高考二轮复习专题限时集训：数学（文）第15讲　圆锥曲线的定义、方程与性质

高考二轮复习专题限时集训：数学（文）第15讲　圆锥曲线的定义、方程与性质

专题限时集训(十五)‎ ‎[第15讲　圆锥曲线的定义、方程与性质]‎ ‎(时间：10分钟＋35分钟)‎ ‎　　　　 　　 　　　 　　 　　　　　 　‎ ‎1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是(　　)‎ A．y2＝－8x B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x ‎2．椭圆＋＝1的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎3．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)‎ A．2 B．2 C．4 D．4 ‎4．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若＝，·＝12，则p的值为________．‎ ‎1．椭圆＋y2＝1的焦点为F1，F2，点M在椭圆上，·＝0，则M到y轴的距离为(　　)‎ A. B. C. D. ‎2．已知定点A(1,0)和定直线l：x＝－1，在l上有两动点E，F且满足⊥，另有动点P，满足∥，∥(O为坐标原点)，则动点P的轨迹方程为(　　)‎ A．y2＝4x B．y2＝4x(x≠0)‎ C．y2＝－4x D．y2＝－4x(x≠0)‎ ‎3．设F1、F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且·＝0，则|＋|＝(　　)‎ A．2 B. ‎ C．4 D．2 ‎4．已知椭圆＋＝1(a>0，b>0)，A是椭圆长轴的一个端点，B是椭圆短轴的一个端点，F为椭圆的一个焦点．若AB⊥BF，则该椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎5．已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则(　　)‎ A．a2＝ B．a2＝13 ‎ C．b2＝ D．b2＝2‎ ‎7．已知双曲线x2－＝1(b＞0)的一条渐近线的方程为y＝2x，则b＝________.‎ ‎8．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F与椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为T，且TF与x轴垂直，则椭圆的离心率为________．‎ ‎9．点P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且△PF‎1F2的内切圆半径为1，当P在第一象限时，P点的纵坐标为________．‎ ‎ ‎ ‎10．如图15－2，已知A、B、C是椭圆：＋＝1(a＞b＞0)上的三点，其中点A的坐标为(2，0)，BC过椭圆的中心，且·＝0，||＝2||.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)过点M(0，t)的直线l(斜率存在)与椭圆交于两点P，Q，设D为椭圆与y轴负半轴的交点，且||＝||，求实数t的取值范围．‎ 图15－2‎ ‎ ‎ ‎11．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1、F2，且|F‎1F2|＝2，点在椭圆C上．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．‎ 专题限时集训(十五) ‎ ‎【基础演练】‎ ‎1．B　【解析】 由题意设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，又∵其准线方程为x＝－＝－2，∴p＝4，所求抛物线方程为y2＝8x.‎ ‎2．D　【解析】 由题意a＝4，c2＝8，∴c＝2，所以离心率为e＝＝＝.‎ ‎3．C　【解析】 双曲线方程可化为－＝1，所以a2＝4，得a＝2，所以‎2a＝4.故实轴长为4.‎ ‎4．1　【解析】 设A，B，F，由＝得，＝(－p，yB)，由此得t2＝3p2，yB＝－t.设C，则＝，＝(0,2t)，所以·＝12得4t2＝12，故p＝1.‎ ‎【提升训练】‎ ‎1．