2·+52≥(52-2·+52),则·≥-15.又·≤||||=5×5=25,当且仅当与同向时取等号,因此上式等号不成立,所以·的取值范围为[-15,25),故选A.‎ ‎2.已知a,b,e是同一平面内的三个向量,且|e|=1,a⊥b,a·e=2,b·e=1,当|a-b|取得最小值时,a与e夹角的正切值为(  )‎ A. B. C.1 D. 解析:选D 根据题意,分别以a,b为x轴,y轴建立平面直角坐标系,设e与a的夹角为θ,θ为锐角,则e与b的夹角为-θ.∵|e|=1,a⊥b,a·e=2,b·e=1,∴|a|·cos θ=2,|b|·cos=|b|·sin θ=1,∴|a|=,|b|=,∴|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2=+=‎ eq lc( c)(avs4alco1(f(4,cos2θ)+f(1,sin2θ)))(sin2θ+cos2θ)=5++≥5+2=9,当且仅当2sin2θ=cos2θ,即tan θ=时等号成立,此时|a-b|取得最小值3,且a与e夹角的正切值为,故选D.‎ ‎3.(2019·武汉调研)设A,B,C是半径为1的圆O上的三点,且⊥,则(-)·(-)的最大值是(  )‎ A.1+         B.1- C.-1 D.1‎ 解析:选A 如图,作出,使得+=,则(-)·(-)=2-·-·+·=1-(+)·=1-·,由图可知,当点C在OD的反向延长线与圆O的交点处时,·取得最小值,最小值为-,此时(-)·(-)取得最大值,最大值为1+,故选A.‎ ‎4.(2019·江西吉安月考)已知向量a=(cos θ,sin θ),b=(cos φ,sin φ).‎ ‎(1)若|θ-φ|=,求|a-b|的值;‎ ‎(2)若θ+φ=,记f(θ)=a·b-λ|a+b|,θ∈,当1≤λ≤2时,求f(θ)的最小值.‎ 解:(1)∵向量a=(cos θ,sin θ),b=(cos φ,sin φ),‎ ‎∴a-b=(cos θ-cos φ,sin θ-sin φ),‎ ‎∴|a-b|2=(cos θ-cos φ)2+(sin θ-sin φ)2‎ ‎=2-2cos(θ-φ).‎ ‎∵|θ-φ|=,∴θ-φ=±,‎ ‎∴|a-b|2=2-2cos =2-1=1,或2-2cos=2-1=1,‎ ‎∴|a-b|=1.‎ ‎(2)∵θ+φ=,θ∈,‎ ‎∴a·b=cos θcos φ+sin θsin φ=cos(θ-φ)=cos,‎ ‎|a+b|= ‎=2=2cos,‎ ‎∴f(θ)=a·b-λ|a+b|‎ ‎=cos-2λcos ‎=2cos2-2λcos-1.‎ 令t=cos,则t∈,‎ ‎∴g(t)=2t2-2λt-1‎ ‎=22--1.‎ 又1≤λ≤2,≤≤1,‎ ‎∴当t=时,g(t)有最小值--1,‎ ‎∴f(θ)的最小值为--1.‎
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