高考理科数一轮复习精练函数模型及其应用

高考理科数一轮复习精练函数模型及其应用

第二章 第十节 函数模型及其应用 一、选择题 ‎1．(2012·惠州模拟)某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组实验数据：‎ x ‎1.99‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5.1‎ ‎6.12‎ y ‎1.5‎ ‎4.04‎ ‎7.5‎ ‎12‎ ‎18.01‎ 现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是 ‎(　　)‎ A．y＝2x－2　　　　　　　　B．y＝()x C．y＝log2x D．y＝(x2－1)‎ 解析：直线是均匀的，故选项A不是；指数函数y＝()x是单调递减的，也不符合要求；对数函数y＝log2x的增长是缓慢的，也不符合要求；将表中数据代入选项D中，基本符合要求．‎ 答案：D ‎2．某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每个定价5元，该店制定了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一个羽毛球；②按总价的92%付款．现某人计划购买4副球拍和30个羽毛球，两种方法中，更省钱的一种是(　　)‎ A．不能确定 B．①②同样省钱 C．②省钱 D．①省钱 解析：方法①用款为4×20＋26×5＝80＋130＝210(元)‎ 方法②用款为(4×20＋30×5)×92%＝211.6(元)‎ ‎∵210<211.6，故方法①省钱．‎ 答案：D ‎3．某地2002年底人口为500万，人均住房面积为‎6 m2‎，如果该城市人口平均每年增长率为1%.问为使2012年底该城市人均住房面积增加到‎7 m2‎，平均每年新增住房面积至少为________万 m2.(1.0110≈1.1045)(　　)‎ A．90 B．87‎ C．85 D．80‎ 解析：到2012年底该城市人口有500×(1＋1%)10，‎ 则≈86.6(万 m2)．‎ 答案：B ‎4．设甲、乙两地的距离为a(a＞0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(　　)‎ 解析：注意到y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为D.‎ 答案：D ‎5．光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的，要使通过玻璃的光线强度为原来的以下，至少需要重叠这样的玻璃块数是(lg3＝0.477 1)(　　)‎ A．10 B．11‎ C．12 D．13‎ 解析：设原光线的强度为a，重叠x块玻璃后，通过玻璃的光线强度为y，则 y＝a(1－)x(x∈N*)，‎ 令y＜a，即a(1－)x＜a，‎ ‎∴()x＜，∴x＞.‎ ‎∵＝＝≈10.4.‎ 即x＞10.4.‎ 答案：B ‎6．将长度为2的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为(　　)‎ A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析：设铁丝分成的两段长分别为x，y(x＞0，y＞0)，x＋y＝2.面积之和为S＝()2＋π()2＝x2＋＝x2－x＋，当S取得最小值时，x＝.‎ 答案：D 二、填空题 ‎7．(2012·徐州模拟)在不考虑空气阻力的情况下，设火箭的最大速度是v m/s，燃料的质量为M kg，火箭(除燃料外)的质量为m kg，三者之间的函数关系是v＝2 000·ln ‎(1＋M/m)．当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达‎12 km/s.‎ 解析：∵2 000·ln(1＋M/m)≤12 000，∴≤e6－1.‎ 答案：e6－1‎ ‎8．某居民小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一：‎ ‎(1)按照使用面积缴纳，每平方米4元；‎ ‎(2)按照建筑面积缴纳，每平方米3元．‎ 李明家的使用面积为‎60平方米．如果他家选择第(2)种方案缴纳供暖费较少，那么它的建筑面积最多不超过________平方米．‎ 解析：按方案(1)，李明家需缴240元，故设李明家建筑面积为x平方米，则3x≤240，解得x≤80.‎ 答案：80‎ ‎9．(2011·湖北高考)里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．‎ 解析：由lg1000－lg0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A9，则lgA9－lg0.001＝9，解得A9＝106，同理5级地震最大振幅A5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级的10 000倍．‎ 答案：6　10 000‎ 三、解答题 ‎10．(2012·盐城模拟)某市出租车的计价标准是：‎3 km以内(含‎3 km)10元；超过‎3 km但不超过‎18 km的部分1元/km；超出‎18 km的部分2元/km.‎ ‎(1)如果某人乘车行驶了‎20 km，他要付多少车费？某人乘车行驶了x km，他要付多少车费？‎ ‎(2)如果某人付了22元的车费，他乘车行驶了多远？‎ 解：(1)乘车行驶了‎20 km，付费分三部分，前‎3 km付费10(元)，‎3 km到‎18 km付费(18－3)×1＝15(元)，‎18 km到‎20 km付费(20－18)×2＝4(元)，总付费10＋15＋4＝29(元)．‎ 设付车费y元，当018时，车费y＝25＋2(x－18)＝2x－11.‎ ‎(2)付出22元的车费，说明此人乘车行驶的路程大于‎3 km，且小于‎18 km，前‎3 km付费10元，余下的12元乘车行驶了‎12 km，故此人乘车行驶了‎15 km.‎ ‎11．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．‎ ‎(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？‎ ‎(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？‎ 解：(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为：＝12，所以这时租出了88辆车．‎ ‎(2)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：f(x)＝(100－)(x－150)－×50，整理得f(x)＝－＋162x－21 000＝－(x－4 050)2＋307 050.‎ 所以，当x＝4 050时，f(x)最大，其最大值为f(4 050)＝307 050.即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307 050元．‎ ‎12．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．‎ ‎(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；‎ ‎(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？‎ 解：(1)每吨平均成本为(万元)．‎ 则＝＋－48≥2 －48＝32，‎ 当且仅当＝，即x＝200时取等号．‎ ‎∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．‎ ‎(2)设年获得总利润为R(x)万元，‎ 则R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8 000‎ ‎＝－＋88x－8 000‎ ‎＝－(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)．‎ ‎∵R(x)在[0,210]上是增函数，‎ ‎∴x＝210时，R(x)有最大值为 ‎－(210－220)2＋1 680＝1 660.‎ ‎∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元