高考立体几何大题及答案理

高考立体几何大题及答案理

‎1.如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点在侧棱上，。 ‎ ‎（I）证明：是侧棱的中点；‎ 求二面角的大小。 ‎ ‎2.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1（Ⅰ）证明：AB=AC （Ⅱ）设二面角A-BA C B A1‎ B1‎ C1‎ D E D-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小 ‎ ‎ ‎3.如图，平面，，，，分别为的中点．（I）证明：平面；（II）求与平面所成角的正弦值．‎ ‎4.如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.‎ ‎5.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，．以的中点为球心、为直径的球面交于点．‎ ‎（1）求证：平面⊥平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成的角；‎ ‎（3）求点到平面的距离．‎ ‎6.如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，（I）求证：；‎ ‎（II）设线段、的中点分别为、，求证： ∥‎ ‎（III）求二面角的大小。‎ ‎7.如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,点E是SD上的点，且DE＝a(0<≦1). (Ⅰ)求证：对任意的（0、1），都有AC⊥BE:‎ ‎(Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小为600C，求的值。‎ ‎8.如图3，在正三棱柱中，AB=4, ,点D是BC的中点，点E在AC上，且DEE.（Ⅰ）证明：平面平面; （Ⅱ）求直线AD和平面所成角的正弦值。‎ ‎9.如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）设线段、的中点分别为、，‎ 求证： ∥‎ ‎（III）求二面角的大小。‎ ‎10.如题（18）图，在五面体中，∥，，，四边形为平行四边形，平面，．求：‎ ‎（Ⅰ）直线到平面的距离；‎ ‎（Ⅱ）二面角的平面角的正切值．‎ ‎11．如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．‎ ‎(1)证明：PA⊥BD；‎ ‎(2)设PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．‎ ‎12（本小题满分12分）‎ 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，ABCD,ACBD，垂足为H，‎ PH是四棱锥的高 ，E为AD中点 （1） 证明：PEBC （2） 若APB=ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值 参考答案 ‎1、【解析】（I）解法一：作∥交于N，作交于E，‎ 连ME、NB，则面，,‎ 设，则,‎ 在中，。‎ 在中由 解得，从而 M为侧棱的中点M. ‎ 解法二:过作的平行线.‎ ‎（II）分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。‎ 过作∥交于,作交于,作交于,则∥,面,面面,面即为所求二面角的补角.‎ 法二：利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点，则点为AM的中点，取SA的中点G，连GF，易证，则即为所求二面角.‎ 解法二、分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D—xyz，则。‎ S A B C D M z x y ‎（Ⅰ）设，则 ‎，‎ ‎，由题得 ‎，即 解之个方程组得即 所以是侧棱的中点。 ‎ 法2：设，则 又 故，即 ‎，解得，‎ 所以是侧棱的中点。‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，‎ 设分别是平面、的法向量，则 且，即且 分别令得，即 ‎，‎ ‎∴ ‎ 二面角的大小。‎ ‎2、解法一：（Ⅰ）取BC中点F，连接EF，则EF，从而EFDA。‎ 连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF//DE。又DE⊥平面，故AF⊥平面，从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。‎ ‎（Ⅱ）作AG⊥BD，垂足为G，连接CG。由三垂线定理知CG⊥BD，故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知，∠AGC=600..‎ ‎ 设AC=2，则AG=。又AB=2，BC=，故AF=。‎ 由得2AD=，解得AD=。‎ 故AD=AF。又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形。‎ 因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。‎ 连接AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD。‎ 连接CH，则∠ECH为与平面BCD所成的角。. ‎ 因ADEF为正方形，AD=，故EH=1，又EC==2，‎ 所以∠ECH=300，即与平面BCD所成的角为300.‎ 解法二：‎ ‎（Ⅰ）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyz。‎ 设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则（1，0，2c）,E（，，c）.‎ 于是=（，，0），=（-1，b,0）.由DE⊥平面知DE⊥BC， =0，求得b=1，所以 AB=AC。‎ ‎（Ⅱ）设平面BCD的法向量则 又=（-1，1， 0），‎ ‎=（-1，0，c）,故 ‎ 令x=1, 则y=1, z=,=(1,1, ).