江苏省南通市海安县2021届高三上学期期中调研考试数学答案（扫描版）
高三数学参考答案与评分建议第1页
2021 届高三期中学业质量监测
数学参考答案与评分建议
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
17.（本小题满分 10 分）
已知公比 q 大于 1 的等比数列 3〃 ｝满足丹+ % = 10，
（1）求｛〃〃｝的通项公式;
，求数列｛8〃｝的前〃项和嵐.
（2F）（2f ）这三个条件中选择一个' 补充在上面的
横线上，并完成解答.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
解：（1）因为％ + % = 10 , %=4,所以； + 4q = 10,即 202_5q + 2 = O.
因为 g>l,所以 g = 2,此时％=2.所以 an=2n.
（2）若选①:bn =n-an = H• 2n .
则 g = lx2 + 2x2?+ 3x2’+..・ + 〃.2〃,
故= lx22 + 2x23 +... + （〃一 1）.2〃 +〃.2”+i.② ①一②得，-Sn = （2 + 22 +
23 + …+ 2〃）_〃.2"+i
2020.1
1
DBBC AACB
二、选择题 （本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
AC ABC ABD BCD
三、填空题 （本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13. 3 14. 8.2 16.睁+縉
四、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分）
请在①n-an；②| 21og2an -9 | ；③
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18 ・（本小题满分 12 分）
在△如 C 中,设角 A,B, C 所对的边长分别为 a,b,c,且(c-b)sinC = (a -b)(sin^4 + sinB).
(1)求
（2）若 b = 2,且^ABC 为锐角三角形，求△砧 C 的面积 S 的取值范围.
解：(1)因 sin C = (a - 6) (sin J + sin B),
由正弦定理知，(C2)C = (G-Z?)(G + Z>),即 c2 -bc = a2 -b2.
则由余弦定理知，cos^4 = b +f -疽=二,
2bc 2
在△如 C 中，0<1V7l,所以 N =专.
=（1 一〃）2'中一 2,
所以&=(〃- 1)2 心'+2. 10 分
若选②:bn =| 21og2 an-9 | = | 2n-9 | = 9-2M, 〃W4,
2«-9, nN 5.
S 产〃 （7+了地= _/+8〃；
§ =0 +奶 +么 +4) + 05 + 4 + …+ 如)
4x(7 + l) (H-4)(1 +2M-9) -2-
+
=一 8〃 + 32 ・
综上，S,= —+ 8〃 ，〃< 4,
n2 -8/1 + 32, 5.
2"若选③:b =------------—=-------------------------- ?—
n (2"+1)(2 心 1+1) 2”+l 2〃袒+1
-J_______ ) + (____________I
2 + 1 22+l / 22+l
则& =
23+1
+ ・・• + 1 1
2”+l 2^+1
=------3 2*+l 10 分
高三数学参考答案与评分建议第 3 页
设平面 DCE 的法向量为〃 =3 , y, z）,则
9 「厂 2sin(弩-
.......
(2)由正弦定理知，4 = 今，得。=荟坦 g = 一 12- . ……8 分
sin 8 smC sin 5 sinB
故 S = §bcsii" = gc =
.......
=1+近. .......[0 分
2 tan B 2
sin B
cosB + ^sinB
sin 8
由左 ABC%锐角三角形，得 0<腿 3, 0〈弩-腿多 所^6<5<2 * 从而 tan B > g,所以#
<0 +芸 1 +沁=1.y y 9
则 X 的概率分布为
3 分户（"】） =弩携蓦，心=2）=弩
X 0 1 2
P 2 5 2
1 9 9 9
高三数学参考答案与评分建议第6页
（2）设通过试验痊愈的人数为 H 则 r〜8（10, 1
记“通过试验却认定新药无效”为事件 X,事件 N 发生等价于{FV2}.
