【数学】2018届一轮复习人教A版 空间点、直线、平面之间的位置关系 学案

【数学】2018届一轮复习人教A版 空间点、直线、平面之间的位置关系 学案

专题40空间点直线平面之间的位置关系 ‎1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解有关的可以作为推理依据的公理和定理；‎ ‎2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．‎ ‎ ‎ ‎1．平面的基本性质 ‎(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．‎ ‎(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．‎ ‎(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．‎ ‎(4)公理2的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．‎ 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．‎ 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．‎ ‎2．空间中两直线的位置关系 ‎(1)位置关系的分类 ‎(2)异面直线所成的角 ‎①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．‎ ‎②范围：．‎ ‎(3)平行公理和等角定理 ‎①平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．‎ ‎②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．‎ ‎3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系 ‎(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．‎ ‎(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．‎ 高频考点一　平面基本性质的应用 例1、如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：‎ ‎(1)E、C、D1、F四点共面；‎ ‎(2)CE、D1F、DA三线共点．‎ ‎【感悟提升】(1)证明线共面或点共面的常用方法 ‎①直接法，证明直线平行或相交，从而证明线共面.‎ ‎②纳入平面法，先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.‎ ‎③辅助平面法，先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合.‎ ‎(2)证明点共线问题的常用方法 ‎①基本性质法，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上.‎ ‎②纳入直线法，选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.‎ ‎【变式探究】如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝AD，BE∥AF且BE＝AF，G、H分别为FA、FD的中点．‎ ‎(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；‎ ‎(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？‎ 高频考点二　判断空间两直线的位置关系 例2、(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　)‎ A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交 ‎(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是(　　)‎ A．MN与CC1垂直 B．MN与AC垂直 C．MN与BD平行 D．MN与A1B1平行 ‎(3)在图中，G、N、M、H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)‎ ‎【答案】　(1)D　(2)D　(3)②④‎ ‎ (3)图①中，直线GH∥MN；‎ 图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，‎ 因此直线GH与MN异面；‎ 图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；‎ 图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，‎ 因此GH与MN异面．‎ 所以图②④中GH与MN异面． ‎ ‎【感悟提升】　(1)异面直线的判定方法 ‎①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.‎ ‎②定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.‎ ‎(2)点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.‎ ‎【变式探究】(1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是(　　)‎ A.MN与CC1垂直 B.MN与AC垂直 C.MN与BD平行 D.MN与A1B1平行 ‎(2) a，b，c表示不同的直线，M表示平面，给出四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b或a，b相交或a，b异面；②若b⊂M，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中正确的为(　　)‎ A.①④ B.②③ C.③④ D.①②‎ ‎【答案】　(1)D　(2)A ‎【解析】　(1)如图，连接C1D，‎ 在△C1DB中，MN∥BD，故C正确；‎ ‎∵CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴CC1⊥BD，‎ ‎∴MN⊥CC1，故A正确；‎ ‎∵AC⊥BD，MN∥BD，∴MN⊥AC，故B正确；‎ ‎∵A1B1与BD异面，MN∥BD，‎ ‎∴MN与A1B1不可能平行，故选项D错误.‎ 高频考点三　求两条异面直线所成的角 例3、(1)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为_______________________________________．‎ ‎【答案】　60°‎ ‎【解析】　取A1C1的中点E，连接B1E，ED，AE，‎ 在Rt△AB1E中，∠AB1E即为所求，‎ 设AB＝1，则A1A＝，AB1＝，B1E＝，‎ 故∠AB1E＝60°.‎ ‎(2)空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F分别为BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．‎ ‎【感悟提升】(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移.‎ ‎(2)求异面直线所成角的三个步骤 ‎①作：通过作平行线，得到相交直线的夹角.‎ ‎②证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角.‎ ‎③求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.