2012年全国高考理科数学试题及答案-全国卷[1]

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2012年全国高考理科数学试题及答案-全国卷[1]

绝密*启用前 ‎2012年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)‎ 理科数学 注息事项:‎ ‎ 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。‎ ‎ 2.问答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效.‎ ‎3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·‎ ‎4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。‎ 第一卷 一. 选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎(1)已知集合;,则中所含元素 的个数为( )‎ ‎ ‎ ‎【解析】选 ‎ ,,,共10个 ‎(2)将名教师,名学生分成个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,‎ 每个小组由名教师和名学生组成,不同的安排方案共有( )‎ ‎ 种 种 种 种 ‎【解析】选 ‎ 甲地由名教师和名学生:种 ‎(3)下面是关于复数的四个命题:其中的真命题为( )‎ ‎ 的共轭复数为 的虚部为 ‎ ‎ ‎【解析】选 ‎ ‎ ‎ ,,的共轭复数为,的虚部为 ‎(4)设是椭圆的左、右焦点,为直线上一点,‎ ‎ 是底角为的等腰三角形,则的离心率为( )‎ ‎ ‎ ‎【解析】选 ‎ 是底角为的等腰三角形 ‎(5)已知为等比数列,,,则( )‎ ‎ ‎ ‎【解析】选 ‎,或 ‎(6)如果执行右边的程序框图,输入正整数和 实数,输出,则( )‎ 为的和 为的算术平均数 和分别是中最大的数和最小的数 和分别是中最小的数和最大的数 ‎【解析】选 ‎(7)如图,网格纸上小正方形的边长为,粗线画出的 是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )‎ ‎ ‎ ‎【解析】选 ‎ 该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为 ‎ 此几何体的体积为 ‎(8)等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与抛物线的准线交于 两点,;则的实轴长为( )‎ ‎ ‎ ‎【解析】选 设交的准线于 得:‎ ‎(9)已知,函数在上单调递减。则的取值范围是( )‎ ‎ ‎ ‎【解析】选 ‎ 不合题意 排除 ‎ 合题意 排除 另:,‎ ‎ 得:‎ ‎(10) 已知函数;则的图像大致为( )‎ ‎【解析】选 ‎ ‎ ‎ 得:或均有 排除 ‎(11)已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上,是边长为的正三角形,‎ 为球的直径,且;则此棱锥的体积为( )‎ ‎ ‎ ‎【解析】选 ‎ 的外接圆的半径,点到面的距离 ‎ 为球的直径点到面的距离为 ‎ 此棱锥的体积为 ‎ 另:排除 ‎(12)设点在曲线上,点在曲线上,则最小值为( )‎ ‎ ‎ ‎【解析】选 ‎ 函数与函数互为反函数,图象关于对称 ‎ 函数上的点到直线的距离为 ‎ 设函数 ‎ 由图象关于对称得:最小值为 第Ⅱ卷 ‎ 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22-第24题为选考题,考生根据要求做答。‎ 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。‎ ‎(13)已知向量夹角为 ,且;则 ‎【解析】‎ ‎(14) 设满足约束条件:;则的取值范围为 ‎ ‎【解析】的取值范围为 ‎ ‎ 约束条件对应四边形边际及内的区域: ‎ 则 ‎(15)某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3‎ 正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从 正态分布,且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命 超过1000小时的概率为 ‎ ‎【解析】使用寿命超过1000小时的概率为 ‎ ‎ 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 得:三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为 超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率 ‎ 那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 ‎(16)数列满足,则的前项和为 ‎ ‎【解析】的前项和为 ‎ ‎ 可证明:‎ ‎ ‎ 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。