则 p=p(y<2) = p(y=o)+p(r = i)=c?o(l)[l)，c；o(l)，x(l)9
10 分
由题意，实际上新药是有效的；当痊愈人数低于 2 人时，认定新药无
效，此时
做出了错误的判断；因为 pa0.01v0.05,这个概率很小，故试验方案是合理的・
12 分
21. （本小题满分 12 分）
在平面直角坐标系 xQ 中，已知椭圆 C：矣+ W = l（“>5>0）的离心率为丰，且经过 a b2
点』（1，專）•
（1） 求椭圆 C 的方程；
（2） 设 F 为椭圆 C 的右焦点，直线，与椭圆。相切于点 F （点 P 在第一象限），过原点。
作直线/的平行线与直线所相交于点。，问：线段 PQ 的长是否为定值？若是，求 出
定值；若不是，说明理由.
1 , 1 1
万+梦 i
。2=屏+凌.
解得 Q =也，b = l,所以椭圆 C 的方程为苓+寸=1.
（2）设直线/的方程为 y = ibc + /n ,
因为直线/与椭圆以相切，所以△ =（4 饥）2_4（2 冰-2）（2 砂+1） = 0 化简得，
m2 = 2k2 +1 .
1024
解:（1）记椭圆的半焦距为。，由题意知,
由，
y = kx + mf
专+「=1， 得(2® +1)/ + 4kmx + 2m2 -2 = 0 .
高三数学参考答案与评分建议 第7页
设 P""则'/耕=一斧 5
当点 P 为(1,乎)时’。(1，一乎)，PQ=”；
时，直线 PF 方程为》=-次而 3 一 1)
于是 PQ=(^-^)2+(^ - yQ )2 =
综上，线段 PQ 的长为定值 VI.
22. (本小题满分 12 分)
己知函数/(x) = aex+1, g(x) = ln《一 1,其中。＞0.
(1) 若 a = l,在平面直角坐标系 xOy 中，过坐标原点。分别作函数 y = /(x)与 y = g(x) 的图象的
切线 I】，小 求"，厶的斜率之积；
(2) 若/(x)Ng(x)在区间(0, +8)上恒成立,求。的最小值.
解：(1)设直线 4,A 的斜率分别为佑，与，切点分别为”也，/】)，5( x2 , lnx2-l). 则 r(x)=坤，g，(x) =
* .由］:二得玉=1. ……2 分
k2x2 = In x2 -1,
同理，由义=丄 得 x2=e2.
、［一若
于是^2=/ViW2) = e2x4 = b 所以«，A 的斜率之积为 1. ……5 分
e
=1m
由，
y = ~2k^i y =
kx9
'得 r +品所以
10 分
1+ -(2"弑 +
2k = 1 + 2 矽 + 2km
| + I
J 4 号 + 4/m + m2 +
I 2k + m I
yj 2k2 + Ahn + 2m2
• | 2k + m |
m2 +2km
m(m + k)
12 分
高三数学参考答案与评分建议第8页
⑵由 _y（x）3g（x）在（0,+8）上恒成立，知 Vx>0, flcI+'-ln^ + 1^0. a
令「（x） = GW -血五 + 1, KC（0,+OO）,则 F'（x） = aer+, - — = — （xex+1 -丄）・
G x x a）
令 A（x） = xe）（+1-1）则”（*） = 0+1）并>0,所以机 x）为单调增函数.
又/i（0）= --^<0 , /?（丄卜丄 e；+‘ - 丄=丄（e；" -1 ）> 0 ,
所以/7（0）.碓）<0 ,则存在唯一的实数 X。可 0,土），使心）=0,即矿（易）=0.
当 0x0 时，F'（XQ）>0, F（x）单调
递增，所以尸（x）在 x = x0 处取极小值即最小值•
则卩 3 扁=F（x（）） = ae"-ln 迪+ l = ae"-lnx（）+ lna + lN0 . •…
又 x（）e4+i=丄，故 ae%+i=丄，于是 lna + x0 +l = -lnx0 .
a 玉）
所以_F（Xo） =丄一 21nXo-气 NO . .....
xo
令（p（x） = }-21nx-x ,则（p'（x） = -- 一*一 1 v0 ,故（p（x）为单调减函数.
又0,于是所以 a 的最小值为丄.……12 分
Q e e
10 分