上海市普陀区高考数学二模试卷理科

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上海市普陀区高考数学二模试卷理科

‎2015年上海市普陀区高考数学二模试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、填空题(共14题,每题4分,满分56分)‎ ‎1.不等式的解为      .‎ ‎2.若(i为虚数单位),则实数m=      .‎ ‎3.若函数f(x)=sin的最小正周期为π,则ω=      .‎ ‎4.集合A=,则A∩B      .‎ ‎5.若0≤x≤π,则函数的单调递增区间为      .‎ ‎6.如图,若∠OFB=, =﹣6,则以OA为长半轴,OB为短半轴,F为左焦点的椭圆的标准方程为      .‎ ‎7.函数f(x)=,若函数g(x)=x2+ax是偶函数,则f(a)=      .‎ ‎8.一个圆锥与一个球的体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍,若圆锥的高为1,则球的表面积为      .‎ ‎9.已知直线l和曲线Γ的极坐标方程分别为ρ(sinθ﹣cosθ)=1和ρ=1,若l和Γ相交于两点A,B,则|AB|=      .‎ ‎10.如图,机车甲、乙分别停在A,B处,且AB=10km,甲的速度为4千米/小时,乙的速度是甲的,甲沿北偏东60°的方向移动,乙沿正北方向移动,若两者同时移动100分钟,则它们之间的距离为      千米.‎ ‎11.一个袋子中有7个除颜色外完全相同的小球,其中5个红色,2个黑色.从袋中随机地取出3个小球.其中取到黑球的个数为ξ,则Eξ=      (结果用最简分数作答).‎ ‎12.若正方形ABCD的边长为1,且=,则|=      .‎ ‎13.已知复数z1,z2满足|z1|≤1,﹣1≤Rez2≤1,﹣1≤Imz2≤1,若z=z1+z2,则z在复平面上对应的点组成的图形的面积为      .‎ ‎14.x∈R,用记号N(x)表示不小于实数的最小整数,例如N(2.5)=3,,N(1)=1;则函数的所有零点之和为      .‎ ‎ ‎ 二、选择题(共4题,每题5分,满分20分)‎ ‎15.a,b,c表示直线,α表示平面,下列命题正确的是(  )‎ A.若a∥b,a∥α,则b∥α B.若a⊥b,b⊥α,则a⊥α C.若a⊥c,b⊥c,则a∥b D.若a⊥α,b⊥α,则a∥b ‎16.”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的(  )‎ A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 ‎17.在的展开式中,若第五项的系数与第三项的系数之比为56:3,则展开式中的常数项是(  )‎ A.第2项 B.第3项 C.第4项 D.第5项 ‎18.已知m,n,i,j均为正整数,记ai,j为矩阵中第i行、第j列的元素,且ai,j+1=ai,j+1,2ai+2,j=ai+1,j+ai,j ‎(其中i≤n﹣2,j≤m﹣2);给出结论:①a5,6=;②a2,1+a2,2+…+a2,m=2m;③④若m为常数,则.其中正确的个数是(  )‎ A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 ‎ ‎ 三、解答题(本大题共5题,写出必要的文字说明与步骤)‎ ‎19.已知函数f(x)=cos2x,g(x)=sinxcosx.‎ ‎(1)若直线x=a是函数y=f(x)的图象的一条对称轴,求g(2a)的值;‎ ‎(2)若0≤x≤,求h(x)=f(x)+g(x)的值域.‎ ‎20.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点.‎ ‎(1)求直线BE与平面ABB1A1所成角的大小(结果用反三角函数表示)‎ ‎(2)在棱C1D1上是否存在一点F,使得BF1∥平面A1BE,若存在,指明点F的位置,若不存在,请说明理由.‎ ‎21.已知函数f(x)=2x的反函数为f﹣1(x)‎ ‎(1)若f﹣1(x)﹣f﹣1(1﹣x)=1,求实数x的值;‎ ‎(2)若关于x的方程f(x)+f(1﹣x)﹣m=0在区间[0,2]内有解,求实数m的取值范围.‎ ‎22.如图,射线OA,OB所在的直线的方向向量分别为,,点P在∠AOB内,PM⊥OA于M,PN⊥OB于N;‎ ‎(1)若k=1,,求|OM|的值;‎ ‎(2)若P(2,1),△OMP的面积为,求k的值;‎ ‎(3)已知k为常数,M,N的中点为T,且S△MON=,当P变化时,求动点T轨迹方程.‎ ‎23.已知数列{an}的前n项和为Sn,且an>0,‎ ‎(1)若bn=1+log2(Sn•an),求数列{bn}的前n项和Tn;‎ ‎(2)若0<θn<,2n•an=tanθn,求证:数列{θn}为等比数列,并求出其通项公式;‎ ‎(3)记|,若对任意的n∈N*,cn≥m恒成立,求实数m的最大值.