高中数学北师大版新教材必修一课时素养评价： 二十七 指数函数的图象和性质
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课时素养评价
二十七 指数函数的图象和性质
(15分钟 35分)
1.若函数f(x)=·ax是指数函数,则f的值为 ( )
A.2 B.2 C.-2 D.-2
【解析】选B.因为函数f(x)=·ax是指数函数,所以a-3=1,a>0,a≠1,解得a=8,所以f(x)=8x,所以f==2.
2.函数y=8-23-x(x≥0)的值域是 ( )
A.[0,8) B.(0,8)
C.[0,8] D.(0,8]
【解析】选A.因为x≥0,所以3-x≤3,0<23-x≤8,
所以0≤8-23-x<8.
3.函数y=0.的定义域为 .
【解析】要使函数有意义,则x2-1≠0,解得x≠±1.
答案:{x|x∈R,且x≠±1}
4.若<,则a的取值范围是 .
【解析】若<,则a>0,因为>,<,
所以函数y=ax单调递减,所以0
3-4a,即a2+4a-5>0,解得a<-5或a>1.
答案:∪
6.已知函数f(x)=,a为常数,且函数的图象过点(-1,2).
(1)求a的值;
(2)若g(x)=4-x-2,且g(x)=f(x),求满足条件的x的值.
【解析】(1)由已知得=2,解得a=1.
(2)由(1)知f(x)=,又g(x)=f(x),
则4-x-2=,即--2=0,
即--2=0,令=t,
则t>0,t2-t-2=0,即(t-2)(t+1)=0,
又t>0,故t=2,即=2,解得x=-1,
故满足条件的x的值为-1.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.已知函数f(x)=(a∈R),若f(f(-1))=1,则a= ( )
A. B. C.1 D.2
【解析】选A.因为f(-1)=2-(-1)=2,所以f(f(-1))=f(2)=4a=1,所以a=.
2.设a=2-1,b=(t∈R),则a与b的大小关系是 ( )
A.a≥b B.a≤b
C.ab
【解析】选B.因为y=2x在R上是增函数,且t2-1≥-1.所以≥2-1,即b≥a.
3.函数f(x)=a-|x|(a>0,a≠1),若f(2)=4,则 ( )
A.f(-1)>f(-2) B.f(1)>f(2)
C.f(2)f(-2)
【解析】选D.由f(2)=4,得a-2=4,又a>0,且a≠1,
所以a=,所以f(x)==2|x|.
易知f(x)为偶函数,且在[0,+∞)上单调递增
所以f(3)>f(2),所以f(-3)>f(-2).
4.已知x,y∈R,且2-x+3-y>2y+3x,则下列各式中正确的是 ( )
A.x-y>0 B.x+y<0
C.x-y<0 D.x+y>0
【解析】选B.由题意得,2-x-3x>2y-3-y,-3x>-3-y,设g(t)=-3t,则g(t)为减函数,且g(x)>g(-y),所以x<-y,即x+y<0.
【补偿训练】
设f(x)=a|x|(a>0且a≠1),则 ( )
A.f(a-1)>f(0) B.f(a-1)f(2) D.f(a+1)1时,|a+1|>2,所以a|a+1|>a2,
当0a2,
综上所述f(a+1)>f(2).
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.函数f(x)=(m2-m-1)ax是指数函数,则实数m的值为 ( )
A.2 B.3 C.-1 D.1
【解析】选AC.由指数函数的定义,得m2-m-1=1,解得m=2或-1.
【光速解题】选AC.可将ABCD四个选项中的值代入验证即可快速得出答案.
6.设函数f(x)=2x,对于任意的x1,x2(x1≠x2),下列命题中正确的是 ( )
A.f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)
B.f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)
C.>0
D.f<
【解析】选ACD.因为=·,
所以f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),
所以A成立;≠+,所以B不成立,
函数f(x)=2x在R上是增函数,
若x1>x2,则f(x1)>f(x2),则>0,
若x10,故C正确,f<说明函数是凹函数,而函数f(x)=2x是凹函数,故D正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知函数f(x)满足:对任意实数x1,又在y轴右侧函数y=的图象始终在函数y=的图象的下方,
所以>,即>>.
答案:
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知函数f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点,其中a>0,a≠1.
(1)求a的值;
(2)求函数y=f(x)的值域.
【解析】(1)因为f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点,所以a2-1=,即a=.
(2)由(1)知f(x)=,当x≥0时,x-1≥-1.
又f(x)=在[0,+∞)上单调递减,
所以0<≤=2.
所以函数y=f(x)的值域为(0,2].
10.已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1),其中a,b均为实数.
(1)若函数f(x)的图象经过点A(0,2),B(1,3),求函数y=的值域;
(2)如果函数f(x)的定义域和值域都是[-1,0],求a+b的值.
【解析】(1)因为函数f(x)的图象经过点A(0,2),B(1,3),
所以解得
所以函数f(x)=2x+1>1,函数y==<1.
又=>0,故函数y=的值域为(0,1).
(2)如果函数f(x)的定义域和值域都是[-1,0],
若a>1,函数f(x)=ax+b为增函数,
所以,方程组无解.
若00,a≠1)在[-2,1]上的值域为[m,4],且函数g(x)=在(0,+∞)上是减函数,则m+a= .
【解析】当a>1时,函数f(x)=ax在[-2,1]上的值域为[m,4],所以a=4,m=,函数g(x)==在(0,+∞)上是增函数,不满足题意;当01,即-1>0,整理得:>0.
解得
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