高中数学(平面向量)综合练习含解析

高中数学(平面向量)综合练习含解析

高中数学(平面向量)综合练习含解析 1．在 ABC△ 中， AB c  ， AC b  ．若点 D 满足 2BD DC  ，则 AD  （ ） A． 2 1 3 3b c  B． 5 2 3 3c b  C． 2 1 3 3b c  D． 1 2 3 3b c  2．已知 1, 3OA OB   ， 0OA OB   ，点 C 在 AOB 内，且 30AOC   ，  ,OC mOA nOB m n R     ，则 m n 等于（ ） A．3 B． 1 3 C． 3 3 D． 3 3．若向量 , ,a b c    满足 a b  ∥ ，且 a c  ，则  2c a b     （ ） A．4 B．3 C．2 D．0 4．已知向量 ( , 2), (1,1 )m a n a     ，且 m n  ∥ ，则实数 a （ ） A． 1 B． 2 或 1 C． 2 D． 2 5．已知向量 (1,2)a  ，向量 ( , 2)b x  ，且 ( )a a b    ，则实数 x 等于 A． 4 B． 4 C．0 D．9 6．已知| a  |＝1，|b  |＝ 2 ，且 ( )a a b    ，则向量 a  与向量b  的夹角为（ ） A． 6  B． 4  C． 3  D． 2 3  7．已知平面向量 a  ， b  满足   3a a b     ，且 2a  ， 1b  ，则向量 a  与 b  夹角的 正弦值为（ ） A． 1 2  B． 3 2  C． 1 2 D． 3 2 8．在平行四边形 ABCD中， 2AD ， 60BAD   ，E 为CD 的中点．若 1AD BE   ， 则 AB 的长为 ( ) A． 6 B． 4 C．5 D． 6 9 ． O 为 平 面 上 的 定 点 ， A ， B ， C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 点 ， 若 ( ) ( 2 ) 0OB OC OB OC OA         ，则 ABC 是（ ） A．以 AB 为底面的等腰三角形 B．以 BC 为底面的等腰三角形 C．以 AB 为斜边的直角三角形 D．以 BC 为斜边的直角三角形 2 10．在 ABC 中， 1 4MB AB  ，且对 AB 边上任意一点 N，恒有 NB NC MB MC      ， 则有（ ） A． AB BC B． AB AC C． AB AC D． AC BC 11．点 P 是 ABC 所在平面内的一点，若 ( )CB PA PB R      ，则点 P 在（ ） A． ABC 内部 B．AC 边所在的直线上 C．AB 边所在的直线上 D．BC 边所在的直线上 12．在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a ， b ， c ， 6c b  ， 2c b a   ， 且O 为此三角形的内心，则 AO CB    （ ） A．4 B．5 C．6 D．7 13．在 ABC 中， 3,3||,2||,,  bababACaBC 则∠C 的大小为（ ） A．30 B． 60 C．120 D．150 14．在 ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，且 cos 3 cos cosb C a B c B  ， 2BA BC   ，则 ABC 的面积为（ ） A． 2 B． 3 2 C． 2 2 D． 4 2 15．若非零向量 ,a b 满足| | | | 2 | |a b a b a    ，则向量b 与 a b 的夹角为 . 16．在平面直角坐标系中，设 , ,M N T 是圆C : 2 2( 1) 4x y   上不同三点，若存在正 实数 ,a b ，使得CT aCM bCN    ，则 3 2 2 1a ab ab b a     的取值范围为 ． 17．已知向量 (1, 3)a  ，向量 ,a c   的夹角是 3  ， 2a c   ，则| |c  等于 ． 18．已知正方形 ABCD，过正方形中心O 的直线 MN 分别交正方形的边 CDAB, 于点 NM、 ，则 2 2 BN MN 最小值为_________________． 19．若 ,a b   均为非零向量，且    2 , 2a b a b a b         ，则 ,a b   的夹角为 ． 20．在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB//DC，∠ABC=60°，BC= 1 2 AB=2，动点 E 和 F 分别在 线段 BC 和 DC 上，且 BE  =  BC  ，DF  = 2 1 DC  ，则 AE  ·BF  的最小值为 ． 21．已知 ABC 是边长为 1 的正三角形，动点 M 在平面 ABC 内，若 0AM AB   ， | | 1CM  ，则CM AB  的取值范围是 ． 