2012年全国高考理科数学试题及答案-全国卷[1]

2012年全国高考理科数学试题及答案-全国卷[1]

绝密*启用前 ‎2012年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）‎ 理科数学 注息事项:‎ ‎ 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。‎ ‎ 2.问答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效.‎ ‎3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·‎ ‎4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。‎ 第一卷 一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）已知集合；,则中所含元素 的个数为（ ）‎ ‎ ‎ ‎【解析】选 ‎ ，，，共10个 ‎（2）将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，‎ 每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有（ ）‎ ‎ 种 种 种 种 ‎【解析】选 ‎ 甲地由名教师和名学生：种 ‎（3）下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（ ）‎ ‎ 的共轭复数为 的虚部为 ‎ ‎ ‎【解析】选 ‎ ‎ ‎ ，，的共轭复数为，的虚部为 ‎（4）设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，‎ ‎ 是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ）‎ ‎ ‎ ‎【解析】选 ‎ 是底角为的等腰三角形 ‎（5）已知为等比数列，，，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎【解析】选 ‎，或 ‎（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数和 实数，输出，则（ ）‎ 为的和 为的算术平均数 和分别是中最大的数和最小的数 和分别是中最小的数和最大的数 ‎【解析】选 ‎（7）如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的 是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）‎ ‎ ‎ ‎【解析】选 ‎ 该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为 ‎ 此几何体的体积为 ‎（8）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于 两点，；则的实轴长为（ ）‎ ‎ ‎ ‎【解析】选 设交的准线于 得：‎ ‎（9）已知，函数在上单调递减。则的取值范围是（ ）‎ ‎ ‎ ‎【解析】选 ‎ 不合题意 排除 ‎ 合题意 排除 另：，‎ ‎ 得：‎ ‎（10） 已知函数；则的图像大致为（ ）‎ ‎【解析】选 ‎ ‎ ‎ 得：或均有 排除 ‎（11）已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形，‎ 为球的直径，且；则此棱锥的体积为（ ）‎ ‎ ‎ ‎【解析】选 ‎ 的外接圆的半径，点到面的距离 ‎ 为球的直径点到面的距离为 ‎ 此棱锥的体积为 ‎ 另：排除 ‎（12）设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ）‎ ‎ ‎ ‎【解析】选 ‎ 函数与函数互为反函数，图象关于对称 ‎ 函数上的点到直线的距离为 ‎ 设函数 ‎ 由图象关于对称得：最小值为 第Ⅱ卷 ‎ 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-第24题为选考题，考生根据要求做答。‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎（13）已知向量夹角为 ，且；则 ‎【解析】‎ ‎(14) 设满足约束条件：；则的取值范围为 ‎ ‎【解析】的取值范围为 ‎ ‎ 约束条件对应四边形边际及内的区域： ‎ 则 ‎（15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3‎ 正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从 正态分布，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命 超过1000小时的概率为 ‎ ‎【解析】使用寿命超过1000小时的概率为 ‎ ‎ 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为 超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率 ‎ 那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 ‎（16）数列满足，则的前项和为 ‎ ‎【解析】的前项和为 ‎ ‎ 可证明：‎ ‎ ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎ （17）（本小题满分12分）‎ 已知分别为三个内角的对边，‎ ‎（1）求 （2）若，的面积为；求。‎ ‎【解析】（1）由正弦定理得：‎ ‎ ‎ ‎ （2）‎ ‎ ‎ ‎ 解得：（l fx lby）‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售，‎ 如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。‎ ‎（1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量 ‎（单位：枝，）的函数解析式。 ‎ ‎（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：‎ 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。‎ ‎（i）若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列，‎ 数学期望及方差；‎ ‎（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？‎ 请说明理由。‎ ‎【解析】（1）当时，‎ ‎ 当时，‎ ‎ 得：‎ ‎ （2）（i）可取，，‎ ‎ ‎ ‎ 的分布列为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （ii）购进17枝时，当天的利润为 ‎ 得：应购进17枝 ‎（19）（本小题满分12分）‎ 如图，直三棱柱中，，‎ 是棱的中点，‎ ‎（1）证明：‎ ‎（2）求二面角的大小。‎ ‎【解析】（1）在中，‎ ‎ 得：‎ ‎ 同理：‎ ‎ 得：面 ‎ （2）面 ‎ 取的中点，过点作于点，连接 ‎ ，面面面 ‎ 得：点与点重合 ‎ 且是二面角的平面角 ‎ 设，则，‎ ‎ 既二面角的大小为 ‎（20）（本小题满分12分）‎ 设抛物线的焦点为，准线为，，已知以为圆心，‎ 为半径的圆交于两点；‎ ‎（1）若，的面积为；求的值及圆的方程；‎ ‎（2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，‎ 求坐标原点到距离的比值。‎ ‎【解析】（1）由对称性知：是等腰直角，斜边 ‎ 点到准线的距离 ‎ ‎ ‎ 圆的方程为 ‎ （2）由对称性设，则 ‎ 点关于点对称得：‎ ‎ 得：，直线 ‎ 切点 ‎ 直线 坐标原点到距离的比值为。（lfx lby）‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数满足满足；‎ ‎（1）求的解析式及单调区间；‎ ‎（2）若，求的最大值。‎ ‎【解析】（1）‎ ‎ 令得：‎ ‎ ‎ ‎ 得：‎ ‎ 在上单调递增 ‎ ‎ ‎ 得：的解析式为 ‎ 且单调递增区间为，单调递减区间为 ‎ （2）得 ‎ ①当时，在上单调递增 ‎ 时，与矛盾 ‎ ②当时，‎ ‎ 得：当时，‎ ‎ ‎ ‎ 令；则 ‎ ‎ ‎ 当时，‎ ‎ 当时，的最大值为 请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，‎ 做答时请写清题号。‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，分别为边的中点，直线交 的外接圆于两点，若，证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）‎ ‎【解析】（1），‎ ‎ ‎ ‎ （2）‎ ‎ ‎ ‎（23）本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程 ‎ 已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴 为极轴建立坐标系，曲线的坐标系方程是，正方形的顶点都在上，‎ 且依逆时针次序排列，点的极坐标为 ‎（1）求点的直角坐标；‎ ‎（2）设为上任意一点，求的取值范围。‎ ‎【解析】（1）点的极坐标为 ‎ 点的直角坐标为 ‎ （2）设；则 ‎ ‎ ‎ （lfxlby）‎ ‎（24）（本小题满分10分）选修：不等式选讲 ‎ 已知函数 ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的解集包含，求的取值范围。‎ ‎【解析】（1）当时，‎ ‎ 或或 ‎ 或 ‎ （2）原命题在上恒成立 在上恒成立 在上恒成立