2015高考数学人教A版本（算法、框图、复数、推理与证明）一轮过关测试题
阶段性测试题十一(算法、框图、复数、推理与证明)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．(2014·白鹭洲中学期中)复数z＝(m2＋m)＋mi(m∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为( )
A．0或－1 B．0
C．1 D．－1
[答案] D
[解析] ∵z为纯虚数，∴∴m＝－1，故选D.
2．(文)(2014·山东省博兴二中质检)如果等差数列{an}中，a5＋a6＋a7＝15，那么a3＋a4＋…＋a9等于( )
A．21 B．30
C．35 D．40
[答案] C
[解析] ∵3a6＝a5＋a6＋a7＝15，∴a6＝5，
∴a3＋a4＋…＋a9＝7a1＋35d＝7a6＝35.
(理)(2014·银川九中一模)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝( )
A．2n－1 B．()n－1
C．()n－1 D.
[答案] B
[解析] ∵Sn＝2an＋1＝2(Sn＋1－Sn)，∴＝，
又S1＝a1＝1，∴Sn＝()n－1，故选B.
3．(文)(2014·银川九中一模)若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] ∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴sin＝sin，∴cossin＝0，
∵此式对任意x都成立，∴cos＝0，
∵φ∈[0,2π]，∴φ＝.
(理)(2014·杭州七校联考)“sinx＝1”是“cosx＝0”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 若sinx＝1，则x＝2kπ＋，k∈Z，∴cosx＝0；若cosx＝0，则x＝kπ＋，k∈Z，∴sinx＝±1.
4．(文)(2014·北京朝阳区期中)执行如图所示的程序框图，则输出的T值为( )
A．91 B．55
C．54 D．30
[答案] B
[解析] 所给的程序的作用是计算：T＝12＋22＋32＋42＋52＝55.
(理)
(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)下列程序框图的输出结果为( )
A.
B.
C.
D.
[答案] C
[解析] 由程序框图知，每循环一次，i的值增加1，S的值加上，当i＝2013时，不满足i>2013，再循环一次，i的值变为2014，满足i>2013，此时输出S，故S最后加上的数为，
∴S＝＋＋…＋＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝，故选C.
5．(2014·武汉市调研)复数z＝m(3＋i)－(2＋i)(m∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] B
[解析] 复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内的对应点P(3m－2，m－1)，当m>1时，P在第一象限；当m<时，P在第三象限，当
b)的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．当n＝2时，数表的所有可能的“特征值”最大值为( )
A. B.
C．2 D．3
[答案] A
[解析] 当n＝2时，这4个数分别为1、2、3、4，排成了两行两列的数表，当1,2同行或同列时，这个数表的“特征值”为；当1,3同行或同列时，这个数表的特征值分别为或
eq f(3,2)；当1,4同行或同列时，这个数表的“特征值”为或；故这些可能的“特征值”的最大值为.
7．(2014·山西省太原五中月考)某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝ln(－x)
C．f(x)＝ D．f(x)＝
[答案] B
[解析] 由框图知，f(x)为有零点的奇函数，A、C中函数f(x)无零点；D中函数f(x)为偶函数；B中函数f(x)＝ln(－x)满足f(0)＝0且f(－x)＝ln(＋x)＝ln＝－ln(－x)＝－f(x)，故选B.
8．(2014·哈六中期中)若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋0，y>0，＋＝1，∴x＋＝(x＋)(＋)＝2＋＋≥2＋2＝4，等号在y＝4x，即x＝2，y＝8时成立，∴x＋的最小值为4，要使不等式m2－3m>x＋有解，应有m2－3m>4，∴m<－1或m>4，故选B.
9．(文)(2014·吉林市摸底)如图，程序输出的结果s＝132，则判断框中应填( )
A．i≥10? B．i≥11?
C．i≤11? D．i≥12?
[答案] B
[解析] 第一次循环：s＝1×12＝12，i＝12－1＝11，不满足条件，继续循环；
第二次循环：s＝12×11＝132，i＝11－1＝10，此时应输出，结束循环，因此判断框中应填i≥11？.
(理)(2014·成都七中模拟)阅读下边的程序框图，若输出S的值为－14，则判断框内可填写( )
A．i<6? B．i<8?
C．i<5? D．i<7?
[答案] B
[解析] 这是一个循环结构，每次循环的结果为：S＝2－1＝1，i＝1＋2＝3；S＝1－3＝－2，i＝3＋2＝5；S＝－2－5＝－7，i＝5＋2＝7；S＝－7－7＝－14，i＝7＋2＝9.因为最后输出－14，所以判断框内可填写i<8？选B.