22．向量 (1,1)a  ，且 a  与 a b  的方向相反，则 a b  的取值范围是 ． 23．如图，在三棱锥中 D ABC 中，已知 2AB  ， 3AC BD    ，设 AD a ，BC b ， CD c ，则 2 1 c ab  的最小值为 ． 24．已知 A 点坐标为 ( 1,0) ，B 点坐标为 (1,0) ，且动点 M 到 A 点的距离是 4 ，线段 MB 的 垂直平分线l 交线段 MA 于点 P ． （1）求动点 P 的轨迹 C 方程． （2）若 P 是曲线 C 上的点，，求 k PA PB  的最大值和最小值． 25．△ABC 中，内角为 A，B，C，所对的三边分别是 a，b，c，已知 2 b ac ， 3cos 4B  ． （1）求 1 1 tan tanA C  ； （2）设 BA  · 3 2BC  ,求 a c ． 26．已知函数   1 1f x x   ，点O 为坐标原点, 点   , (nA n f n nN * ) ,向量  0,1i ， n 是向量 nOA  与 i 的夹角，则 20161 2 1 2 2016 coscos cos sin sin sin        的值为 ． 27．已知向量 3(sin , ), (cos , 1).2a x b x    （1）当 //a b   时，求 22cos sin 2x x 的值； （2）求 bbaxf   )()( 在 ,02     上的值域． 28．如图，在平面直角坐标系中，方程为 022  FEyDXyx 的圆 M 的内接四 边形 ABCD的对角线 BDAC和 互相垂直，且 BDAC和 分别在 x 轴和 y 轴上． （1）若四边形 ABCD的面积为 40，对角线 AC 的长为 8， 0 ADAB ，且 ADC 为 锐角，求圆的方程，并求出 DB, 的坐标； （2）设四边形 ABCD的一条边 CD 的中点为 G ， ABOH  ，且垂足为 H ，试用平 面解析几何的研究方法判断点 HGO 、、 是否共线，并说明理由． 29．在直角坐标系 xOy 中，已知点 (1,1), (2,3), (3,2)A B C ，点 ( , )P x y 在 ABC 中三边 围成的区域（含边界）上，且 ( , )OP AB AC R        ． （1）若 2 3    ，求 OP ； （2）用 ,x y 表示   并求   的最大值． 30．已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     ,过左焦点 1( 1,0)F  的直线与椭圆C 交于 M 、 N 两点，且 2F MN 的周长为8 ；过点 (4,0)P 且不与 x 轴垂直的直线l 与椭圆 C 相交 于 A 、 B 两点． （1）求椭圆C 的方程； （2）求OA OB  的取值范围； （3）若 B 点关于 x 轴的对称点是 E ，证明：直线 AE 与 x 轴相交于定点． 参考答案 1．C 【解析】 试题分析：如图所示，在 ABC 中， AD AB BD    又 2BD DC  ，  2 2 2 2 1 3 3 3 3 3BD BC BC AC AB b c AD AB BC c b c b c                             故选 C． 考点：向量加法 2．A 【解析】 试题分析：如图所示，建立直角坐标系．则    1,0 , 0, 3 ,OA OB   ∴   3 3, 3 , tan30 33 n mOC mOA nOB m n m n            ．故选 B 考点：共线向量 【名师点睛】本题主要考查了共线向量及向量的模等知识，属基础题．解题时对一个向量根 据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方 向上的分量，再根据已知条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果． 3．D 【解析】 试 题 分 析 ： 设 ba   ， 则 由 已 知 可 得  ( 2 ) (2 ) (2 b) 2 1 0c a b c a c b c a c c a                            考点：向量的运算 4．B 【解析】 试题分析：由已知 m n  ∥ ，则   2(1 ) 2 1 2 0 1, 2a a a a a a              考点：共线向量 5．D 【解析】 试题分析：  1 ,4a b x     由    ( ) 1,2 1 ,4 1 8 0 9a a b x x x             考点；向量垂直的充要条件 6．B 【解析】 试题分析：由题意得 2 2( ) 0 1 cos , 2| | | | a ba a b a b a a b a b                        ，所以向量 a r 与 向量 b r 的夹角为 4  ，选Ｂ． 