高中数学人教a版选修2-3练习：1-1-2分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用word版含解析

高中数学人教a版选修2-3练习：1-1-2分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用word版含解析

学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．5名同学去听同时进行的 4个课外知识讲座，每个同学可自由选择，且 必须选择一个知识讲座，则不同的选择种数是( ) A．54 B．45 C．5×4×3×2 D．5×4 【解析】 5名同学每人都选一个课外知识讲座，则每人都有 4种选择，由 分步乘法计数原理知共有 4×4×4×4×4＝45种选择． 【答案】 B 2．已知集合 M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6,7}，从两个集合中各取一个元素 作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的 个数是( ) A．18 B．17 C．16 D．10 【解析】 分两类． 第一类：M 中的元素作横坐标，N 中的元素作纵坐标，则在第一、二象限内 的点有 3×3＝9(个)； 第二类：N 中的元素作横坐标，M 中的元素作纵坐标，则在第一、二象限内 的点有 4×2＝8(个)． 由分类加法计数原理，共有 9＋8＝17(个)点在第一、二象限． 【答案】 B 3．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺 年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有( ) A．12种 B．9种 C．8种 D．6种 【解析】 设四张贺卡分别记为 A，B，C，D.由题意，某人(不妨设 A 卡的 供卡人)取卡的情况有 3种，据此将卡的分配方式分为三类，对于每一类，其他 人依次取卡分步进行，为了避免重复或遗漏，我们用“树状图”表示如下： BADCCDADAC CADBDABDBA DABCCABCBA 所以共有 9种不同的分配方式，故选 B. 【答案】 B 3 4 图 118 4.将 1,2,3，…，9这 9个数字填在如图的 9个空格中，要求每一行从左到右， 每一列从上到下分别依次增大．当 3,4固定在图 118中的位置时，填写空格的 方法为( ) A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 【解析】 因为每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，1,2,9只 有一种填法，5 只能填在右上角或左下角，5 填好后与之相邻的空格可填 6,7,8 任一个；余下两个数字按从小到大只有一种方法．共有 2×3＝6 种结果，故选 A. 【答案】 A 5．体育老师把 9个相同的足球放入编号为 1,2,3的三个箱子中，要求每个箱 子放球的个数不少于其编号，则不同的放球方法有( ) 【导学号：97270006】 A．8种 B．10种 C．12种 D．16种 【解析】 首先在三个箱子中放入个数与编号相同的球， 这样剩下三个足球，这三个足球可以随意放置， 第一种方法，可以在每一个箱子中放一个，有 1种结果； 第二种方法，可以把球分成两份，1和 2，这两份在三个位置，有 3×2＝6 种结果；第三种方法，可以把三个球都放到一个箱子中，有 3种结果． 综上可知共有 1＋6＋3＝10种结果． 【答案】 B 二、填空题 6．小张正在玩“QQ农场”游戏，他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、 辣椒、胡萝卜这 5种种子中选出 4种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只 能种植一种作物)，若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒，则不同的种植 方案共有________种． 【解析】 当第一块地种茄子时，有 4×3×2＝24种不同的种法；当第一块 地种辣椒时，有 4×3×2＝24种不同的种法，故共有 48种不同的种植方案． 【答案】 48 7．从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取 3个不同元素分别作为直线方程 Ax＋By＋C ＝0中的 A，B，C，所得直线经过坐标原点的有________条． 