10．(2014·广东梅县东山中学期中)在f(m，n)中，m，n，f(m，n)∈N*，且对任意m，n都有：
(1)f(1,1)＝1，(2)f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，(3)f(m＋1,1)＝2f(m,1)；给出下列三个结论：
①f(1,5)＝9；②f(5,1)＝16；③f(5,6)＝26；
其中正确的结论个数是( )个．
( )
A．3 B．2 C．1 D．0
[答案] A
[解析] ∵f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，∴f(m，n)组成首项为f(m,1)，公差为2的等差数列，
∴f(m，n)＝f(m,1)＋2(n－1)．
又f(1,1)＝1，∴f(1,5)＝f(1,1)＋2×(5－1)＝9，
又∵f(m＋1,1)＝2f(m,1)，∴f(m,1)构成首项为f(1,1)，公比为2的等比数列，∴f(m,1)＝f(1,1)·2m－1＝2m－1，∴f(5,1)＝25－1＝16，∴f(5,6)＝f(5,1)＋2×(6－1)＝16＋10＝26，∴①②③都正确，故选A.
11．(文)
(2014·九江市修水一中第四次月考)如图，在△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝30°，AC、BC边上的高分别为BD、AE，垂足分别是D、E，以A、B为焦点且过D、E的椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则＋的值为( )
A．1 B.
C．2 D．2
[答案] B
[解析] 设AE＝1，则AB＝2，BD＝1，AD＝BE＝，∴椭圆的焦距2c＝2，∴c＝1，长轴长2a＝AD＋BD＝＋1，
∴离心率e1＝＝－1，双曲线的焦距2c1＝2，
∴c1＝1，双曲线的实轴长2a1＝AD－BD＝－1，
∴离心率e2＝＝＋1.
∴＋＝＋＝，故选B.
(理)(2014·北京市海淀区期末)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，BD∩AC＝O，M是线段D1O上的动点，过点M作平面ACD1的垂线交平面A1B1C1D1于点N，则点N到点A距离的最小值为( )
A. B.
C. D．1
[答案] B
[解析] 因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，所以BB1⊥平面A1B1C1D1，因为BB1⊂平面BDD1B1，所以平面BDD1B1⊥平面A1B1C1D1，因为M∈平面BDD1B1，MN⊥平面ACD1，平面BDD1B1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以N∈B1D1.因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，所以△AB1D1为正三角形，边长为，所以当N为B1D1中点时，AN最小为sin60°＝.故B正确．
12．(2014·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：四面体P－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体P－ABC的体积为V，则r＝( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 将△ABC的三条边长a、b、c类比到四面体P－ABC的四个面面积S1、S2、S3、S4，将三角形面积公式中系数，类比到三棱锥体积公式中系数，从而可知选C.
证明如下：以四面体各面为底，内切球心O为顶点的各三棱锥体积的和为V，∴V＝S1r＋S2r＋S3r＋S4r，∴r＝.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)
13．(文)(2014·高州四中质量监测)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}，第二组含两个数{3,5}，第三组含三个数{7,9,11}，第四组含四个数{13,15,17,19}，…，现观察猜想每组内各数之和an与其组的编号数n的关系为________．
[答案] an＝n3
[解析] 第n组含n个数，前n－1组共有1＋2＋3＋…＋(n－1)＝个数，∴第n组的最小数为n2－n＋1，第n组的n个数组成首项为n2－n＋1，公差为2的等差数列，∴其各项之和为an＝n(n2－n＋1)＋×2＝n3.
(理)(2014·陕西工大附中四模)由13＝12,13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，……，可猜想出的第n个等式是________．
[答案] 13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2
[解析] 观察各等式可见第n个等式左边有n项，每个等式都是从13到n3的和，等式右端是从1到n的和的平方，故第n个等式为13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2.