考点：向量夹角 7．D 【解析】 试 题 分 析 ：   2 1 23 3 1 cos , , .2 3a a b a a b a b a b a b                            选 D． 考点：向量夹角 8．D 【解析】 试 题 分 析 ： 1 1+ ) + ) )2 2AD BE AD BA AD DE AD AB AD AB AD AD AB                     （ （- （ 1 14 2 cos 4 12 3 2AB AB        ，因此 6.AB  选 D． 考点：向量数量积 9．B 【解析】 试 题 分 析 ： 设 BC 的 中 点 为 D ， ∵ ( ) ( )2 0OB OC OB OC OA         ， ∴ ( )2 2 0CB OD OA     ， ∴ 2 0CB AD   ，∴CB AD  ，故△ABC 的 BC 边上的中线也是高线．故△ABC 是以 BC 为 底边的等腰三角形，故选 B． 考点：三角形的形状判断． 10．D 【解析】 试题分析：以 A 为原点， AB  为 x 轴，建立直角坐标系，设 (4,0), ( , )B C a b ， ( ,0)N x ，则 (3,0)M ， (1,0) ( 3, ) 3MB MC a b a       ， (4 ,0) ( , ) (4 )( )NB NC x a x b x a x         ， 2(4 )( ) ( 4) 4x a x x a x a      2 24 ( 4)( ) 42 4 a ax a     ， 由题意 2( 4)4 34 aa a   （或 4 32 a   ），解得 2a  ，所以 AC BC ．故选 D． 考点：向量的数量积，数量积的坐标运算． 【名师点睛】1．平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA  ＝ a  ，点 A 的位置被 a  所唯 一确定，此时 a  的坐标与点 A 的坐标都是（x，y）．向量的坐标表示和以坐标原点为起点的 向量是一一对应的，即向量（x，y） 向量 OA  点 A（x，y）．要把点 的坐标与向量的坐标区分开，相等的向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，也 不能认为向量的坐标是终点的坐标，如 A（1，2），B（3，4），则 AB  ＝（2，2）． 3．用坐标法解向量问题，可以把几何问题代数化，用函数思想研究几何问题，可以减少思 维量，降低难度．本题建立坐标系后， (4 ,0) ( , ) (4 )( )NB NC x a x b x a x         ，问 题转化为函数 ( ) (4 )( )f x x a x   的最小值是 3a  或在 3x  时取得最小值，由二次函数 的性质结论易得． 11．B 【解析】 试题分析：由CB PA PB    得CB PB PA    ，即 CP PA  ，所以CP  与 PA  共线， 故选 B． 考点：向量的线性运算，向量的共线． 12．C 【解析】 试题分析：如下图所示，过 O 作OD AB 于 D ，OE AC 于 E ， ∴ ( ) | | | | | | | |AO CB AO AB AC AO AB AO AC AD AB AE AC                    ， 又∵ O 为 ABC 内心，∴| | | | | | | | | | | |AD AB AE AC AD c AD b       ， (| | | | | |)| | 2 2 a b c BD BC CE c b aAD         ， ∴ ( )( )( ) 62 c b c b aAO CB AO AB AC AO AB AO AC                     ，故选 C． 考点：1．三角形内心性质；2．平面向量数量积． 【思路点睛】平面向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算， 数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，常利用数形结 合思想将问题等价转化为利用几何图形中的不等关系将问题简化，一般会与函数，不等式等 几个知识点交汇，或利用平面向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势． 13．B 【解析】 试题分析： cos 3a b a b C     ，解得 2 1cos C ，所以 060C ，故选 B． 考点：平面向量数量积的应用． 14．C 【解析】 试 题 分 析 ： 由 cos 3 cos cosb C a B c B  ， 根 据 正 弦 定 理 可 得 sin cos 3sin cos sin cosB C A B C B  ，   1sin 3sin cos sin , cos 3B C A B A B      ； 再 根 据 2BA BC   ， 得 cos 2c a B   ， 6ac  ，所以 ABC 的面积为 1 sin 2 22 ac B  ，故 C 为正确答案． 