高二数学选修21知识点及高考真题
高二数学选修2－1复习
第一章 常用逻辑用语
第一节 命题及其关系、充分条件与必要条件
（1）最新考纲：（杠杆开门，以轻拨重）
①理解命题的概念；
②了解“若p，则q”形式的命题的逆命题，否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；
③理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。
（2）基础热身：（熟悉结构，掌握基础）
***基础梳理：
1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.
真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.
2、“若，则”形式的命题中的称为命题的条件，称为命题的结论.
3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.
若原命题为“若，则”，它的逆命题为“若，则”.
4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.
若原命题为“若，则”，则它的否命题为“若，则”.
5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.
若原命题为“若，则”，则它的否命题为“若，则”.
6、四种命题的真假性：
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
真
假
假
假
假
四种命题的真假性之间的关系：
两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
7、若，则是的充分条件，是的必要条件．
若，则是的充要条件（充分必要条件）．
***基础达标：
Ⅰ.选择题：
1、一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（ ）
A．真命题与假命题的个数相同 B.真命题的个数一定是奇数
C．真命题的个数一定是偶数 D.真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数
2、下列命题中正确的是（ ）
①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题 ②“边数相同的正多边形都相似”的逆命题
③“若m>0，则x2＋x－m=0有实根”的逆否命题 ④“若x－是有理数，则x是无理数”的逆否命题
A.①②③④ B.①③④ C.②③④ D.①④
3、“若x≠a且x≠b，则x2－（a＋b）x＋ab≠0”的否命题（ ）
A.若x＝a且x＝b，则x2－（a＋b）x＋ab＝0 B.若x＝a或x＝b，则x2－（a＋b）x＋ab≠0
C.若x＝a且x＝b，则x2－（a＋b）x＋ab≠0 D.若x＝a或x＝b，则x2－（a＋b）x＋ab＝0
4、设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要非充分条件，则甲是丁的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要
5、下列说法中错误的个数为（ ）
①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②若一个命题的否命题为假，则它本身一定为真；③是的充要条件；④与是等价的；⑤“x≠3”是“|x|≠3”成立的充分条件。
A．2 B． 3 C． 4 D．5
Ⅱ.填空题
1、已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件,q是s的充分条件，则s是q的 条件，r是q的 条件，p是s的 条件．
2、“末位数字是0或5的整数能被5整除”的
否定形式是 否命题是
3、判断下列命题的真假性: ①、若m>0，则方程x2－x＋m＝0有实根
②、若x>1,y>1,则x+y>2的逆命题
③、对任意的x∈{x|-2
0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件
Ⅲ.解答题：
1、分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假．
（1）矩形的对角线相等且互相平分； （2）正偶数不是质数．
2、已知命题“若则二次方程没有实根”.
(1)写出命题的否命题； (2)判断命题的否命题的真假, 并证明你的结论.
3、已知命题若非是的充分不必要条件，求的取值范围。
4、已知,求证的充要条件是
（3）真题实训（举一反三，触类旁通）
1、（福建2010文科）12.设非空集合满足：当时，有。给出如下三个命题工：①若，则；②若，则；③若，则。其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2、（北京2010理科）（6）a、b为非零向量。“”是“函数f（x）=（xa+b）（xb-a）为一次函数”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3、（福建2010文科）8.若向量，则“”是“”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
4、（广东2010理科）5. “”是“一元二次方程x2+x+m=0”有实数解“的( )
A．充分非必要条件 B.充分必要条件 C．必要非充分条件 D.非充分必要条件
5、（广东2010文科）8．“>0”是“>0”成立的( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．非充分非必要条件 D．充要条件
6、（湖北2010理科）10．记实数，，…，中的最大数为，最小数为.已知△ABC的三边长为，定义它的倾斜度为：则“”是“△ABC为等边三角形”( )[来源:Zxxk.Com]
A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件
7、（陕西2010理科）9.对于数列｛a n｝，“a n+1＞∣a n∣（n=1，2…）”是“｛a n｝为递增数列”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.必要条件 D.既不充分也不必要条件