14．(文)(2014·吉林市摸底)下列说法：
①“∃x∈R，使2x>3”的否定是“∀x∈R，使2x≤3”；
②函数y＝sin(2x＋)的最小正周期是π；
③“在△ABC中，使sinA>sinB，则A>B”的逆命题是真命题；
④“m＝－1”是“直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直”的充要条件；其中正确的说法是______(只填序号)．
[答案] ①②③
[解析] ①∵特称命题的否定是全称命题，∴“∃x∈R，使2x>3”的否定是“∀x∈R，使2x≤3”，正确；
②因为T＝＝π，所以函数y＝sin(2x＋)的最小正周期是π，正确；
③“在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B”的逆命题是“在△ABC中，若A>B，则sinA>sinB”，在△ABC中，若A>B⇒a>b⇒2rsinA>2rsinB⇒sinA>sinB，故③正确；
④由3m＋(2m－1)m＝0得m＝0或－1，所以“m＝－1”是“直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直”的充分不必要条件，∴④错误．
(理)(2014·泸州市一诊)已知集合A＝{f(x)|f 2(x)－f 2(y)＝f(x＋y)·f(x－y)，x、y∈R}，有下列命题：
①若f(x)＝，则f(x)∈A；
②若f(x)＝kx，则f(x)∈A；
③若f(x)∈A，则y＝f(x)可为奇函数；
④若f(x)∈A，则对任意不等实数x1，x2，总有<0成立．
其中所有正确命题的序号是________．(填上所有正确命题的序号)
[答案] ②③
[解析] 对于①，取x＝1，y＝－1知，f 2(x)－f 2(y)＝f 2(1)－f 2(－1)＝1－1＝0，但f(x＋y)f(x－y)＝f(0)·f(2)＝1，∴①错；
对于②，当f(x)＝kx时，f 2(x)－f 2(y)＝k2x2－k2y2＝k(x＋y)·k(x－y)＝f(x＋y)·f(x－y)，∴②正确；
对于③，在f 2(x)－f 2(y)＝f(x＋y)f(x－y)中令x＝0，y＝0得，f(0)＝0，又令x＝0得，f 2(0)－f 2(y)＝f(y)·f(－y)，当f(y)≠0时，有f(－y)＝－f(y)，∴f(x)可以为奇函数．
对于④，取f(x)＝x，则f 2(x)－f 2(y)＝x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝f(x＋y)f(x－y)，但x1，x2∈R且x1≠x2时，＝＝1>0，∴④错．
15．(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB2＝BD·BC.拓展到空间，在四面体A－BCD中，DA⊥平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，类比平面三角形射影定理，△ABC，△BOC，△BDC三者面积之间关系为________．
[答案] S＝S△OBC·S△DBC
[解析] 将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD与一侧面ABC垂直的四棱锥的侧面ABC的面积，将此直角边AB在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面积可得S＝S△OBC·S△DBC.
16．(文)(2014·西安市长安中学期中)21×1＝2,22×1×3＝3×4,23×1×3×5＝4×5×6,24×1×3×5×7＝5×6×7×8，…依此类推，第n个等式为________________．
[答案] 2n×1×3×…×(2n－1)＝(n＋1)×(n＋2)×…×(2n－1)×2n
[解析] 由所给4个等式可看出，第n个等式左边是2n与从1开始的连续的n个奇数之积，第n个等式右边是从n＋1开始的连续的n个正整数之积．所以第n个等式为：2n×1×3×…×(2n－1)＝(n＋1)×(n＋2)×…×(2n－1)×2n.
(理)(2014·江西临川十中期中)给出下列不等式：1＋＋＞1,1＋＋＋…＋＞，1＋＋＋…＋＞2，…，则按此规律可猜想第n个不等式为________________．
[答案] 1＋＋＋＋…＋＞
[解析] 观察不等式左边最后一项的分母3,7,15，…，通项为2n＋1
－1，不等式右边为首项为1，公差为的等差数列，故猜想第n个不等式为1＋＋＋＋…＋＞.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分12分)(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，△ABC的面积S满足S＝bccosA.
(1)求角A的值；
(2)若a＝，设角B的大小为x用x表示c，并求c的取值范围．
[解析] (1)在△ABC中，由S＝bccosA＝bcsinA，得tanA＝，
∵00，函数g(x)单调递增．
∴g(x)最小值为g(2)＝5＋ln2，
∴实数a的取值范围是(－∞，5＋ln2]．
(3)设切点T(x0，y0)，则kAT＝f ′(x0)，
∴＝lnx0＋1，即e2x0＋lnx0＋1＝0，
设h(x)＝e2x＋lnx＋1，则h′(x)＝e2＋，
当x>0时h′(x)>0，∴h(x)是单调递增函数，
∴h(x)＝0最多只有一个根，
又h()＝e2×＋ln＋1＝0，∴x0＝，
由f ′(x0)＝－1得切线方程是x＋y＋＝0.