‎ ‎ ‎ ‎2015年上海市普陀区高考数学二模试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、填空题(共14题,每题4分,满分56分)‎ ‎1.不等式的解为 {x|0<x<1} .‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法.‎ ‎【专题】计算题.‎ ‎【分析】利用两个数的商是正数等价于两个数同号;将已知的分式不等式转化为整式不等式组,求出解集.‎ ‎【解答】解:同解于 x(x﹣1)<0‎ 所以不等式的解集为{x|0<x<1}‎ 故答案为{x|0<x<1}‎ ‎【点评】本题考查解分式不等式时,利用等价变形转化为整式不等式解.‎ ‎ ‎ ‎2.若(i为虚数单位),则实数m= ﹣1 .‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算.‎ ‎【专题】数系的扩充和复数.‎ ‎【分析】由复数代数形式的乘除运算化简,然后利用复数相等的条件列式求得m值.‎ ‎【解答】解:由,得 ‎,‎ 即,m=﹣1.‎ 故答案为:﹣1.‎ ‎【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题.‎ ‎ ‎ ‎3.若函数f(x)=sin的最小正周期为π,则ω= 2 .‎ ‎【考点】三角函数的周期性及其求法;正弦函数的图象.‎ ‎【专题】三角函数的图像与性质.‎ ‎【分析】由条件利用诱导公式、二倍角公式化简函数的解析式为f(x)=sinωx,再根据y=Asin(ωx+φ)的周期等于,得出结论.‎ ‎【解答】解:由于函数f(x)=sin=sin•cos=sinωx的最小正周期为π,‎ 则=π,∴ω=2,‎ 故答案为:2.‎ ‎【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用,三角函数的周期性及其求法,利用了y=Asin(ωx+φ)的周期等于 T=,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎4.集合A=,则A∩B [0,1] .‎ ‎【考点】交集及其运算.‎ ‎【专题】集合.‎ ‎【分析】求出A中x的范围确定出A,求出B中x的范围确定出B,找出A与B的交集即可.‎ ‎【解答】解:由A中y=,得到1﹣x≥0,即x≤1,‎ ‎∴A=(﹣∞,1],‎ 由B中y2=4x,得到x=≥0,即B=[0,+∞),‎ 则A∩B=[0,1],‎ 故答案为:[0,1]‎ ‎【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎5.若0≤x≤π,则函数的单调递增区间为 [] .‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.‎ ‎【专题】三角函数的求值;三角函数的图像与性质.‎ ‎【分析】首先通过三角函数的恒等变换,把函数的关系式变性成正弦型函数,进一步利用整体思想求出函数的单调区间.‎ ‎【解答】解:‎ ‎=‎ ‎=,‎ 令:,‎ 解得:(k∈Z)‎ 由于:0≤x≤π,‎ 则:函数的单调递增区间为:[].‎ 故答案为:[].‎ ‎【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的单调区间的确定.主要考查学生的应用能力.‎ ‎ ‎ ‎6.如图,若∠OFB=, =﹣6,则以OA为长半轴,OB为短半轴,F为左焦点的椭圆的标准方程为 =1 .‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算.‎ ‎【专题】平面向量及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程.‎ ‎【分析】根据已知条件可设椭圆标准方程为,并且可得到a=,再根据即可得到,解出a,c,从而得到b2,从而得出椭圆的标准方程.‎ ‎【解答】解:根据已知条件知:c=,a=||,b=;‎ 又,;‎ ‎∴;‎ 解得a=,c=;‎ ‎∴b2=2;‎ ‎∴椭圆的标准方程为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】考查椭圆的标准方程,a,b,c的几何意义,直角三角形边角的关系,以及数量积的计算公式.‎ ‎ ‎ ‎7.函数f(x)=,若函数g(x)=x2+ax是偶函数,则f(a)= 1 .‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质.‎ ‎【专题】函数的性质及应用.‎ ‎【分析】根据g(x)为偶函数即可得到a=0,从而便求出f(a)=1.