解析几何——轨迹方程的高考题总结

解析几何——轨迹方程的高考题总结

解析几何中求轨迹方程的常见方法 一、直接法 当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.‎ 例1 已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：，动点M到圆C的切线长与的比等于常数（如图），求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．‎ ‎1解：设M（x，y），直线MN切圆C于N，则有，即，．整理得，这就是动点M的轨迹方程．‎ 若，方程化为，它表示过点和x轴垂直的一条直线；‎ 若λ≠1，方程化为， 它表示以为圆心，为半径的圆．‎ 二、定义法 定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.‎ C B y x O A 例2 已知中，、、的对边分别为、、，若依次构成等差数列，且，，求顶点的轨迹方程.‎ ‎2解：如右图，以直线为轴，线段的中点为原点建立直角坐标系. 由题意，构成等差数列，（两定点的距离等于定长—椭圆），即，又，的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，，，故的轨迹方程为.‎ 三、点差法 将直线与圆锥曲线的交点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为"点差法"。 ‎ 例3 抛物线焦点弦的中点轨迹方程是 。‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 四、几何法 几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.‎ 例4 已知点、，过、作两条互相垂直的直线和，求和的交点的轨迹方程.‎ 五、参数法 ‎ 参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.‎ 例5 过抛物线（）的顶点作两条互相垂直的弦、，求弦的中点的轨迹方程.‎ 例6 设椭圆中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q，点P在该直线上，且，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．‎ 六、交轨法 求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.‎ x A1‎ A2‎ O y N M P 例7 如右图，垂直于轴的直线交双曲线于、两点，为双曲线的左、右顶点，求直线与的交点的轨迹方程，并指出轨迹的形状.‎ 例8 已知两点以及一条直线：y=x，设长为的线段AB在直线上移动，求直线PA和QB交点M的轨迹方程．‎ 七、代入法 当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点的坐标来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.‎ y Q O x N P 例9 如图，从双曲线上一点引直线的垂线，垂足为，求线段的中点的轨迹方程.‎ 例10 已知抛物线，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP:PA=1:2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线．‎ ‎3解： 设弦端点，中点为，则 ‎ 因为所以 ‎4解：由平面几何知识可知，当为直角三角形时，点的轨迹是以为直径的圆.此圆的圆心即为的中点，半径为，方程为. 故的轨迹方程为.‎ ‎5解：设，直线的斜率为，则直线的斜率为.直线OA的方程为，由解得，即，同理可得.‎ 由中点坐标公式，得，消去，得，此即点的轨迹方程.‎ ‎6解：（1）设所求椭圆方程为由题意得解得 所以椭圆方程为．‎ ‎(2)设点解方程组得 由和得 其中t＞1．消去t，得点P轨迹方程为和．其轨迹为抛物线在直线右侧的部分和抛物线在直线在侧的部分．‎ ‎7解：设及，又，可得 直线的方程为------①；‎ 直线的方程为------②.‎ 由①x②得---------③. ‎ 又 ，代入③得，化简得，此即点的轨迹方程. ‎ 当时，点的轨迹是以原点为圆心、为半径的圆；‎ 当时，点的轨迹是椭圆.‎ ‎8解： PA和QB的交点M（x，y）随A、B的移动而变化，故可设，则PA：QB：‎ 消去t，得当t=－2，或t=－1时，PA与QB的交点坐标也满足上式，所以点M的轨迹方程是 ‎9解：设，则. 因为在直线上，‎ ‎----① 又得即.---②‎ 联解①②得.又点在双曲线上，，化简整理得：，此即动点的轨迹方程.‎ ‎10解：设，由题设，P分线段AB的比，∴ 解得.又点B在抛物线上，其坐标适合抛物线方程，∴ 整理得点P的轨迹方程为其轨迹为抛物线．‎