考点：1、正弦定理；2、向量的数量积． 【思路点晴】本题主要考查的是正弦定理、三角函数的和差公式、向量的数量积的综合运用， 属于中档题；由 cos 3 cos cosb C a B c B  ，根据正弦定理求出 cos B 的值，进而求出sin B 的值；再根据 2BA BC   ，利用两个向量的数量积的定义求得 ac 的值，最后根据面积公式 1 sin2 ac B 求出 ABC 的面积即可． 15． 6  【解析】 试题分析：如图所示，设 AB ,a AD b     ，∵两个非零向量满足| | | | 2 | |a b a b a    ， 则四边形 ABCD 是矩形，且 1 2 3 6 AB cos BAC BAC OAB OADAC          ， ， ． 而向量b  与 a b 的夹角即为 OAD ，故向量b  与 a b 的夹角为 6  考点：向量的夹角的计算 16． (2, ) 【解析】 试题分析：由题意， 2CT CM CN     ，设 ,CM CN   夹角为 ，对CT aCM bCN    两 边 平 方 ， 整 理 得    2 22 2 2 24 4 2 4 1 12 o 11 c sa abCM CN cos a b ab ba ab b                  ，可得到 1 1, 1 1a b a b a b        或 ，以为 a 横坐标, b 为纵坐标,表示出满足上面条件的平 面 区 域 ． 如 图 阴 影 部 分 所 示 ， 则   3 2 22 2 22 1 1 12 1 1a ab ab b b ba b b a ba a a               ， 它表示点  ,a b 到点 0, 1 的距离的平方及点 ,a b 与点 0, 1 连线斜率的和，由可行域 可 知 当 点  ,a b 位 于 点  1,0 时 取 到 最 小 值 2 ， 但 由 题 意 ,a b 为 正 实 数 ， 故 3 2 2 1a ab ab b a     的取值范围为 (2, ) 【名师点睛】本题主要考查向量的运算，简单的线性规划，及目标函数的实际意义等知识， 属难题．解题时由两个难点，一个是根据题意得到可行域明亮一个是目标函数的实际意义， 需要一定的数学功底． 考点： 17．2 【解析】 试题分析： cos , =2 cos 2 23a c a c a c c c                考点：向量的运算 18． 53 【解析】 试题分析：以正方形中心O 为坐标原点建立如图所示直角坐标系，设正方形边长为 2 个单 位 ， 则 (1,1), ( ,1), ( , 1), [ 1,1]B M m N m m    ， 因 此 2 2 2 2 4 4 (1 ) 4 MN my BN m     ， 由 2 2 2 8( 4 1) 0[(1 ) 4] m my m      得 5 2 5 2( )m m    或 舍 ，因此函数在 ( 5 2,1) 单调增，在 ( 1, 5 2)  单调减，即 5 2m   时，函数取最小值 53 y x CND A M B O 考点：利用导数求函数最值 【思路点睛】 函数最值存在的两条定论 1．闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端 点取到．不单调时，利用导数探求极值点，为函数取最值的可疑点． 2．开区间上的“单峰”函数一定存在最大（小）值．“单峰”利用导数探求． 19． 3  【解析】 试题分析：        2 2 2 , 2 2 0, 2 0 2a b a b a b a b a b a b a b a b                              ， 因此 1cos , .2 3| || | a b a b         考点：向量夹角 20． 4 6 l3 【解析】 试题分析：由题意得 4, 2AB CD  ( ) ( )AE BF AB BE BC CF AB BC BE BC AB CF BE CF                          | | | | cos120 | | | | | | | | | || |cos60AB BC BE BC AB CF BE CF                21 1 1 14 2 ( ) 2 4 (1 ) 2 2 (1 ) 22 2 2 2                  4 413 6 13 2 6           4 6 l3 ，当且仅 6= 3  当时取等号，即 AE  ·BF  的最小值为 4 6 l3 考点：向量数量积，基本不等式求最值 21． 