2015高考数学人教A版本（1-3充分条件与必要条件）一轮复习学案
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 1-3充分条件与必要条件课后强化作业 新人教A版
基础巩固强化
一、选择题
1．(文)(2012·北京四中期中)如果x、y是实数，那么“cosx＝cosy”是“x＝y”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] x＝y⇒cosx＝cosy，cosx＝cosy时，不一定有x＝y，如cos＝cos(－)，故选B.
(理)“α≠β”是“sinα≠sinβ”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 命题“若α≠β，则sinα≠sinβ”等价于命题“若sinα＝sinβ，则α＝β”，这个命题显然不正确，故条件是不充分的；命题“若sinα≠sinβ，则α≠β”等价于命题“若α＝β，则sinα＝sinβ”，这个命题是真命题，故条件是必要的．故选B.
2．(2013·北京海淀期中)“t≥0”是“函数f(x)＝x2＋tx－t在(－∞，＋∞)内存在零点”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 函数f(x)＝x2＋tx－t在(－∞，＋∞)内存在零点，等价于t2＋4t≥0，即t≤－4或t≥0，故选A.
3．(文)(2012·北京西城区期末)“直线l的方程为x－y＝0”是“直线l平分圆x2＋y2＝1的周长”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
[答案] A
[解析] 若直线l的方程为x－y＝0，则直线l一定平分圆x2＋y2＝1的周长；但要平分圆x2＋y2＝1的周长，只需要经过圆心(原点)任意作一条直线即可，即“直线l的方程为x－
y＝0”是“直线l平分圆x2＋y2＝1的周长”的充分而不必要条件．故选A.
(理)(2012·浙江宁波市期末)已知a、b∈R，则“a＝b”是“＝”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 若a＝b，则＝a，＝，显然当a<0时，＝a不成立，∴a＝b ＝；又当＝时，＝ab，∴(a－b)2＝0，∴a＝b，因此＝⇒a＝b，故选B.
4．(文)“a＝1”是“函数f(x)＝lg(ax)在(0，＋∞)上单调递增”的( )
A．充分不必要条件 B．充分必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] ∵当a＝1时，f(x)＝lgx在(0，＋∞)上单调递增，∴a＝1⇒f(x)＝lg(ax)在(0，＋∞)上单调递增，而由f(x)＝lg(ax)在(0，＋∞)上单调递增可得a>0，∴“a＝1”是“函数f(x)＝lg(ax)在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件，故选A.
(理)(2013·云南昆明一中检测)已知条件p：函数g(x)＝logm(x－1)为减函数，条件q：关于x的二次方程x2－2x＋m＝0有解，则p是q的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 函数g(x)＝logm(x－1)为减函数，则有0
0”的否定綈p：“∀x∈R，x2－x－1≤0”
其中真命题的序号是________．
[答案] ②④
[解析] ∵NM，∴a∈M是a∈N的必要不充分条件，∴①为假命题；逆否命题是将原命题的条件和结论都否定后分别作为新命题的结论与条件，a∈M否定后a∉M为结论，b∉M否定后b∈M为条件，故②为真命题；p∧q为假命题时，p、q至少有一个为假命题，不一定“p、q都是假命题”，故③为假命题；特称命题的否定为全称命题，>的否定为≤，故④为真命题．
8．(2013·山东临沂期中)已知下列四个命题：
①若tanθ＝2，则sin2θ＝；
②函数f(x)＝lg(x＋)是奇函数；
③“a>b”是“2a>2b”的充分不必要条件；
④在△ABC中，若sinAcosB＝sinC，则△ABC是直角三角形．
其中所有真命题的序号是________．
[答案] ①②④
[解析] sin2θ＝＝＝，所以①正确；f(－x)＝lg(－x＋)＝lg()＝－f(x)，所以②正确；由2a>2b可知a>b，所以“a>b”是“2a>2b”的充要条件，所以③不正确；由sinAcosB＝sinC得sinAcosB＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，所以cosAsinB＝0，所以cosA＝0，即A＝，所以△ABC是直角三角形，所以④正确．所以真命题的序号是①②④.
9．(文)(2013·绍兴模拟)“－30时，方程表示圆．
(理)已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是5.q：m－1≤x≤m＋1，
∴綈q：xm＋1.
又∵綈p是綈q的充分不必要条件，
∴且等号不同时取得．
∴2≤m≤4.
能力拓展提升
一、选择题
11．(2013·浙江金华十校联考)设角α，β是锐角，则“α＋β＝”是“(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 因为α＋β＝，
所以tan(α＋β)＝1＝.
则tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ，即(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2.
故“α＋β＝”是“(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2”的充分条件；
由(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2，可得tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ，
所以tan(α＋β)＝＝1，
由α，β是锐角，如α＋β∈(0，π)，可得α＋β＝，
故“α＋β＝”是“(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2”的必要条件．
综上可知，“α＋β＝”是“(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2”的充要条件．
12．(文)设x、y是两个实数，命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )
A．x＋y＝2 B．x＋y>2
C．x2＋y2>2 D．xy>1
[答案] B
[解析] 命题“x、y中至少有一个数大于1”等价于“x>1或y>1”．若x＋y>2，必有x>1或y>1，否则x＋y≤2；而当x＝2，y＝－1时，2－1＝1<2，所以x>1或y>1不能推出x＋y>2.对于x＋y＝2，当x＝1，且y＝1时，满足x＋y＝2，不能推出x>1或y>1.对于x2＋
y2>2，当x<－1，y<－1时，满足x2＋y2>2，不能推出x>1或y>1.对于xy>1，当x<－1，y<－1时，满足xy>1，不能推出x>1或y>1.故选B.