8、（天津2010理科）（3）命题“若是奇函数，则是奇函数”的否命题是( )
A.若是偶函数，则是偶函数 B.若是奇数，则不是奇函数
C.若是奇函数，则是奇函数 D.若是奇函数，则不是奇函数
9、（浙江2010文科）（6）设则“xsin2 x<1”是“xsin x<1”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
第二节、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
（1）最新考纲：（杠杆开门，以轻拨重）
①了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；
②理解全称量词与存在量词的意义；
③能正确地对含有一个量词的命题进行否定。
（2）基础热身：（熟悉结构，掌握基础）
***基础梳理：
1、用联结词“且”把命题和命题联结起来，得到一个新命题，记作．
当、都是真命题时，是真命题；当、两个命题中有一个命题是假命题时，是假命题．
用联结词“或”把命题和命题联结起来，得到一个新命题，记作．
当、两个命题中有一个命题是真命题时，是真命题；当、两个命题都是假命题时，是假命题．
对一个命题全盘否定，得到一个新命题，记作．
若是真命题，则必是假命题；若是假命题，则必是真命题．
2、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示．
含有全称量词的命题称为全称命题．
全称命题“对中任意一个，有成立”，记作“，”．
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示．
含有存在量词的命题称为特称命题．
特称命题“存在中的一个，使成立”，记作“，”．
3、全称命题：，，它的否定：，．全称命题的否定是特称命题．
***基础达标：
Ⅰ.选择题：
1、若命题“”为假，且“”为假，则（ ）
A．或为假 B．假 C．真 D．不能判断的真假
2、 命题则在下述判断：①p或q为真；②p或q为假；③p且q为真；④p且q为假；⑤非p为真；⑥非q为假．其中正确的的个数为（ ）
A．2 B． 3 C． 4 D．5
3、命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是（ ）
A.存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根 B.不存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根
C．对任意的实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根 D.至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根
4．命题若，则是的充分而不必要条件；
命题函数的定义域是，则（ ）
A．“或”为假 B．“且”为真 C．真假 D．假真
5、有关命题的说法错误的是（ ）
A.命题“若”的逆否命题为“若”；
B．命题“sinx≥1”是一个复合命题，而且是个真命题；
C．若（┐p）∨(┐q)为真命题，则命题p、q至少有一个为真命题；
D．对于命题p: ，则┐p：。
Ⅱ.填空题
1、用“充分、必要、充要”填空：
①为真命题是为真命题的_____________________条件；
②为假命题是为真命题的_____________________条件；
③, , 则是的___________条件。
2、用符号“”与“”表示含有量词的命题:
（1）实数的平方大于等于0_______________________
（2）存在一对实数，使2x＋3y＋3>0成立
Ⅲ.解答题：
1、对于下述命题，写出“”形式的命题，并判断“”与“”的真假：
（1）（其中全集，，）.
（2）有一个素数是偶数；.
（3）任意正整数都是质数或合数；
（4）三角形有且仅有一个外接圆.
2、判断下列命题的真假：
（1）已知若
（2）
（3）若则方程无实数根。
（4）存在一个三角形没有外接圆。
3、写出由下述各命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假．
（1）p：连续的三个整数的乘积能被2整除，q：连续的三个整数的乘积能被3整除；
（2）p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q：对角线互相平分的四边形是菱形
4、若p:q: ，试判断是的什么条件。
（3）真题实训（举一反三，触类旁通）
1、（湖南2010理科）2.下列命题中的假命题是( )
A．,2x-1>0 B. , C． , D. ,
2、（天津2010文科）（5）下列命题中，真命题的是( )
A.，使函数是偶函数 B.，使函数是奇函数
C.，函数都是偶函数 D.，函数都是奇函数
第二章 圆锥曲线
第一节、椭圆
（1）最新考纲：（杠杆开门，以轻拨重）
掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质。
（2）基础热身：（熟悉结构，掌握基础）
***基础梳理
1、平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．
2、椭圆的几何性质：
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
范围
且
且
顶点
、
、
、
、
轴长
短轴的长 长轴的长
焦点
、
、
焦距
对称性
关于轴、轴、原点对称
离心率
准线方程
3、设是椭圆上任一点，点到对应准线的距离为，点到对应准线的距离为，则
．
（3）真题实训（举一反三，触类旁通）
Ⅰ.选择题：
1、（福建2010文科）11.若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A.2 B.3 C.6 D.8
2、（广东2010文科）7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
3、（湖北2010理科）9若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（ ）A． B. C. D.