1[ 1, )2   【解析】 试题分析：如图，以 A 为原点， AB 为 x 轴建立直角坐标系，则 1 3(1,0), ( , )2 2B C ，设 ( , )M x y ， ( , ) (1,0) 0AM AB x y x      ，由 1CM  得 2 21 3( ) ( ) 12 2x y    ，所以 1 02 x   ，所以 1 3 1( , ) (1,0)2 2 2CM AB x y x        1[ 1, )2    ． 考点：向量的数量积，数量积的坐标运算． 【名师点睛】1．在解决具体问题时，合理地选择基底会给解题带来方便．在解有关三角形 的问题时，可以不去特意选择两个基本向量，而可以用三边所在的三个向量，最后可以根据 需要任意留下两个即可，这样思考问题要简单得多． 2．平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA  ＝ a  ，点 A 的位置被 a  所唯一确定，此时 a  的坐标与点 A 的坐标都是（x，y）．向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应 的，即向量（x，y） 向量OA  点 A（x，y）．要把点的坐标与向量的 坐标区分开，相等的向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，也不能认为向量的 坐标是终点的坐标，如 A（1，2），B（3，4），则 AB  ＝（2，2）． 3．用坐标法解向量问题，可以把几何问题代数化，用函数思想研究几何问题，可以减少思 维量，降低难度． 22． ( , 2)  【解析】 试题分析：因为 a  与 a b  的方向相反，所以 a  与b  共线，且方向相反．设 ( , )b ka k k   （ 0k  ）， 又 (1 ,1 )a b k k     与 a  方 向 相 反 ， 所 以 1 0k  ， 1k   ， 所 以 2 2a b k k k       ． 考点：向量的数量积，共线向量，数量积的坐标运算． 23． 2 ． 【解析】 试题分析：设 AD a  ，CB b  ，DC c  ，∵ 2AB  ，∴ 2 2 2 2| | 4a b c a b c         2( ) 4a b b c c a           ， 又 ∵ 3AC BD    ， ∴ 2( ) ( ) 3 3a c b c a b b c c a c                       ， ∴ 2 2 2 2 2 2 22(3 )=4 2a b c c c a b        ，∴ 2 2 2 2 2 21 1 a b ab ab ab      ，当且仅当 a b 时，等号成立，即 2 1 c ab  的最小值是 2 ． 考点：1．空间向量的数量积；2．不等式求最值． 【思路点睛】向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数 量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，将问题简化，一 般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用向量的数量积解决其他数学问题是今后考试 命题的趋势． 24．（1） 2 2 14 3 x y  ；（2） max 4k  ， min 3k  ． 【解析】 试题分析：（1）根据题意知| | | | | | | | 4 2PA PB PA PM     ，所以 P 的轨迹是以 ,A B 为 焦点的椭圆，且 2 4,2 2a c  ，所以轨迹的方程为 2 2 14 3 x y  ；（2）设点 0 0( , )P x y 则 2 2 0 0 14 3 x y  ，根据两点之间的距离公式得： 2 2 2 2 0 0 0 0( 1) ( 1)k x y x y      ，化简 得： 2 0 14 4k x  ，又有椭圆的范围知 02 2x   ，求函数的最值． 试题解析：（1）∵| | | | | | | | 4PA PB PA PM    ；又| | 2AB  ， ∴ P 的轨迹是以 ,A B 为焦点的椭圆， ∵ 2 4,2 2a c  ，∴ 2 2 2 3b a c   ， 所求轨迹方程为 2 2 14 3 x y  ． （2）解：设点 0 0( , )P x y 则 2 2 0 0 14 3 x y  2 2 2 2 0 0 0 0( 1) ( 1)k x y x y      0( 2 2)x   2 2 0 0 0 0 1 12 4 2 44 4x x x x      0 0 1 1(2 )(2 )2 2x x   2 0 14 4 x  0 max0 4x k  当 时， 0 min2 3x k   当 时， 考点：1、椭圆的定义；2、椭圆的标准方程；3、两点间距离；4、二次函数的最值． 【方法点晴】本题主要考查的是利用椭圆的定义确定点的轨迹、椭圆的标准方程及椭圆的性 质，两点间距离，二次函数求最值，属于中档题题．