‎ 又平面的法向量=（0，1，0）‎ 由二面角为60°知，=60°，‎ 故 °，求得 ‎ 于是 ， ‎ ‎，‎ ‎ °‎ 所以与平面所成的角为30°‎ ‎3、（Ⅰ）证明：连接， 在中，分别是的中点，所以， 又，所以，又平面ACD ，DC平面ACD， 所以平面ACD ‎（Ⅱ）在中，，所以 ‎ 而DC平面ABC，，所以平面ABC ‎ 而平面ABE， 所以平面ABE平面ABC， 所以平面ABE 由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，所以 ‎ 所以平面ABE， 所以直线AD在平面ABE内的射影是AP，‎ ‎ 所以直线AD与平面ABE所成角是 ‎ 在中， ，‎ 所以 ‎4、【解法1】（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，‎ ‎∵，‎ ‎∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，‎ ‎∴平面.‎ ‎（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，‎ ‎ 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，‎ ‎ ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，‎ ‎ ∴O，E分别为DB、PB的中点，‎ ‎ ∴OE//PD，，又∵，‎ ‎ ∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，‎ ‎ 在Rt△AOE中，，‎ ‎ ∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.‎ ‎【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系，‎ ‎ 设 则，‎ ‎（Ⅰ）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，‎ ‎∴平面.‎ ‎（Ⅱ）当且E为PB的中点时，，‎ ‎ 设AC∩BD=O，连接OE， ‎ ‎ 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，‎ ‎ ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，‎ ‎ ∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.‎ 多面体ABCDEF的体积为VE—ABCD＋VE—BCF=‎ ‎5、解：方法（一）：‎ ‎（1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ.‎ 因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，‎ 所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.‎ ‎（２）设平面ＡＢＭ与ＰＣ交于点Ｎ，因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，则ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ，‎ 由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，则MN是PN在平面ABM上的射影，‎ 所以 就是与平面所成的角，‎ 且 ‎ ‎ 所求角为 ‎（3）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于M，则|DM|就是D点到平面ABM距离.‎ 因为在Rt△PAD中，，，所以为中点，，则O点到平面ABM的距离等于。‎ 方法二：‎ ‎（1）同方法一；‎ ‎（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，， ，，，‎ 设平面的一个法向量，由可得：，令，则，即.设所求角为，则，‎ 所求角的大小为. ‎ ‎（3）设所求距离为，由，得：‎ ‎6、【解析】解法一：‎ 因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，‎ 所以BC⊥平面ABEF.‎ 所以BC⊥EF.‎ 因为⊿ABE为等腰直角三角形，AB=AE，‎ 所以∠AEB=45°，‎ 又因为∠AEF=45,‎ 所以∠FEB=90°，即EF⊥BE.‎ 因为BC平面ABCD, BE平面BCE,‎ BC∩BE=B 所以 ‎ …………………………………………6分 ‎（II）取BE的中点N,连结CN,MN,则MNPC ‎∴ PMNC为平行四边形,所以PM∥CN.‎ ‎∵ CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,‎ ‎∴ PM∥平面BCE. …………………………………………8分 ‎（III）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.‎ 作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA.从而FG⊥平面ABCD,‎ 作GH⊥BD于H,连结FH,则由三垂线定理知BD⊥FH.‎ ‎∴ ∠FHG为二面角F-BD-A的平面角.‎ ‎∵ FA=FE,∠AEF=45°,‎ ‎∠AEF=90°, ∠FAG=45°.‎ 设AB=1,则AE=1,AF=,则 在Rt⊿BGH中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,‎ ‎, ‎ 在Rt⊿FGH中, ,‎ ‎∴ 二面角的大小为 ‎ …………………………………………12分 ‎ 解法二: 因等腰直角三角形，，所以 又因为平面，所以⊥平面，‎ 所以 即两两垂直；如图建立空间直角坐标系,‎ ‎ (I) 设，则，‎ ‎∵，∴，‎ 从而 ‎ ‎，‎ 于是，‎ ‎ ∴⊥,⊥‎ ‎ ∵平面，平面，‎ ‎ ∴‎ ‎（II），从而 ‎ 于是 ‎ ∴⊥，又⊥平面，直线不在平面内，‎ ‎ 故∥平面 ‎（III）设平面的一个法向量为，并设＝（‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 取，则，，从而＝（1，1，3）‎ ‎ 取平面D的一个法向量为 ‎ ‎ 故二面角的大小为 ‎7、（Ⅰ）证发1：连接BD，由底面是正方形可得ACBD。‎ ‎ SD平面ＡＢＣＤ，BD是BE在平面ABCD上的射影，‎ 由三垂线定理得ACBE.