高中数学北师大版新教材必修一课时素养评价： 十二 一元二次函数
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课时素养评价
十二 一元二次函数
(15分钟 35分)
1.将一元二次函数y=5x2的图象平移,得到一元二次函数y=5(x-3)2-1的图象,下列平移方式中,正确的是 ( )
A.先向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
B.先向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
C.先向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
D.先向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
【解析】选D.将一元二次函数y=5x2的图象向右平移3个单位长度,得到一元二次函数y=5(x-3)2的图象,再向下平移1个单位长度得到y=5(x-3)2-1的图象.
2.函数y=-2x2+x在下列哪个区间上,函数值y随x增大而增大 ( )
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C. D.
【解析】选D.因为y=-2x2+x=-2+,所以其在区间上函数值y随x增大而增大.
3.一元二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数且a≠0)中的x与y的部分对应值如表,该函数图象的对称轴是直线 ( )
x
-1
0
1
3
y
-1
3
5
3
A.x=0 B.x=1
C.x=1.5 D.x=2
【解析】选C.由表知当x=0和x=3时,y=3,
所以该函数图象的对称轴是直线x=,即x=1.5.
4.函数y=x2-6x-3的最小值是 .
【解析】因为y=x2-6x-3=(x-3)2-12,
当x=3时,取得最小值,所以ymin=-12.
答案:-12
5.一元二次函数y=3x2的图象上有两点(2,y1),(5,y2),则y1 y2 (填>,<,=).
【解析】因为在区间(0,+∞)上y=3x2的函数值y随x的增大而增大,且2<5,所以y1
0
C.方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1,x2=3
D.当x<1时,y随x值的增大而增大
【解析】选AC.根据图象可知:对于A,对称轴x=-=1>0,故ab<0,正确;对于B,x=1时,y=a+b+c<0,错误;对于C,方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1,x2=3,正确;对于D,当x<1时,y随x值的增大而减小,错误.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.二次函数y=x2+bx+c的图象向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,得到二次函数y=x2-2x+1的图象,则b= ,c= .
【解析】二次函数y=x2+bx+c的图象向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,得到的函数为y=(x+2)2+b(x+2)+c+3.整理得,y=x2+(b+4)x+7+2b+c,又y=x2-2x+1,
则解得所以b=-6,c=6.
答案:-6 6
【补偿训练】
已知二次函数图象过点(4,-3),并且当x=3时,y有最大值4,则这个二次函数的解析式为 .
【解析】设二次函数的解析式为y=a(x-3)2+4(a<0),
因为函数图象过点(4,-3),所以-3=a(4-3)2+4.
解得a=-7.所以该函数解析式为y=-7(x-3)2+4.
答案:y=-7(x-3)2+4
8.已知函数y=ax2-2ax+3-b(a>0)在区间[1,3]上有最大值5和最小值2,则a+b= .
【解析】配方,得y=ax2-2ax+3-b=a(x-1)2-a+3-b(a>0),
此函数图象开口向上,对称轴为直线x=1,
所以在区间[1,3]上函数值y随x增大而增大.
故当x=3时,该函数取得最大值,即ymax=3a-b+3=5,当x=1时,该函数取得最小值,
即ymin=-a-b+3=2,所以a+b=1.
答案:1
【补偿训练】
函数y=x2-4x+5在区间[0,m]上的最大值为5,最小值为1,则实数m的取值范围是 .
【解析】y=x2-4x+5=(x-2)2+1在[0,+∞)上的图象如图,
由题意得2≤m≤4.
答案:[2,4]
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知二次函数y=-x2+x+2,
(1)求函数图象的对称轴和顶点坐标;
(2)把这个函数的图象向左、向下平移2个单位长度,得到哪一个函数的图象?
【解析】(1)配方,得y=-(x2-4x+4-4)+2=-(x-2)2+3,
所以函数图象的对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2,3);
(2)把这个函数的图象向左、向下平移2个单位长度,顶点成为(0,1),形状不变,得到函数y=-x2+1的图象.
10.在如图所示的平面直角坐标系中画出一元二次函数y=-5x2-2x+3的图象,其中每个小方格都是单位长度为1的小正方形,根据图象回答:
(1)写出此图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(2)试述函数值的变化趋势及最大值或最小值.
【解析】因为在二次函数y=-5x2-2x+3中,a=-5,b=-2,c=3,所以-=-=-,==.画图:
(1)开口向下;对称轴是直线x=-,顶点坐标是;
(2)在区间上,函数值y随x的增大而增大,在区间上,函数值y随x的增大而减小;函数在x=-处取得最大值,即ymax=.
1.已知二次函数y=-(h为常数),当自变量x的值满足2≤x≤5时,其对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为 ( )
A.-3或-6 B.-1或-6
C.-1或-3 D.-4或-6
【解析】选B.当-h<2,即h>-2时,有=-1,解得:h1=-1,h2=-3(舍去);当2≤-h≤5,即-5≤h≤-2时,函数有最大值,为0,不符合题意;当-h>5,即h<-5时,有=-1,解得h3=-4(舍去),h4=-6.综上所述:h的值为-1或-6.
2.某班“数学兴趣小组”对函数y=x2-2|x|的图象和性质进行了探究,探究过程如下:
(1)自变量x的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值如表:
x
…
-3
-
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
3
m
-1
0
-1
0
3
…
其中,m= ;
(2)根据表中数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请你画出该函数图象剩下的部分;
(3)观察函数图象,写出一条性质 ;
(4)进一步探究函数图象发现:
①方程x2-2|x|=0有 个实数根;
②关于x的方程x2-2|x|=a有4个实数根时,a的取值范围是 .
【解析】(1)x=-2时,m=(-2)2-2|-2|=0;
答案:0
(2)如图所示
(3)由函数图象知:x>1时,y随x的增大而增大;函数图象关于y轴对称(答案不唯一);
答案:当x>1时,y随x的增大而增大(答案不唯一)
(4)①由图知:图象与x轴有三个交点,所以方程x2-2|x|=0有3个实数根.
②由函数图象知:关于x的方程x2-2|x|=a有4个交点时,a的取值范围是-1
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