B　【解析】 椭圆的焦点坐标是(±，0)，点M在以线段F‎1F2为直径的圆上，该圆的方程是x2＋y2＝3，即y2＝3－x2，代入椭圆方程得＋3－x2＝1，解得x2＝，即|x|＝，即点M到y轴的距离．‎ ‎2．B　【解析】 设P(x，y)，E(－1，y1)，F(－1，y2)(y1，y2均不为0)，由∥⇒y1＝y，即E(－1，y)．由∥⇒y2＝－.由⊥⇒y2＝4x(x≠0)．故选B.‎ ‎3．D　【解析】 根据已知△PF‎1F2是直角三角形，向量＋＝2，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出.·＝0，则|＋|＝2||＝||＝2.‎ ‎4．B　【解析】 因为AB⊥BF，所以kAB·kBF＝－1，即·＝－1，即b2＝ac，所以a2－c2＝ac，两边同除以a2，得e2＋e－1＝0，所以e＝(舍负)，故选B.‎ ‎5．C　【解析】 由双曲线x2－＝1知渐近线方程为y＝±2x，又∵椭圆与双曲线有公共焦点，‎ ‎∴椭圆方程可化为b2x2＋(b2＋5)y2＝(b2＋5)b2，‎ 联立直线与椭圆方程消y得，x2＝.‎ 又∵C1将线段AB三等分，‎ ‎∴×2＝，‎ 解之得b2＝.‎ ‎6．A　【解析】 当l斜率存在时，设l：y＝k，与y2＝2px联立消去y得k2x2－(pk2＋2p)x＋＝0，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，抛物线的焦点为F，则|AB|＝|AF|－|BF|＝‎ x1＋－＝x1，同理|CD|＝x2，∴·＝|AB||CD|＝x1x2＝；当l⊥x轴时，易得|AB|＝|CD|＝，∴·＝，故选A.‎ ‎7．2　【解析】 易知y＝bx＝2x，故b＝2.‎ ‎8.－1　【解析】 依题意c＝，＝p，∴b2＝‎2ac，∴c2＋‎2ac－a2＝0，∴e2＋2e－1＝0，解得e＝－1.‎ ‎9.　【解析】 |PF1|＋|PF2|＝10，|F‎1F2|＝6，S△PF‎1F2＝(|PF1|＋|PF2|＋|F‎1F2|)·1＝8＝|F‎1F2|·yP＝3yP.所以yP＝.‎ ‎(2)由条件知D(0，－2)，‎ 当k＝0时，显然－2＜t＜2，当k≠0时，设l：y＝kx＋t，‎ 消y得(1＋3k2)x2＋6ktx＋3t2－12＝0，‎ 由Δ＞0，可得t2＜4＋12k2，①‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，PQ的中点H(x0，y0)，‎ 则x0＝＝－，y0＝kx0＋t＝，‎ ‎∴H.‎ 由||＝||，‎ ‎∴DH⊥PQ，‎ 即kDH＝－.‎ ‎∴＝－，‎ 化简得t＝1＋3k2，②‎ ‎∴t＞1，将②代入①得1＜t＜4，‎ ‎∴实数t的取值范围是(1,4)．‎ 综上t∈(－2,4)．‎ ‎11．【解答】 (1)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，由题意可得椭圆C两焦点坐标分别为F1(－1,0)，F2(1,0)．‎ ‎∴‎2a＝＋ ‎＝＋＝4.‎ ‎∴a＝2，又c＝1，‎ ‎∴b2＝4－1＝3，‎ 故椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)解法一：当直线l⊥x轴时，计算得到：A，B，S△AF2B＝·|AB|·|F‎1F2|＝×3×2＝3，不符合题意．‎ 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y＝k(x＋1)，由消去y得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.‎ 显然Δ>0成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝－，x1·x2＝.‎ 又|AB|＝· ‎＝· ‎＝·＝，‎ 圆F2的半径r＝＝，‎ 所以S△AF2B＝|AB|·r＝··＝＝，‎ 化简，得17k4＋k2－18＝0，即(k2－1)(17k2＋18)＝0，解得k＝±1.所以r＝＝.‎ 故圆F2的方程为(x－1)2＋y2＝2.‎ 解法二：设直线l的方程为x＝ty－1，由消去x得(4＋3t2)y2－6ty－9＝0，Δ>0恒成立，设A(‎ x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1·y2＝－.‎ 所以|y1－y2|＝＝＝，‎ 又圆F2的半径为r＝＝，‎ 所以S△AF2B＝·|F‎1F2|·|y1－y2|＝|y1－y2|＝＝，解得t2＝1，‎ 所以r＝＝.故圆F2的方程为(x－1)2＋y2＝2.‎