求点的轨迹时，可以根据某些曲线的定 义先确定轨迹，再求其轨迹方程，在利用二次函数求最值的过程中，一定要分析自变量的取 值范围，否则容易产生错误． 25．（1） 4 77 ；（2）3． 【解析】 试题分析：（1）根据条件，采取化角的策略，由正弦定理得： ² sin B sinAsinC ，又 3cos 4B  ，所以 7 4sin A C sinB  （ ） ，所以 7 4 sin A C sinAsinC （ ）= ，展开两边 同除以 sinAsinC 即可；（2）因为 BA  · 3 2BC  ， 3cos 4B  ，所以 3 3 4 2ac cosB ac   ， 则 ² 2b ac  ，由余弦定理得 2 2 2 cos 2 a c bB ac   2 2 22 ( ) 2 2 3 4 4 4 a c a c ac       ，所以 ² 9a c （ ） ， 3a c  ． 试题解析：（1） ² ² b ac sin B sinAsinC   3 7 4 4cosB B sin A C sinB     且 为三角形内角 （ ） ∴ 1 1 cos cos 4 7tan tan sin sin 7 A C A C A C     （2）∵ BA  · 3 2BC  ， cosB  3 4 ∴ ac cosB  3 4 ac  3 2 ， 则 ² 2b ac  ∴ 2 2 2 2 2 22 ( ) 2 2 3cos 2 4 4 4 a c b a c a c acB ac           ∴ ² 9a c （ ） ， 3a c  考点：1、正弦定理；2、余弦定理；3、两角和正弦公式；4、数量积公式． 26． 2016 2017 【解析】 试 题 分 析 ： 由 题 意 可 得 90 n 是 直 线 nOA 的 倾 斜 角 ，     90 1 1 19090 ( ) ( ) 1 1 n n n n n f ncos sin tansin cos n n n n n                  （ ） ， ∴ 20161 2 1 2 2016 coscos cos 1 1 1 1 1 1 20161 ... 1sin sin sin 2 2 3 2016 2017 2017 2017                   ． 考点： 三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算 27．（1） 22cos sin 2x x 20 13  ；（2）       2 1,2 2)( 的值域为xf 【解析】 试题分析：（1）利用向量平行的坐标运算，同角三角函数间的关系，得到tanx 的值，然后 化简 22 2cos x sin x 即可 （2）先表示出 bbaxf   )()( 2 22 4sin x     ，再根据 x 的范围求出函数 f x（ ）的 最大值及最小值． 试题解析：（1） ||a b    ，∴ 3 cos sin 02 x x  ，∴ 3tan 2x   2 2 2 2 2 2cos 2sin cos 2 2tan 202cos sin 2 sin cos 1 tan 13 x x x xx x x x x       ． （2） 1(sin cos , )2a b x x     2( ) ( ) sin(2 )2 4f x a b b x        ∵ 02 x   ，∴ 3 24 4 4x      ，∴ 21 sin(2 )4 2x     ∴ 2 1( )2 2f x   ∴函数       2 1,2 2)( 的值域为xf ． 考点：正弦函数的性质 28．（1）   253 22  yx ，   )2,0(,8,0 DB （2）共线 【解析】 试题分析：（1）利用四边形 ABCD面积得直径 10BD ，因而半径为 5，利用弦 AC=8 可求 得圆心 M 到直线 AC 距离为 3，即圆心  3,0M ，方程为   253 22  yx ，可得圆在 y 轴上 的交点   )2,0(,8,0 DB （2）判断三点 HGO 、、 是否共线，一般利用斜率进行判定，即判 断 OG OHk k 是 否 成 立 ， 而 OHAB  ， 因 此 只 需 判 断 1OG ABk k   是 否 成 立 ， 设        0,0,,00, dDcCbBaA ，，， ．则转化为判断 bd ac 是否成立：对于圆 M 的一般方 程 022  FEyDXyx ，a，c 为 02  FDXx 两根，b，d 为 02  FEyy 两 根，从而由韦达定理得 ac F bd  ，因此三点共线． 试题解析：解：（1）不难发现，对角线互相垂直的四边形 ABCD面积 2 BDACS  ，因 为 8,40  ACS 可得 10BD ． 又 因为 0AB AD   ， 所以 A 为 直角 ， 而因 为 四 边形 是 圆 M 的 内接 四 边形 ， 故 5,102  rrBD ， 连 接 MA ， 求 得 3MO ， 所 以  3,0M ， 故 圆 M 的 方 程 为   253 22  yx ， 令 28,0  或yx ，求得   )2,0(,8,0 DB 证：设四边形四个顶点的坐标分别为        0,0,,00, dDcCbBaA ，，， ． 