4、（全国二2010文科）（12）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率k（k＞0）的直线与C相交于A、B亮点，若=3，则k=( )
A.1 B. C. D.2
5、（四川2010文科）（10）椭圆的右焦点为F，其右准线与轴的交点为．在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是
A.（0，] B.（0，] C.[，1） D.[，1）[来源:学_科_网]
Ⅱ.填空题：
6、（湖北2010文科）15.已知椭圆C：的两焦点为F1 ,F2,点P（,）满足，则的取值范围为 ，直线与椭圆C的公共点个数为 .
7、（全国一2010文科）（16）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且＝2，则C的离心率为 .
8、(全国一2010理科)（16）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为 。
Ⅲ.解答题：
9、（福建2010理科）17.已知在坐标原点O的椭圆C经过点A（2 , 3），且点F（2 ，0）为其右焦点。
（I）求椭圆C的方程；
（II）是否存在平行于OA的直线L，使得直线L与椭圆C有公共点，且直线OA与L的距离等于4？若存在，求出直线L的方程；若不存在，说明理由。
10、（安微2010理科）（19）已知椭圆E经过点A（2.，3），对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，离心率c=
（Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）求∠的角平分线所在直线l的方程
（Ⅲ）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相交两点？若存在，请找出，若不存在，说明理由。
11、（安微2010文科）椭圆E经过点A（2,3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率.
(1) 求椭圆E的方程；
(2) 求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程.
12、（北京2010理科）（19）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
13、（海南2010理科）（20)设分别是椭圆E:（a>b>0）的左、右焦点，过斜率为1的直线l与E 相较于A,B两点，且,,成等差数列.
（Ⅰ)求E的离心率； （Ⅱ）设点P（0,-1）满足,求E的方程.
14、（海南2010文科）（20）（12分）设,分别是椭圆E：+=1（0﹤b﹤1）的左、右焦点，过的直线与E相交于A、B两点，且，，成等差数列。
（Ⅰ）求 （Ⅱ）若直线的斜率为1，求b的值。
A
B
O
F
15、（江苏2010理科）18.（16分）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左右顶点为A,B，右顶点为F，设过点T（）的直线TA,TB与椭圆分别交于点M，，其中m>0,
①设动点P满足,求点P的轨迹；
②设，求点T的坐标；
③设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）
16、（江西2010理科）21．设椭圆，抛物线．
（1）若经过的两个焦点，求的离心率；
（2）设，又M、N为与不在轴上的两个交点，若得垂心为，且的重心在上，求椭圆和抛物线的方程．
17、（辽宁2010理科）(20)设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.
（1）求椭圆C的离心率； （2）如果|AB|=，求椭圆C的方程.
18、（辽宁2010文科）(20)设F1，F2分别为椭圆C:=1(a>b>0)的左右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A,B两点，直线l的倾斜角为60°,F1到直线l的距离为2.
(Ⅰ)求椭圆C的焦距； (Ⅱ)如果，求椭圆C的方程.
19、（山东2010文科）（22）如图，已知椭圆（a>b>0）过点（1，），离心率为 ，左右焦点分别为F1,F2.点P为直线L：x+y=2上且不在x轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D。
O为坐标原点。
（Ⅰ） 求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线PF1、PF2斜率分别为k1、k2.
(ⅰ） 证明：1/k1 -3/k3=2;
（ⅱ )问直线上是否存在一点，使直线OA、OB、OC、OD的斜率kOA, kOB, kOC, kOD满足kOA+k OB+kOC+kOD=0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标;若不存在，说明理由。
20.（陕西2010理科）如图，椭圆C：（a>b>0）的顶点为A1,A2,B1,B2,焦点为F1,F2, | A1B1| = ,
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线，，是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。
（上海2010文科）23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知椭圆的方程为，、和为的三个顶点.
（1）若点满足，求点的坐标；
（2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点；
（3）设点在椭圆内且不在轴上，如何构作过中点的直线，使得与椭圆的两个交点、满足？令，，点的坐标是（-8，-1），若椭圆上的点、满足，求点、的坐标.
（天津2010理科）(20)(本小题满分12分)
已知椭圆(＞＞0)的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。
(Ⅰ)求椭圆的方程：
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于不同的两点。已知点的坐标为(-，0)，点(0，)在线段的垂直平分线上，且=4。求的值。
（天津2010文科）（21）（本小题满分14分）
已知椭圆(a>b>0)的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。
(Ⅰ)求椭圆的方程
(Ⅱ)设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B，已知点A的坐标为（-a,0）.
