高中数学北师大版新教材必修一课时素养评价： 二十八 指数函数的图象和性质的应用
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课时素养评价
二十八 指数函数的图象和性质的应用
(15分钟 35分)
1.已知函数f(x)=ax+1-2(a>0且a≠1),且函数y=f(-x)的图象经过定点(-1,2),则实数a的值是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.因为f(x)=ax+1-2,所以f(-x)=a-x+1-2.因为函数y=f(-x)的图象经过定点(-1,2),所以a1+1-2=2,所以a=2.
【补偿训练】
函数f(x)=2ax+2-1(a>0且a≠1)的图象恒过的定点是 ( )
A.(-2,-1) B.(-2,1)
C.(-1,-1) D.(-1,1)
【解析】选B.函数f(x)=2ax+2-1(a>0且a≠1),
令x+2=0,解得x=-2,所以y=f(-2)=2×a0-1=2-1=1,所以f(x)的图象过定点(-2,1).
2.若函数y=a|x|+m-1(0
c>a B.c>a>b
C.a>b>c D.c>b>a
【解析】选D.因为0<0.50.6<0.50.5<0.60.5<0.60=1,所以020=1,所以c>1,所以c>b>a.
4.函数f(x)=kx-k-ax-1(a>0且a≠1)的图象必过定点 .
【解析】y=f(x)=kx-k-ax-1(a>0且a≠1),
可令x=1,可得y=k-k-a0=0-1=-1,
则f(x)的图象恒过定点(1,-1).
答案:(1,-1)
5.函数f(x)=+的定义域为 .
【解析】由得-30,
又0<-a<1,函数y=是减函数,
所以>,所以->-a3,
所以0,a≠1)在[0,1]中的最大值比最小值大,则a等于 ( )
A. B. C.或 D.
【解析】选C.当a>1时,如图,y=f(x)在[0,1]上单调递增,
此时最大值为a2,最小值为a,所以a2-a=,
解得a=0(舍),a=;当00时,f(x)=-x2-2x+1的对称轴为x=-1,
抛物线开口向下,
此时f(x)在(0,+∞)上单调递减且f(x)<1,
综上f(x)是减函数,若f(a-1)≥f(-a),
则a-1≤-a,即a≤,
则实数a的取值范围是.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.函数y=ax(a>0且a≠1),y=x+a在同一坐标系中的图象可能是 ( )
【解析】选CD.函数y=x+a单调递增.
由题意知a>0且a≠1.
当01时,y=ax单调递增,直线y=x+a在y轴上的截距大于1,故D符合.
6.关于函数f=的说法中正确的是 ( )
A.偶函数
B.奇函数
C.在上单调递增
B.在上单调递减
【解析】选BC.f==-=-f,
所以函数f为奇函数;当x增大时,πx,-π-x=-均增大,故f增大,故函数f为增函数.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.函数y=ax-4+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,则点P坐标为 ;若点P在幂函数g(x)的图象上,则g(x)= .
【解题指南】先求出点P的坐标,再设出幂函数的解析式,代入求系数.
【解析】指数函数y=ax恒过定点(0,1),
令x-4=0得x=4,此时y=1+1=2,故P(4,2),
设g(x)=xα,所以2=4α,所以α=,所以g(x)=.
答案:(4,2)
【补偿训练】
函数y=ax-2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,P在幂函数f(x)的图象上,则f(x)= .
【解析】由指数函数的性质可知函数y=ax-2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P(2,1),
设幂函数为:f(x)=xα.P在幂函数f(x)的图象上,可得2α=1,α=0,可得f(x)=x0.
答案:x0
8.已知不等式>对任意x∈R恒成立,则实数m的取值范围是 .
【解析】不等式等价为>,
即x2+x<2x2-mx+m+4恒成立,所以x2-(m+1)x+m+4>0恒成立,
即Δ=(m+1)2-4(m+4)<0,
即m2-2m-15<0,解得-3g(x2+2x-5),求x的取值范围.
【解析】(1)设指数函数为:f(x)=ax(a>0且a≠1),
因为指数函数f(x)的图象过点P(3,8),
所以8=a3,所以a=2,所求指数函数为f(x)=2x;
因为函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称,
所以g(x)=2-x;
(2)由(1)得g(x)为减函数,
因为g(2x2-3x+1)>g(x2+2x-5),
所以2x2-3x+10,a≠1).
(1)若y=f(x)的图象如图所示,求a,b的值;
(2)作出g(x)=|f(x)|的草图;
(3)若方程g(x)-m=0有一个实数根,写出m的取值范围.
【解析】(1)由图可得:f(0)=1+b=-2,且f(2)=a2+b=0,解得a=,b=-3;
(2)g(x)=|f(x)|的图象如图所示:
(3)若方程g(x)-m=0有一个实数根,则g(x)的图象与直线y=m只有一个交点,
由(2)中函数图象可得m=0,或m≥3.
1.已知函数f(x)=是(-∞,+∞)上的增函数,那么实数a的取值范围是 .
【解析】因为函数是(-∞,+∞)上的增函数,
所以a>1且 a0≥3a-8,解得 10,a≠1)的图象经过点A(1,8),B(3,32).
(1)试求a,b的值;
(2)若不等式++1-2m≥0在x∈(-∞,1]上恒成立,求实数m的取值范围.
【解析】(1)则
可得f(x)=4·2x;
(2)++1-2m≥0在x∈(-∞,1]上恒成立等价于≥m在x∈(-∞,1]上恒成立,令t=,又x≤1,可得t≥,令y=(t2+t+1),当t=时,ymin=,
所以m的取值范围为.
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