(理)已知函数f(x)＝则“c＝－1”是“函数f(x)在R上递增”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 当c＝－1时，函数f(x)＝易知函数f(x)在(－∞，1)、(1，＋∞)上分别是增函数，且注意到log21＝1－1＝0，此时函数f(x)在R上是增函数；反过来，当函数f(x)在R上是增函数时，不能得出c＝－1，如c＝－2，此时也能满足函数f(x)在R上是增函数．综上所述，“c＝－1”是“函数f(x)在R上递增”的充分不必要条件，选A.
13．(文)(2013·广东汕头质检)“a<－2”是“函数f(x)＝ax＋3在区间[－1,2]上存在零点”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 当a<－2时，f(－1)f(2)＝(－a＋3)(2a＋3)<0，所以函数f(x)＝ax＋3在区间[－1,2]上存在零点；反过来，当函数f(x)＝ax＋3在区间[－1,2]上存在零点时，不能得知a<－2，如当a＝4时，函数f(x)＝ax＋3＝4x＋3在区间[－1,2]上存在零点．因此，“a<－2”是“函数f(x)＝ax＋3在区间[－1,2]上存在零点”的充分不必要条件，选A.
(理)(2013·吉林长春调研)“直线l的方程为x－y－5＝0”是“直线l平分圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1的周长”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1的圆心坐标为(2，－3)，直线l经过圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1的圆心，
所以直线l平分圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1的周长．
因为过圆心的直线都平分圆的周长，
所以这样的直线有无数多条．
由此可知“直线l的方程为x－y－5＝0”是“直线l平分圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1的周长”的充分不必要条件．
二、填空题
14．(2013·衡阳六校联考)已知命题p：|x－1|＋|x＋1|≥3a恒成立，命题q：(2a－1)x
为减函数，若“p且q”为真命题，则a的取值范围是________．
[答案] (，]
[解析] 注意到|x－1|＋|x＋1|≥|(x－1)－(x＋1)|＝2，－1≤x≤1时，等号成立，即|x－1|＋|x＋1|的最小值是2.若不等式|x－1|＋|x＋1|≥3a恒成立，则3a≤2，即a≤.若函数y＝(2a－1)x为减函数，则0<2a－1<1，即n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件．
②对于数列{an}，“an＋1>|an|，n＝1,2，…”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．
③已知a、b为平面上两个不共线的向量，p：|a＋2b|＝|a－2b|；q：a⊥b，则p是q的必要不充分条件．
④“m>n”是“()m<()n”的充分不必要条件．
其中真命题的序号是________．
[答案] ①②
[解析] ①∵m>n>0，∴0<<，方程mx2＋ny2＝1化为＋＝1，故表示焦点在y轴上的椭圆，反之亦成立．∴①是真命题；
②对任意自然数n，an＋1>|an|≥0，∴an＋1>an，∴{an}为递增数列；当取an＝n－4时，则{an}为递增数列，但an＋1>|an|不一定成立，如a2>|a1|就不成立．∴②是真命题；
③由于|a＋2b|＝|a－2b|⇔(a＋2b)2＝(a－2b)2⇔a·b＝0⇔a⊥b，因此p是q的充要条件，∴③是假命题；
④∵y＝x是减函数，∴当m>n时，mn，因此m>n⇔mr2(x，y∈R，r>0)，若p是q的充分不必要条件，则r的取值范围是________．
[答案] (0，)
[解析] 设A＝，B＝{(x，y)|x2＋y2>r2，x，y∈R，r>0}，
则集合A表示的区域为图中阴影部分，集合B表示以原点为圆心，以r为半径的圆的外部，设原点到直线4x＋3y－12＝0的距离为d，则
d＝＝，
∵p是q的充分不必要条件，∴AB，则02”是“x2－3x＋2>0”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 因为x2－3x＋2>0⇔x>2或x<1，所以x>2⇒x2－3x＋2>0；但x2－3x＋2>0 x>2，故“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件，选A.
4．(2012·嵊州二中月考)已知a、b为实数，则“2a>2b”是“lna>lnb”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] ∵2a>2b⇔a>b，
而lna>lnb⇔a>b>0，
因此“2a>2b”是“lna>lnb”的必要而不充分条件，选B.
5．△ABC中“cosA＝2sinBsinC”是“△ABC为钝角三角形”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] cosA＝－cos(B＋C)＝－cosBcosC＋sinBsinC＝2sinBsinC，
∴cos(B－C)＝0.∴B－C＝.
∴B＝＋C>，故为钝角三角形，反之显然不成立，故选B.
6．已知i为虚数单位，a为实数，复数z＝(1－2i)(a＋i)在复平面内对应的点为M，则“a>”是“点M在第四象限”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 注意到z＝(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i在复平面内对应的点为M(a＋2,1－2a)．当a>时，有a＋2>0,1－2a<0，故点M在第四象限；反过来，当点M在第四象限时，有a＋2>0且1－2a<0，由此解得a>.所以“a>”是“点M在第四象限”的充要条件，故选C.
7．a＝－是函数f(x)＝ax3＋4x＋1在(－∞，－2]上单调递减的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] a＝－时，若x≤－2，则f ′(x)＝－x2＋4≤0，∴f(x)在(－∞，－2]上单调递减．
若f(x)在(－∞，－2]上单调递减，
∵f ′(x)＝3ax2＋4，∴3ax2＋4≤0，在(－∞，－2]上恒成立，即a≤－恒成立，∴a≤－.故选A.
8．“m>0>n”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在x轴上的双曲线”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 当m>0，n<0时，方程mx2＋nx2＝1，化为－＝1表示焦点在x轴上的双曲线，若方程mx2＋ny2＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则应有m>0，n<0，故选C.