（1）若，求直线l的倾斜角；
（2）若点Q（0,yo）在线段AB的垂直平分线上，且，求yo的值。
（浙江2010理科）（21）（本小题满分15分）已知m>1,直线l:x-my-2=0,
椭圆C：（）2+y2=4 ，F1,,F2分别为椭圆C的左右焦点。
（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交与A,B两点，AF1F2, BF1F2的重心分别为G,H.若原点O在以线段GH为直径的的圆内，求实数m的取值范围。
4、平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
5、双曲线的几何性质：
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
范围
或，
或，
顶点
、
、
轴长
虚轴的长 实轴的长
焦点
、
、
焦距
对称性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
离心率
准线方程
渐近线方程
6、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
7、设是双曲线上任一点，点到对应准线的距离为，点到对应准线的距离为，则．
（福建2010文科）13. 若双曲线-=1(b>0)的渐近线方程式为y=，则ｂ等于 。
（安微2010理科）（5）.双曲线方程为x2 - 2y2=1，则它的右焦点坐标为
（A）(,0) (B) (,0) (C) (,0) (D) (,0)
（北京2010理科）13）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。
（广东2010理科）20．（本小题满分为14分）
一直双曲线 的左、右顶点分别为A1,A2，点P(X1,Y1)，Q(X1,-Y1)是双曲线上不同的两个动点
（1） 求直线A与A2Q交点的轨迹E的方程式；
（2） 若点H(O, h)（h>1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1 ,求h的值。
（海南2010理科）（12）已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为
（A） （B） （C） （D）
（海南2010理科）（5）中心在远点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的离心率为
（A） （B）
（C） （D）
(江苏2010理科)6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是___▲_______
（江西2010理科）15．点在双曲线的右支上，若点A到右焦点的距离等于，则__________．[来源:Zxxk.Com]
（辽宁2010理科）(9)设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐
近线垂直，那么此双曲线的离心率为
(A) (B) (C) (D)
（辽宁2010文科）(9)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条近线垂直，那么此双曲线的离心率为
（A） （B) (C) (D)
（全国一2010文科）(8)已知F1、F2为双曲线C:x2－y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则
·＝
（A）2 (B)4 (C)6 (D)8
（全国一2010理科）（9）已知、为双曲线的左、右焦点，点在在上，60°，则到轴的距离为
（A） （B） （C） （D）
（全国二2010理科）（21）（本小题满分12分）
己知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为．[
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．
13、如图所示，直线与双曲线：的渐近线交于两点，记，。任取双曲线上的点，若（、），则、满足的一个等式是 4ab=1 。
（四川2010理科）（20）（本小题满分12分）
已知定点，定直线，不在轴上的动点与点的距离是它到直线的距离的2倍.设点的轨迹为，过点的直线交于两点，直线分别交于点
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）试判断以线段为直径的圆是否过点，并说明理由.
（天津2010理科）（5）. 已知双曲线的一条渐近线方程式是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为
（A） （B） （C） （D）
（天津2010文科）（13）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的方程为 。
（浙江2010理科）（8）设,分别为双曲线的左，右焦点。若在双曲线右支上存在点，满足=,且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近方程为
(A) （B） (C) (D)
（浙江2010文科）（10）设O为坐标原点，F1，F2是双曲线－＝１（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1 P F2=60°，=a，则该双曲线的渐近线方程为
（A）x±y=0 （B）x±y=0
(C) x±y=0 (D) x±y=0
（重庆2010理科）（20）（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分）
已知以原点O为中心，为右焦点的双曲线C的离心率。
（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
(2)如题（20）图，已知过点的直线与过点（其中）的直线的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点，求的面积。
（重庆2010文科）（21）（本下体满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）
已知以原点O为中心，F(,0)为右焦点的双曲线C的离心率e=
（Ⅰ）求双曲线C的标准方程及渐近线方程；
（Ⅱ）如题（21）图，已知过点M(x1,y1)的直线l1：x1x+4y1y=4与过点N(x1,y1)(其中x2 ≠ x1)的直线l2 :
x2x+4y2y=4的交点E在曲线C上，直线MN与双曲线西安的两条渐近线分别交于G、H两点，求的值。
8、平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线．
（福建2010理科）2.以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为
A. B.
C. D.
9、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即．
（安微2010文科）(12)抛物线y2=8x的焦点坐标是
10、焦半径公式：
若点在抛物线上，焦点为，则；
若点在抛物线上，焦点为，则；
若点在抛物线上，焦点为，则；
若点在抛物线上，焦点为，则．
11、抛物线的几何性质：
标准方程
图形
顶点
对称轴
轴
轴
焦点
准线方程
离心率
范围
（福建2010文科）19.（本小题满分12分）
已知抛物线C：过点A （1 , -2）。
（I）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；
（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由。
（湖北2010理科）19. (本小题满分12分)
已知一条曲线C在y轴右边，C上没一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差是1.