则可得点G 的坐标为      2,2 dc ，即      2,2 dcOG 又  ,AB a b  ，且 OHAB  ，故使 HOG 、、 共线，只需证 0AB OG   即可 而 2 bd acAB OG    ，且对于圆 M 的一般方程 022  FEyDXyx ， 当 0y 时，可得 02  FDXx ，其中方程的两根分别为点 A 和点C 的横坐标， 于是有 Facxx CA  ． 同理，当 0x 时，可得 02  FEyy ，其中方程的两根分别为点 B 和点 D 的纵坐标， 于是有 Fbdyy DB  ，所以， 02 bd acAB OG     ，即 OGAB  ， 故 HOG 、、 必定三点共线 考点：圆的方程，直线与圆位置关系 29．（1） 2 2OP  ；（2）   的最大值为 1． 【解析】 试题分析：（1）直接求出向量的坐标，即可计算模的大小；（2）由向量相等的定义可得 ,  ， 试 题 解 析 ：（ 1 ） 由 已 知 (1,2), (2,1)AB AC   ， 所 以 2 2 (2,2)3 3OP AB AC     ， 2 2OP  ， （ 2 ） 由 已 知 得 (1,2) (2,1) ( 2 ,2 )OP           ， ∴ 2 2 x y          ， 1 (2 )3 1 (2 )3 y x x y         ， ∴ y x    ．由简单线性规划的思想可得   的最大值为 1． 考点：向量的坐标运算，向量的相等，简单线性规划． 30．（1） 22 14 3 yx   ；（2） 13[ 4 )4  ， ；（3）证明见解析． 【解析】 试题分析：（1）由题意得可得 1c  ，由椭圆的定义可求得 2a  ，再由 , ,a b c 的关系，可得 到椭圆的标准方程；（2）设直线 PB 的方程为 ( 4)y k x  ，代入椭圆的方程，运用韦达定理， 以及向量的数量积的坐标表示、化简整理，由不等式的性质，即可得所求范围；（3）求得 E 的坐标，以及直线 AE 的方程，令 0y  ，运用韦达定理，即可得到所求定点． 试题解析：（1）椭圆的方程为 22 14 3 yx   （2）由题意知直线 AB 的斜率存在，设直线 PB 的方程为 ( 4)y k x  由 22 ( 4) 14 3 y k x yx     得： 2 2 2 2(4 3) 32 64 12 0k x k x k     由 2 2 2 2( 32 ) 4(4 3)(64 12) 0k k k       得： 2 1 4k  设 A（x1，y1），B （x2，y2），则 2 2 1 2 1 22 2 32 64 12 4 3 4 3 k kx x x x k k      ， ① ∴ 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( 4) ( 4) 4 ( ) 16y y k x k x k x x k x x k       ∴ 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 64 12 32 87(1 ) 4 16 25 4 3 4 3 4 3 k kOA OB x x y y k k k k k k                 ∵ 2 10 4k ≤ ，∴ 2 87 87 87 3 44 3k      ≤ ，∴ 13[ 4 )4OA OB    ， ∴OA OB  的取值范围是 13[ 4 )4  ， ． （3）证：∵B、E 两点关于 x 轴对称，∴E（x2，－y2） 直线 AE 的方程为 1 2 1 1 1 2 ( )y yy y x xx x    ，令 y = 0 得： 1 1 2 1 1 2 ( )y x xx x y y    又 1 1 2 2( 4) ( 4)y k x y k x   ， ，∴ 1 2 1 2 1 2 2 4( ) 8 x x x xx x x     由将①代入得：x = 1，∴直线 AE 与 x 轴交于定点（1，0）． 考点：椭圆的简单几何性质及其应用；直线与圆锥曲线的综合问题． 【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程的求法，椭圆的简单的几何性质及其应用，直 线与圆锥曲线的综合应用，着重考查了直线方程和椭圆联立，运用韦达定理，以及化简整理 的运算能力，属于中档性试题，本题的解答中，把直线方程 ( 4)y k x  代入椭圆的方程， 得二次方程 2 2 2 2(4 3) 32 64 12 0k x k x k     ，把向量OA OB  的运算转化为二次方程韦达定 理的应用，是解答此类问题的关键，同时此类问题的运算量较大，需要认真审题、细致计算 也是解答的一个易错点．