‎ ‎【变式探究】如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　D ‎【解析】　连接BC1，易证BC1∥AD1，‎ 则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角.‎ 连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，‎ 则A1C1＝，A1B＝BC1＝，‎ 在△A1BC1中，由余弦定理得 cos∠A1BC1＝＝.‎ ‎11.【2016高考新课标1卷】平面过正方体ABCD-A1B‎1C1D1的顶点A,//平面CB1D1,平面ABCD=m,平面AB B‎1A1=n,则m、n所成角的正弦值为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A 选A. ‎ ‎2.【2016高考新课标1卷】（本小题满分为12分）如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD, ,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是．‎ ‎（I）证明：平面ABEF平面EFDC；‎ ‎（II）求二面角E-BC-A的余弦值．‎ ‎【答案】（I）见解析（II）‎ 由已知，，所以平面．‎ 又平面平面，故，．‎ 由，可得平面，所以为二面角的平面角，‎ ‎．从而可得．‎ 所以，，，．‎ ‎ ‎ ‎3.【2016高考新课标2理数】如图，菱形的对角线与交于点，，点分别在上，，交于点．将沿折到位置，．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正弦值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.‎ ‎（Ⅱ）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，.设是平面的法向量，则，即，所以可取.设是平面的法向量，则，即，所以可取.于是， .因此二面角的正弦值是.‎ ‎1.【2015高考四川，理18】‎ 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设的中点为，的中点为 ‎（1）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）‎ ‎（2）证明：直线平面 ‎（3）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）点F、G、H的位置如图所示.‎ ‎（2）详见解析.（3）‎ ‎【解析】（1）点F、G、H的位置如图所示.‎ ‎（3）连结AC，过M作于P. ‎ 在正方形中，，‎ 所以.‎ 过P作于K，连结KM，‎ 所以平面，‎ 从而.‎ 所以是二面角的平面角.‎ 设，则，‎ 在中，.‎ 在中，.‎ 所以.‎ 即二面角的余弦值为.‎ ‎（另外，也可利用空间坐标系求解）‎ ‎2.【2015高考湖北，理19】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接 ‎ ‎（Ⅰ）证明：．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写 出结论）；若不是，说明理由；‎ ‎（Ⅱ）若面与面所成二面角的大小为，求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.‎ ‎（Ⅱ）如图1，在面内，延长与交于点，则是平面与平面 ‎ 的交线．由（Ⅰ）知，，所以．‎ 故是面与面所成二面角的平面角， ‎ 设，，有，‎ 在Rt△PDB中, 由, 得, ‎ 则 , 解得. ‎ 所以 ‎ 故当面与面所成二面角的大小为时，. ‎ ‎（解法2）‎ ‎（Ⅰ）如图2，以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系.‎ ‎ 设，，则，，点是的中点，‎ 所以，，‎ 于是，即. ‎ 又已知，而，所以. ‎ 因, , 则, 所以.‎ 由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，‎ 即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为. ‎ ‎（Ⅱ）由，所以是平面的一个法向量；‎ 由（Ⅰ）知，，所以是平面的一个法向量. ‎ 若面与面所成二面角的大小为，‎ 则，‎ 解得. 所以 ‎ 故当面与面所成二面角的大小为时，. ‎ ‎3.【2015高考广东，理18】如图2，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，，，.点是边的中点，点、分别在线段、上，且，．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求二面角的正切值；‎ ‎（3）求直线与直线所成角的余弦值．‎ 图2‎ P A B C D E F G ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）．‎ ‎（2）解：由（1）知PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AD，‎ 又∵CD⊥AD且PE∩CD=E，‎ ‎∴AD⊥平面PDC，‎ 又∵PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD，‎ 又∵AD⊥CD，∴∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，‎ 在Rt△PDE中，由勾股定理可得：‎ PE===，‎ ‎∴tan∠PDC==；‎ ‎（3）如下图所示，连接，‎ ‎ ‎ ‎1．（2014·辽宁卷）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是(　　)‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n ‎ B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α ‎ D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α ‎【答案】B　‎ ‎【解析】由题可知，若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或异面，所以A错误；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错误．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊥α或n与a相交，故D错误．‎ ‎2．（2014·福建卷）在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图15所示．‎ ‎(1)求证：AB⊥CD；‎ ‎(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．‎ 图15‎ ‎3．（2014·新课标全国卷Ⅱ）直三棱柱ABCA1B‎1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A‎1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】C　‎ ‎ 4．（2014·四川卷）三棱锥A BCD及其侧视图、俯视图如图14所示．设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.‎ ‎(1)证明：P是线段BC的中点；‎ ‎(2)求二面角A NP M的余弦值．‎ ‎　‎ 图14‎ ‎【解析】解：(1)如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO.‎ 由侧视图及俯视图知，△ABD，△BCD为正三角形，‎ 所以AO⊥BD，OC⊥BD.