(Ⅰ)求曲线C的方程；
(Ⅱ)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有连个交点A,B的任一直线，都有﹤0 ? 若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
（湖南2010理科）14．过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于两点，在轴上的正射影分别为．若梯形的面积为，则 ．
（广东2010文科） 21.（本小题满分14分）
已知曲线，点是曲线上的点.
（1）试写出曲线在点处的切线的方程，并求出与轴的交点的坐标；
（2）若原点到的距离与线段的长度之比取得最大值，试求试点的坐标；
（3）设与为两个给定的不同的正整数，与是满足（2）中条件的点的坐标，
证明：
（湖南2010文科）5. 设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
（辽宁2010理科）(7)设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如
果直线AF的斜率为,那么|PF|=
(A) (B)8 (C) (D) 16
（辽宁2010文科）(7)设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，果直线AF的斜率为－，那么=
(A)4 (B)8 (C) (D)16
（全国一2010文科）(22)(本小题满分12分)
已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点K(-1,0)的直线l与C相交为A、B两点，点A关于x轴的对称点为D.
(Ⅰ)证明：点F在直线BD上；
(Ⅱ)设，求△BDK的内切圆M的方程.
(全国二2010理科)（15）已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为．若，则 ．
（山东2010文科）（9）已知抛物线y2=2px(p>0)，过其交点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的标准方程为
（A）x=1 （B）x=-1 （C）x=2 （D）x=-2
（陕西2010理科）8.已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆x2+y2－6 x－7=0相切，则p的值为【 】
(A) (B) 1 (C) 2 (D) 4
（陕西2010文科）9.已知抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，则p的值为 [C]
（A） （B）1 （C）2 （D）4
（上海2010文科）8.动点到点的距离与它到直线的距离相等，则的轨迹方程为 。
（四川2010文科）(3)抛物线的焦点到准线的距离是
(A) 1 (B)2 (C)4 (D)8
（浙江2010理科）（13）设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A（0，2）. 若线段FA的中点B
在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________.
（浙江2010文科）（22）（本题满分15分）已知m是非零实数，抛物线C：
y2＝2px（p＞0）的焦点F在直线l：x－my－＝0上.
（Ⅰ）若m＝2，求抛物线C的方程;
（Ⅱ）设直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的准线的垂直，垂足为A1，B1，△AA1F，△BB1F的重心分别为G，H.求证：对任意非零实数m，抛物线C的准线与x轴的交点在以线段GH为直径的圆外.
（重庆2010理科）(14)已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足,则弦AB的中点到准线的距离为___________.
（重庆2010理科）（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是
A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线
（重庆2010文科）（13）已知抛物线y2 =4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，∣AF∣=2,则 ∣BF∣=___________.