‎ ‎(II)解法1：SD平面ABCD，ＣＤ平面ＡＢＣＤ， SDCD. ‎ 又底面ＡＢＣＤ是正方形， ＣDＡD，又ＳＤAD=D，CD平面SAD。‎ 过点D在平面SAD内做DFAE于F，连接CF，则CFAE， ‎ 故CFD是二面角C-AE-D 的平面角，即CFD=60°‎ 在Rt△ADE中，AD=, DE= ， AE= 。‎ 于是，DF=‎ 在Rt△CDF中，由cot60°=‎ 得， 即=3 ‎ ‎， 解得=‎ ‎8、解:（Ⅰ）如图所示，由正三棱柱的性质知平面.‎ 又DE平面ABC，所以DE.而DEE，,‎ 所以DE⊥平面.又DE 平面，‎ 故平面⊥平面.‎ ‎ （Ⅱ）解法 1: 过点A作AF垂直于点,‎ 连接DF.由（Ⅰ）知，平面⊥平面，‎ 所以AF平面,故是直线AD和 平面所成的角。 因为DE，‎ 所以DEAC.而ABC是边长为4的正三角形，‎ 于是AD=，AE=4-CE=4-=3.‎ 又因为，所以E= = 4, ‎ ‎ , .‎ 即直线AD和平面所成角的正弦值为 .‎ 解法2 : 如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，‎ 则相关各点的坐标分别是A(2,0,0,), (2,0,), D(-1, ,0), E(-1,0,0).‎ 易知=（-3，，-），=（0，-，0），=（-3，，0）.‎ 设是平面的一个法向量，则 解得.‎ 故可取.于是 ‎ ‎= . ‎ 由此即知，直线AD和平面所成角的正弦值为 .‎ 所以ME与BN不共面，它们是异面直线。 ……..12分 ‎9、【解析】解法一：‎ 因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，‎ 所以BC⊥平面ABEF.‎ 所以BC⊥EF.‎ 因为⊿ABE为等腰直角三角形，AB=AE，‎ 所以∠AEB=45°，‎ 又因为∠AEF=45,‎ 所以∠FEB=90°，即EF⊥BE.‎ 因为BC平面ABCD, BE平面BCE,‎ BC∩BE=B 所以 ………………6分 ‎（II）取BE的中点N,连结CN,MN,则MNPC ‎∴ PMNC为平行四边形,所以PM∥CN.‎ ‎∵ CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,‎ ‎∴ PM∥平面BCE. …………………………………………8分 ‎（III）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.‎ 作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA.从而FG⊥平面ABCD,‎ 作GH⊥BD于H,连结FH,则由三垂线定理知BD⊥FH.‎ ‎∴ ∠FHG为二面角F-BD-A的平面角.‎ ‎∵ FA=FE,∠AEF=45°,∠AEF=90°, ∠FAG=45°.‎ 设AB=1,则AE=1,AF=,则 在Rt⊿BGH中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,‎ ‎, ‎ 在Rt⊿FGH中, ,‎ ‎∴ 二面角的大小为………………12分 ‎ 解法二: 因等腰直角三角形，，所以 又因为平面，所以⊥平面，所以 即两两垂直；如图建立空间直角坐标系,‎ ‎ (I) 设，则，‎ ‎∵，∴，‎ 从而 ‎ ‎，‎ 于是，‎ ‎ ∴⊥,⊥‎ ‎ ∵平面，平面，‎ ‎ ∴‎ ‎（II），从而 ‎ 于是 ‎ ∴⊥，又⊥平面，直线不在平面内，‎ ‎ 故∥平面 ‎（III）设平面的一个法向量为，并设＝（‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 取，则，，从而＝（1，1，3）‎ ‎ 取平面D的一个法向量为 ‎ ‎ 故二面角的大小为 ‎10、解法一:（Ⅰ）平面, AB到面的距离等于点A到面的距离，过点A作于G，因∥，故；又 平面，由三垂线定理可知，，故，知，所以AG为所求直线AB到面的距离。‎ 在中，‎ 由平面，得AD，从而在中，‎ ‎。即直线到平面的距离为。‎ ‎（Ⅱ）由己知，平面，得AD，又由，知，故平面ABFE ‎，所以，为二面角的平面角，记为.‎ 在中, ,由得,,从而 在中, ,故 所以二面角的平面角的正切值为.‎ 解法二: ‎ ‎（Ⅰ）如图以A点为坐标原点,的方向为的正方向建立空间直角坐标系数,则 A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0) 设可得,由.即,解得 ∥，‎ 面,所以直线AB到面的距离等于点A到面的距离。设A点在平面上的射影点为,则 因且,而 ‎,此即 解得　①　,知G点在面上,故G点在FD 上.‎ ‎,故有 ② 联立①,②解得, . ‎ 为直线AB到面的距离. 而 所以 ‎（Ⅱ）因四边形为平行四边形,则可设, .由 得,解得.即.故 由,因,,故为二面角的平面角，又,,,所以 ‎ ‎111111.解：(1)因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得.‎ 从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD．‎ 又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD．‎ 所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD．‎ ‎(2)如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.则A(1，0，0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，P(0，0，1)．‎ ‎＝(－1，，0)，＝(0，，－1)，＝(－1，0，0)．‎ 设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则 即 因此可取n＝(，1，)．‎ 设平面PBC的法向量为m，则 可取m＝(0，－1，－)，.‎ 故二面角APBC的余弦值为.‎ ‎12.解：以为原点， 分别为轴，线段的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 则 ‎ （Ⅰ）设 ‎ 则 ‎ 可得 ‎ 因为 所以 ‎ ‎（Ⅱ）由已知条件可得 ‎ ‎ ‎ ‎ 设 为平面的法向量 ‎ 则 即 因此可以取，‎ 由，‎ 可得 ‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为