‎ 因为AO，OC⊂平面AOC，且AO∩OC＝O，‎ 所以BD⊥平面AOC.‎ 又因为AC⊂平面AOC，所以BD⊥AC.‎ 取BO的中点H，连接NH，PH.‎ 又M，N，H分别为线段AD，AB，BO的中点，所以MN∥BD，NH∥AO，‎ 因为AO⊥BD，所以NH⊥BD.‎ 因为MN⊥NP，所以NP⊥BD.‎ 因为NH，NP⊂平面NHP，且NH∩NP＝N，所以BD⊥平面NHP.‎ 又因为HP⊂平面NHP，所以BD⊥HP.‎ 又OC⊥BD，HP⊂平面BCD，OC⊂平面BCD，所以HP∥OC.‎ 因为H为BO的中点，所以P为BC的中点．‎ 因为在平面ABC内，NQ⊥AC，BR⊥AC，‎ 所以NQ∥BR.‎ 又因为N为AB的中点，所以Q为AR的中点，‎ 所以NQ＝＝.‎ 同理，可得MQ＝.‎ 故△MNQ为等腰三角形，‎ 所以在等腰△MNQ中，‎ cos∠MNQ＝＝＝.‎ 故二面角A NP M的余弦值是.‎ 所以M，N，P，于是AB＝(1，0，－)，BC＝(－1，，0)，MN＝(1，0，0)，NP＝.‎ 设平面ABC的一个法向量n1＝(x1，y1，z1)，‎ 设二面角A NP M的大小为θ，则cos θ＝＝＝.‎ 故二面角ANPM的余弦值是.‎ ‎1．在下列命题中，不是公理的是(　　)‎ A．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ‎【答案】　A ‎【解析】　选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．‎ ‎2.已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是(　　)‎ A.相交或平行 B.相交或异面 C.平行或异面 D.相交、平行或异面 ‎【答案】　D ‎【解析】　依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，选D.‎ ‎3.给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是(　　)‎ A.① B.①④ C.②③ D.③④‎ ‎【答案】　B ‎ ‎ ‎4. a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(　　)‎ A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面 B.若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交 C.若a∥b，则a，b与c所成的角相等 D.若a⊥b，b⊥c，则a∥c ‎【答案】　C ‎【解析】　若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确.故选C. ‎ ‎5.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　B ‎【解析】　连接DF，则AE∥DF，‎ ‎∴∠D1FD为异面直线AE与D1F所成的角.‎ 设正方体棱长为a，‎ 则D1D＝a，DF＝a，D1F＝a，‎ ‎∴cos∠D1FD＝＝.‎ ‎6．如图所示，平面α，β，γ两两相交，a，b，c为三条交线，且a∥b，则a与c，b与c的位置关系是________．‎ ‎【答案】　a∥b∥c ‎【解析】　∵a∥b，a⊂α，b⊄α，∴b∥α.‎ 又∵b⊂β，α∩β＝c，∴b∥c.∴a∥b∥c.‎ ‎7．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．‎ ‎【答案】　4‎ ‎【解析】　EF与正方体左、右两侧面均平行．所以与EF相交的侧面有4个．‎ ‎8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．‎ ‎【答案】　无数 ‎ ‎ ‎9.如图，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD ‎＝3∶1，过E、F、G的平面交AD于点H.‎ ‎(1)求AH∶HD；‎ ‎(2)求证：EH、FG、BD三线共点．‎ ‎【解析】(1)解　∵＝＝2，∴EF∥AC，‎ ‎∴EF∥平面ACD，而EF⊂平面EFGH，‎ 平面EFGH∩平面ACD＝GH，‎ ‎∴EF∥GH，∴AC∥GH.‎ ‎∴＝＝3.∴AH∶HD＝3∶1.‎ ‎(2)证明　∵EF∥GH，且＝，＝，‎ ‎∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形．‎ 令EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH⊂平面ABD，‎ 又P∈FG，FG⊂平面BCD，‎ 平面ABD∩平面BCD＝BD，‎ ‎∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点．‎ ‎10．以下四个命题中，‎ ‎①不共面的四点中，其中任意三点不共线；‎ ‎②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；‎ ‎③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；‎ ‎④依次首尾相接的四条线段必共面．‎ 正确命题的个数是(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ ‎【答案】　B ‎【解析】　①中显然是正确的；②中若A、B、C三点共线，则A、B、C、D、E五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图显然b、c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面，故只有①正确．‎ ‎11．如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是(　　)‎ A．|BM|是定值 B．点M在某个球面上运动 C．存在某个位置，使DE⊥A1C D．存在某个位置，使MB∥平面A1DE ‎【答案】　C ‎ 12．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1、H、O三点共线．‎ 证明　连接BD，B1D1，如图．‎ 则BD∩AC＝O，‎ ‎∵BB1綊DD1，‎ ‎∴四边形BB1D1D为平行四边形，又H∈B1D，‎ B1D⊂平面BB1D1D，‎ 则H∈平面BB1D1D，‎ ‎∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1.‎ 即D1、H、O三点共线．‎ ‎13.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点.问：‎ ‎ (1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；‎ ‎(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由.‎ ‎ ‎ ‎(2)直线D1B和CC1是异面直线.‎ 理由：因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面.假设D1B与CC1不是异面直线，‎ 则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，‎ 所以D1，B，C，C1∈α，‎ 这与B，C，C1，D1不共面矛盾.所以假设不成立，‎ 即D1B和CC1是异面直线.‎ ‎14. 如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点.已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：‎ ‎ ‎ ‎ (1)三棱锥P－ABC的体积；‎ ‎(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值.‎ ‎ ‎