第三章 空间向量与立体几何
1、空间向量的概念：
在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．
向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．
向量的大小称为向量的模（或长度），记作．
模（或长度）为的向量称为零向量；模为的向量称为单位向量．
与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量，记作．
方向相同且模相等的向量称为相等向量．
2、空间向量的加法和减法：
求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点为起点的两个已知向量、为邻边作平行四边形，则以起点的对角线就是与
的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．
求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点，作，，则．
3、实数与空间向量的乘积是一个向量，称为向量的数乘运算．当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，为零向量，记为．的长度是的长度的倍．
4、设，为实数，，是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．
分配律：；结合律：．
（安微2010理科）（3）设向量a=（1，0），b=（，），则下列结论中正确的是
（A）|a|=|b| (B)ab =
（C）a-b 与b垂直 （D）a//b
5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．
6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使．
7、平行于同一个平面的向量称为共面向量．
8、向量共面定理：空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，，使；或对空间任一定点，有；或若四点，，，共面，则．
9、已知两个非零向量和，在空间任取一点，作，，则称为向量，的夹角，记作．两个向量夹角的取值范围是：．
10、对于两个非零向量和，若，则向量，互相垂直，记作．
11、已知两个非零向量和，则称为，的数量积，记作．即．零向量与任何向量的数量积为．
12、等于的长度与在的方向上的投影的乘积．
13、若，为非零向量，为单位向量，则有：
； ；
，，； ；．
14、向量数乘积的运算律：；；
．
15、若，，是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量，存在有序实数组，使得，称，，为向量在，，上的分量．
16、空间向量基本定理：若三个向量，，不共面，则对空间任一向量，存在实数组，使得．
17、若三个向量，，不共面，则所有空间向量组成的集合是
．这个集合可看作是由向量，，生成的，
称为空间的一个基底，，，称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
18、设，，为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以，，的公共起点为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．则对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量．存在有序实数组，使得．把，，称作向量在单位正交基底，，下的坐标，记作．此时，向量的坐标是点在空间直角坐标系中的坐标．
19、设，，则
． ．
． ．
若、为非零向量，则．
若，则．
．
．
，，则．
20、在空间中，取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向量来表示．向量称为点的位置向量．
21、空间中任意一条直线的位置可以由上一个定点以及一个定方向确定．点是直线上一点，向量表示直线的方向向量，则对于直线上的任意一点，有，这样点和向量不仅可以确定直线的位置，还可以具体表示出直线上的任意一点．
22、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为，．为平面上任意一点，存在有序实数对，使得，这样点与向量，就确定了平面的位置．
23、直线垂直，取直线的方向向量，则向量称为平面的法向量．
24、若空间不重合两条直线，的方向向量分别为，，则，．
25、若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则
，．
26、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为，，则，．
27、设异面直线，的夹角为，方向向量为，，其夹角为，则有：．
28、设直线的方向向量为，平面的法向量为，与所成的角为，与的夹角为，则有．
29、设，是二面角的两个面，的法向量，则向量，的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角的平面角为，则．
30、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算．
31、在直线上找一点，过定点且垂直于直线的向量为，则定点到直线的距离为
．
32、点是平面外一点，是平面内的一定点，为平面的一个法向量，则点到平面的距离为．
(安慰2010理科)(18) (本小题满分13分)
如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EFAB，EFFB, AB=2EF,
BFC=90°，BFFC，H为BC的中点。
（Ⅰ）求证：FH平面EDB；
（Ⅱ）求证：AC平面EDB；
（Ⅲ）求二面角B-DE-C的大小
（北京2010理科）（16）（本小题共14分）
如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1.
（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。
（湖南2010理科） 18．（本小题满分12分）
如图5所示，在正方体E是棱的中点。
（Ⅰ）求直线BE的平面所成的角的正弦值；
（II）在棱上是否存在一点F，使平面证明你的结论。
（江西2010理科）20．（本小题满分12分）
如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面BCD，．
（1）求点A到平面MBC的距离；
（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．
（辽宁2010理科）（19）（本小题满分12分）
已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
（Ⅰ）证明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.
(全国一2010文科)(20)(本小题满分12分)
如图，四棱锥S—ABCD中，SD⊥底面ABCD,AB∥DC,AD⊥DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC.
(Ⅰ)证明：SE=2EB;
(Ⅱ)求二面角A—DC—C的大小.
(12)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：注意的，令
a⊙b=下面说法错误的是
（A）若a与b共线，则a⊙b＝0
（B）a⊙b=b⊙a
(C)对任意的R，有（a）⊙b=（a⊙b）
(D) （a⊙b）2+(a·b)2=
（陕西2010理科）18.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA ⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2 √ 2，E，F分别是AD，PC的重点
（Ⅰ）证明：PC ⊥平面BEF；
（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。
（四川2010理科）（18）（本小题满分12分）
已知正方体的棱长为1，点是棱的中点，点是对角线的中点.
（Ⅰ）求证：为异面直线和的公垂线；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求三棱锥的体积.
（四川2010文科）（6）设点是线段的中点，点在直线外，， ，则（ ） （A）8 （B）4 （C）2 （D）1
（天津2010理科）(19)(本小题满分12分)
如图，在长方体中，分别是棱，上的点，，。
(Ⅰ)求异面直线与所成角的余弦值：
(Ⅱ)证明⊥平面：
(Ⅲ) 求二面角的正弦值。
（重庆2010理科）（19）（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分）
如题（19）图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA底面ABCD，PA=AB=
，点E是棱PB的中点。
（1）求直线AD与平面PBC的距离；
（2）若AD=，求二面角A-EC-D的平面角的余弦值。