20．(本小题满分12分)(文)(2014·山东省烟台市期末)近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录．为此，一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量P万件(生产量与销售量相等)与促销费用x万元满足P＝3－(其中0≤x≤a，a为正常数)；已知生产该产品还需投入成本(10＋2P)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为(4＋)万元/万件．
(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
[解析] (1)由题意知，y＝(4＋)×P－(10＋2P)－x，将P＝3－代入化简得：
y＝16－－x，(0≤x≤a)．
(2)y＝16－－x＝17－(＋x＋1)
≤17－2＝13，
当且仅当＝x＋1，即x＝1时，上式取等号．
当a≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；
当a<1时，y＝17－(＋x＋1)在[0，a]上单调递增，所以在x＝a时，函数有最大值．促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．
综上所述，当a≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当a<1时，促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．
(理)(2014·北京市海淀区期末)如果函数f(x)满足在集合N*上的值域仍是集合N*，则把函数f(x)称为N函数．
例如：f(x)＝x就是N函数．
(1)判断下列函数：①y＝x2，②y＝2x－1，③y＝[]中，哪些是N函数？(只需写出判断结果)；
(2)判断函数g(x)＝[lnx]＋1是否为N函数，并证明你的结论；
(3)证明：对于任意实数a，b，函数f(x)＝[b·ax]都不是N函数．
(注：“[x]”表示不超过x的最大整数)
[解析] (1)只有y＝[]是N函数．
①∵当x∈N*时，{y|y＝x2}N*，如3不是函数y＝x2(x∈N*)的函数值，∴y＝x2不是N函数；
②同理，∵当x∈N*时，y＝2x－1为奇数，∴y＝2x－1不是N函数；
③对于任意x∈N*，当n2≤x<(n＋1)2时，y＝[]＝n，∴y＝[x]是N函数．
(2)函数g(x)＝[lnx]＋1是N函数．
证明如下：
显然，∀x∈N*，g(x)＝[lnx]＋1∈N*.
不妨设[lnx]＋1＝k，k∈N*.
由[lnx]＋1＝k可得k－1≤lnx1成立，
所以一定存在x∈N*，满足ek－1≤x0时，1°若a≤0，有f(1)＝[b·a]≤0，
所以函数f(x)＝[b·ax]都不是N函数．
2°若01，令b·am＋1－b·am>2，则m>loga，
所以一定存在正整数k使得b·ak＋1－b·ak>2，
所以∃n1，n2∈N*，使得b·akk＋1时，b·ax>b·ak＋1，所以f(x)≥f(k＋1)，
所以∀x∈N*，都有n1∉{f(x)|x∈N*}，
所以函数f(x)＝[b·ax]都不是N函数．
综上所述，对于任意实数a，b，函数f(x)＝[b·ax]都不是N函数．
21．(本小题满分12分)(文)(2014·北京市海淀区期末)已知函数f(x)＝(x＋a)ex，其中a为常数．
(1)若函数f(x)在区间[－3，＋∞)上的增函数，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)≥e2在x∈[0,2]时恒成立，求实数a的取值范围．
[解析] (1)f ′(x)＝(x＋a＋1)ex，x∈R，
因为函数f(x)是区间[－3，＋∞)上的增函数，
所以f ′(x)≥0，即x＋a＋1≥0在[－3，＋∞)上恒成立．
因为y＝x＋a＋1是增函数，
所以只需－3＋a＋1≥0，即a≥2.
(2)令f ′(x)＝0，解得x＝－a－1，
f(x)，f ′(x)的变化情况如下：
①当－a－1≤0，即a≥－1时，f(x)在[0,2]上的最小值为f(0)，
若满足题意只需f(0)≥e2，解得a≥e2，
所以，此时a≥e2；
②当0<－a－1<2，即－30)，且经过F1、F2，Q是椭圆C上的动点且在圆P外，过Q作圆P的切线，切点为M，当|QM|的最大值为时，求t的值．
[解析] (1)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，依题意，2b＝＝4，所以b＝2，
又c＝1，所以a2＝b2＋c2＝5，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设Q(x，y)(其中＋＝1)，圆P的方程为x2＋(y－t)2＝t2＝1，因为PM⊥QM，
所以|QM|＝＝
＝，
若－4t≤－2即t≥，则当y＝－2时，|QM|取得最大值，且|QM|max＝＝，解得t＝<(舍去)．
若－4t>－2即0b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，且|F1F2|＝2，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点．
(1)求椭圆方程；
(2)设椭圆与直线y＝kx＋m相交于不同的两点M、N，又点A(0，－1)，当|AM|＝|AN|时，求实数m的取值范围．
[解析] (1)由已知，可得c＝，a＝b，
∵a2＝b2＋c2，∴a＝，b＝1，
∴＋y2＝1.
(2)当k＝0时，直线和椭圆有两交点只需－10，即m2<3k2＋1，①
xP＝＝－，
从而yP＝kxP＋m＝，kAP＝＝－，
又|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN，
则－＝－，即2m＝3k2＋1，②
将②代入①得2m>m2，解得00，解得m>，
故所求的m取值范围是(，2)．
综上知，k≠0时，m的取值范围是(，2)；
k＝0时，m的取值范围是(－1,1)．