【解析】 因为过原点的直线常数项为 0，所以 C＝0，从集合中的 6个非 零元素中任取一个作为系数 A，有 6种方法，再从其余的 5个元素中任取一个作 为系数 B，有 5种方法，由分步乘法计数原理得，适合条件的直线共有 1×6×5 ＝30(条)． 【答案】 30 8．甲、乙、丙 3位志愿者安排在周一至周五的 5天中参加某项志愿者活动， 要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的 安排方法共有________种． 【解析】 分三类：若甲在周一，则乙丙有 4×3＝12种排法； 若甲在周二，则乙丙有 3×2＝6种排法； 若甲在周三，则乙丙有 2×1＝2种排法． 所以不同的安排方法共有 12＋6＋2＝20种． 【答案】 20 三、解答题 9．如图 119 所示，用 6种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色，每个格子 涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，不同 的涂色方法共有多少种(用数字作答)． 图 119 【解】 不妨将图中的 4个格子依次编号为①②③④，当①③同色时，有 6×5×1×5＝150种方法；当①③异色时，有 6×5×4×4＝480种方法．所以共 有 150＋480＝630种方法． 10．用数字 1,2,3,4,5,6组成无重复数字的三位数，然后由小到大排成一个数 列． (1)求这个数列的项数； (2)求这个数列中的第 89项的值． 【解】 (1)完成这件事需要分别确定百位、十位和个位数，可以先确定百 位，再确定十位，最后确定个位，因此要分步相乘． 第一步：确定百位数，有 6种方法． 第二步：确定十位数，有 5种方法． 第三步：确定个位数，有 4种方法． 根据分步乘法计数原理，共有 N＝6×5×4＝120个三位数． 所以这个数列的项数为 120. (2)这个数列中，百位是 1,2,3,4的共有 4×5×4＝80个， 百位是 5的三位数中，十位是 1或 2的有 4＋4＝8个， 故第 88个为 526，故从小到大第 89项为 531. [能力提升] 1．(2016·菏泽检测)如图 1110，一环形花坛分成 A，B，C，D 四块，现有 4种不同的花供选种，要求在每块里种 1种花，且相邻的 2块种不同的花，则不 同的种法总数为( ) 图 1110 A．96 B．84 C．60 D．48 【解析】 可依次种 A，B，C，D 四块，当 C 与 A 种同一种花时，有 4×3×1×3 ＝36种种法；当 C 与 A 所种花不同时，有 4×3×2×2＝48种种法． 由分类加法计数原理，不同的种法种数为 36＋48＝84. 【答案】 B 2．两人进行乒乓球比赛，采取五局三胜制，即先赢三局者获胜，决出胜负 为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局数的不同视为不同情形)共有( ) A．10种 B．15种 C．20种 D．30种 【解析】 由题意知，比赛局数最少为 3局，至多为 5局．当比赛局数为 3 局时，情形为甲或乙连赢 3局，共 2种；当比赛局数为 4局时，若甲赢，则前 3 局中甲赢 2局，最后一局甲赢，共有 3种情形；同理，若乙赢，则也有 3种情形， 所以共有 6种情形；当比赛局数为 5局时，前 4局，甲、乙双方各赢 2局，最后 一局胜出的人赢，若甲前 4局赢 2局，共有赢取第 1、2局，1、3局，1、4局， 2、3局，2、4局，3、4局六种情形，所以比赛局数为 5局时共有 2×6＝12(种)， 综上可知，共有 2＋6＋12＝20(种)．故选 C. 【答案】 C 3．在一次运动会选手选拔赛上，8名男运动员参加 100米决赛．其中甲、 乙、丙三人必须在 1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这 8名运动 员比赛的方式共有________种． 【解析】 分两步安排这 8名运动员． 第一步：安排甲、乙、丙三人，共有 1,3,5,7四条跑道可安排，所以安排方 式有 4×3×2＝24种． 第二步：安排另外 5人，可在 2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，所以 安排方式有 5×4×3×2×1＝120种． 所以安排这 8人的方式有 24×120＝2 880种． 【答案】 2 880 4．(2016·杭州外国语学校检测)给出一个正五棱柱，用 3种颜色给其 10个顶 点染色，要求各侧棱的两个端点不同色，有几种染色方案？ 【解】 分两步，先给上底面的 5 个顶点染色，每个顶点都有 3 种方法，共有 3 5 种方 法，再给下底面的 5个顶点染色，因为各侧棱两个端点不同色，所以每个顶点有 2种方法， 共有 25种方法，根据分步乘法计数原理，共有 35·25＝7 776(种)染色方案.