‎ ‎ (17)(本小题满分12分)‎ 已知分别为三个内角的对边,‎ ‎(1)求 (2)若,的面积为;求。‎ ‎【解析】(1)由正弦定理得:‎ ‎ ‎ ‎ (2)‎ ‎ ‎ ‎ 解得:(l fx lby)‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝元的价格出售,‎ 如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理。‎ ‎(1)若花店一天购进枝玫瑰花,求当天的利润(单位:元)关于当天需求量 ‎(单位:枝,)的函数解析式。 ‎ ‎(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:‎ 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。‎ ‎(i)若花店一天购进枝玫瑰花,表示当天的利润(单位:元),求的分布列,‎ 数学期望及方差;‎ ‎(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?‎ 请说明理由。‎ ‎【解析】(1)当时,‎ ‎ 当时,‎ ‎ 得:‎ ‎ (2)(i)可取,,‎ ‎ ‎ ‎ 的分布列为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ (ii)购进17枝时,当天的利润为 ‎ 得:应购进17枝 ‎(19)(本小题满分12分)‎ 如图,直三棱柱中,,‎ 是棱的中点,‎ ‎(1)证明:‎ ‎(2)求二面角的大小。‎ ‎【解析】(1)在中,‎ ‎ 得:‎ ‎ 同理:‎ ‎ 得:面 ‎ (2)面 ‎ 取的中点,过点作于点,连接 ‎ ,面面面 ‎ 得:点与点重合 ‎ 且是二面角的平面角 ‎ 设,则,‎ ‎ 既二面角的大小为 ‎(20)(本小题满分12分)‎ 设抛物线的焦点为,准线为,,已知以为圆心,‎ 为半径的圆交于两点;‎ ‎(1)若,的面积为;求的值及圆的方程;‎ ‎(2)若三点在同一直线上,直线与平行,且与只有一个公共点,‎ 求坐标原点到距离的比值。‎ ‎【解析】(1)由对称性知:是等腰直角,斜边 ‎ 点到准线的距离 ‎ ‎ ‎ 圆的方程为 ‎ (2)由对称性设,则 ‎ 点关于点对称得:‎ ‎ 得:,直线 ‎ 切点 ‎ 直线 坐标原点到距离的比值为。(lfx lby)‎ ‎(21)(本小题满分12分)‎ 已知函数满足满足;‎ ‎(1)求的解析式及单调区间;‎ ‎(2)若,求的最大值。‎ ‎【解析】(1)‎ ‎ 令得:‎ ‎ ‎ ‎ 得:‎ ‎ 在上单调递增 ‎ ‎ ‎ 得:的解析式为 ‎ 且单调递增区间为,单调递减区间为 ‎ (2)得 ‎ ①当时,在上单调递增 ‎ 时,与矛盾 ‎ ②当时,‎ ‎ 得:当时,‎ ‎ ‎ ‎ 令;则 ‎ ‎ ‎ 当时,‎ ‎ 当时,的最大值为 请考生在第22,23,24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,‎ 做答时请写清题号。‎ ‎(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图,分别为边的中点,直线交 的外接圆于两点,若,证明:‎ ‎(1);‎ ‎(2)‎ ‎【解析】(1),‎ ‎ ‎ ‎ (2)‎ ‎ ‎ ‎(23)本小题满分10分)选修4—4;坐标系与参数方程 ‎ 已知曲线的参数方程是,以坐标原点为极点,轴的正半轴 为极轴建立坐标系,曲线的坐标系方程是,正方形的顶点都在上,‎ 且依逆时针次序排列,点的极坐标为 ‎(1)求点的直角坐标;‎ ‎(2)设为上任意一点,求的取值范围。‎ ‎【解析】(1)点的极坐标为 ‎ 点的直角坐标为 ‎ (2)设;则 ‎ ‎ ‎ (lfxlby)‎ ‎(24)(本小题满分10分)选修:不等式选讲 ‎ 已知函数 ‎(1)当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)若的解集包含,求的取值范围。‎ ‎【解析】(1)当时,‎ ‎ 或或 ‎ 或 ‎ (2)原命题在上恒成立 在上恒成立 在上恒成立
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