2017年度高考数学（理）三模试题（江西宜春市）
江西省宜春市2014届高三模拟考试
数学（理）试题
命题人：吴连进（高安ff1学） 熊星飞（宜丰中学）李希亮
审题人：李希亮 徐彩刚（樟树中学）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若（a－4i）i=b－i，（a，b∈R，i为虚数单位），则复数z=a+bi在复平面内的对应点位于（ ）
A．第一象限 B． 第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知全集为R，集合M ={xlx2－2x－80），集合N={x|（1n2）l－x＞1}，则集合M（CRN）等于（ ）
A．[-2,1] B．（1,+） C．[-l,4） D．（1,4]
3．设k=，若，则a1+a2+a3+…+a8=（ ）
A．-1 B．0
C．1 D．256
4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．32 B．16
C．24 D．48
5．双曲线=1（a>0，b>0）的右焦点是抛物线y2=8x拘焦点F，两曲线的一个公共点为P，且|PF| =5，则此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
6．若函数f（x）=sin 2xcos+cos 2x sin（x∈R），其中为实常数，且f（x）≤f（）对任意实数R恒成立，记p=f（），q=f（），r=f（），则p、q、r的大小关系是（ ）
A．r
0）的准线L，过M（l，0）且斜率为的直线与L
相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=____ 。
14．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是直线BC1的动点，则下列四个命题：
①三棱锥A－D1PC的体积不变；
②直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；
③二面角P－AD1－C的大小不变：
其中正确的命题有____ ．（把所有正确命题的编号填在横线上）
三、选做题：请在下列两题中任选一题作答．若两题都做则按第一题评阅计分，本题共5分．
15（1）．（不等式选做题）若不等式|x-a|-|x|<2－a2对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是 。
15（2）．（坐标系与参数方程选做题）设P（x，y）是曲线C：（为参数，∈[0，2））上任意一点，则的取值范围是 。
四、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、演算过程及步骤．
16．（本小题满分12分）
在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且（2b+c）cosA十acosC =0。
（1）求角A的大小；
（2）求的最大值，并求取得最大值时角B、C的大小．
17．（本小题满分12分）
以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试的数学成绩，乙组记录中有一个数字模糊，无法确认．假设这个数字具有随机性，并在图中以a表示．
（1）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a的值；
（2）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；
（3）当a=2时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，设这两名同学成绩之差的绝对值为X，求随机变量X的分布列和数学期望，
18．（本小题满分12分）
如图（1），在三角形ABC中，BA=BC=2√乏，ZABC=900，点0，M，N分别为
线段的中点，将AABO和AMNC分别沿BO，MN折起，使平面ABO与平面CMN都
与底面OMNB垂直，如图（2）所示．
（1）求证：AB//平面CMN；
（2）求平面ACN与平面CMN所成角的余
（3）求点M到平面ACN的距离．
19．（本小题满分12分）
已知数列{an}满足a1＞0，an+1=2－，。
（1）若a1，a2，a3成等比数列，求a1的值；
（2）是否存在a1，使数列{an}为等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由。
20．（本小题满分13分）
已知椭圆C：=1（a>0，b>0）的离心率与双曲线=1的一条渐近线的斜率相等，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线sin·x+cos·y－l=0相切（为常数）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点M（3，0）的直线与椭圆C相交TA，B两点，设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t取值范围．
21．（本小题满分14分）
已知函数g（x）=aln x·f（x）=x3 +x2+bx
（1）若f（x）在区间[1，2]上不是单调函数，求实数b的范围；
（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当b=0时，设F（x）=，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．
参考答案
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项
C
A
B
B
C
C
D
A
B
D
二、填空题：
11．1 12． 13． 14．①③
15． A． B．
三、解答题
16．解：,所以由余弦定理得，
化简整理得，由余弦定理得, ………………4分
所以，即,又,所以……6分
（2）∵，∴，．
…………8分
∵，∴，∴当，
取最大值，此时．…………………… 12分
17．解：（1）依题意，得：
解得 ． ……………………………………………………………3分
（2）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件，
依题意 ，共有种可能．
由（1）可知，当时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，
所以当时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有种可能．
因此乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率．…………7分
（3）解：当时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有种， 它们是：
,,,,,,,，
则这两名同学成绩之差的绝对值的所有取值为
因此，，，，．
………………………………………………………………10分
0
1
2
3
4
所以随机变量的分布列为：
所以的数学期望
． ……12分
18．解：（1），平面平面
，平面平面
，∴平面平面，又平面，
∴平面……………………………………………………4分
（2）分别以为轴建立坐标系，
则，，，，，
∴，，设平面的法向量为，
则有，令，得，而平面的法向量为：
，……………………8分
（3），由（2）知平面的法向量为：，
∴…………………………………………………………12分
19．解：（1）∵，∴，．
（ⅰ）当时，，
由，，成等比数列得：
∴，解得．……………………3分
（ⅱ）当时，
∴，解得（舍去）或．
综上可得或．……………………………………6分
（2）假设这样的等差数列存在，则
由，得，即．
（ⅰ）当时，，解得，从而（），此时是一个等差数列；………………………………………………………………9分
（ⅱ）当时，，解得，与矛盾；
综上可知，当且仅当时，数列为等差数列．………………12分
20．解：（I）由题意知双曲线的一渐近线斜率值为
，
因为，所以．故椭圆的方程为 ∙∙∙∙∙∙∙5分
（Ⅱ）设,方程为,
由, 整理得．
由，解得．
， ………………7分
∴ 则,
， 由点在椭圆上，代入椭圆方程得
① ………………9分
又由，即，
将，，
代入得则,
， ∴② …………11分
由①，得，联立②，解得
∴或 ………………13分
21．解析：（1）由
得 因在区间[1，2]上不是单调函数
所以在[1，2]上最大值大于0，最小值小于0
∴……………………………………4分
（2）由，得．
，且等号不能同时取，，即
恒成立，即…………………………6分
令，求导得，，
当时，，从而，
在上为增函数，，
．…………………………………………………………8分
（3）由条件，，
假设曲线上存在两点，满足题意，则，只能在轴两侧，……9分
不妨设，则，且．
是以为直角顶点的直角三角形，，
（*），
是否存在，等价于方程在且时是否有解．
①若时，方程为，化简得，此方程无解；………………………………12分
②若时，方程为，即，
设，则，
显然，当时，，即在上为增函数，
的值域为，即，当时，方程（*）总有解．
对任意给定的正实数，曲线 上总存在两点，，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．…………14分
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