‎ ‎【解答】解:函数g(x)=x2+ax是偶函数;‎ ‎∴g(﹣x)=g(x);‎ ‎∴x2﹣ax=x2+ax;‎ ‎∴ax=0;‎ ‎∴a=0;‎ ‎∴f(a)=f(0)=1.‎ 故答案为:1.‎ ‎【点评】考查偶函数的定义,以及已知函数解析式求函数值的方法.‎ ‎ ‎ ‎8.一个圆锥与一个球的体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍,若圆锥的高为1,则球的表面积为 4π .‎ ‎【考点】球的体积和表面积.‎ ‎【专题】计算题;空间位置关系与距离.‎ ‎【分析】设出球的半径,求出球的体积,利用圆锥与球的体积相等,圆锥的高为1,求出球的半径,然后求出球的表面积.‎ ‎【解答】解:设球的半径为:r,则球的体积为:.‎ ‎∵圆锥与球的体积相等,圆锥的高为1,‎ ‎∴=,‎ ‎∴r=1,‎ ‎∴球的表面积为:4πr2=4π.‎ 故答案为:4π.‎ ‎【点评】本题考查圆锥与球的表面积与体积,考查计算能力,比较基础.‎ ‎ ‎ ‎9.已知直线l和曲线Γ的极坐标方程分别为ρ(sinθ﹣cosθ)=1和ρ=1,若l和Γ相交于两点A,B,则|AB|=  .‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程.‎ ‎【专题】坐标系和参数方程.‎ ‎【分析】把极坐标方程化为直角方程,求出圆心到直线的距离d,利用弦长公式|AB|=2,即可得出.‎ ‎【解答】解:直线l:ρ(sinθ﹣cosθ)=1化为y﹣x=1,‎ 曲线Γ:ρ=1,化为x2+y2=1,‎ ‎∴圆心到直线的距离d=,‎ ‎∴|AB|=2=2=.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角方程、点到直线的距离公式、弦长公式|AB|=2,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎10.如图,机车甲、乙分别停在A,B处,且AB=10km,甲的速度为4千米/小时,乙的速度是甲的,甲沿北偏东60°的方向移动,乙沿正北方向移动,若两者同时移动100分钟,则它们之间的距离为  千米.‎ ‎【考点】解三角形的实际应用.‎ ‎【专题】解三角形.‎ ‎【分析】由原题求出AD,BC,利用余弦定理求解即可.‎ ‎【解答】解:甲的速度为4千米/小时,移动100分钟,可得AD=千米.‎ 甲的速度为4千米/小时,乙的速度是甲的,乙沿正北方向移动,移动100分钟,‎ 可得BC=千米,AC=10﹣=千米.‎ ‎∠DAC=120°,‎ CD==.(千米).‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查三角形的解法,余弦定理的应用,考查计算能力.‎ ‎ ‎ ‎11.一个袋子中有7个除颜色外完全相同的小球,其中5个红色,2个黑色.从袋中随机地取出3个小球.其中取到黑球的个数为ξ,则Eξ=  (结果用最简分数作答).‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差.‎ ‎【专题】应用题;概率与统计.‎ ‎【分析】由题意,ξ~H(3,2,7),利用公式可求Eξ.‎ ‎【解答】解:由题意,ξ~H(3,2,7),‎ 所以Eξ==.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查超几何分布,考查学生的计算能力,正确运用超几何分布的期望公式是关键.‎ ‎ ‎ ‎12.若正方形ABCD的边长为1,且=,则|= 5 .‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算.‎ ‎【专题】平面向量及应用.‎ ‎【分析】可画出图形,而根据=进行数量积的计算即可求得答案.‎ ‎【解答】解:如图,‎ ‎==.‎ 故答案为:5.‎ ‎【点评】考查求向量长度的方法:||=,以及数量积的计算公式.‎ ‎ ‎ ‎13.已知复数z1,z2满足|z1|≤1,﹣1≤Rez2≤1,﹣1≤Imz2≤1,若z=z1+z2,则z在复平面上对应的点组成的图形的面积为 12+π .‎ ‎【考点】复数的代数表示法及其几何意义.‎ ‎【专题】数系的扩充和复数.‎ ‎【分析】由题意设出z1、z2,结合z=z1+z2得到z的轨迹(x﹣a)2+(y﹣b)2=1,由圆心变化得到z所对应点的图形,则面积可求.‎ ‎【解答】解:∵复数z1,z2满足|z1|≤1,﹣1≤Rez2≤1,﹣1≤Imz2≤1,‎ 则可设z1=cosθ+isinθ,z2=a+bi(﹣1≤a≤1,﹣1≤b≤1),‎ 由z=z1+z2,得z=(a+cosθ)+(b+sinθ)i,‎ 设z=x+yi,则,‎ ‎∴(x﹣a)2+(y﹣b)2=1.‎ 当a,b变化时,z点的轨迹如图:‎ 则z在复平面上对应的点组成的图形的面积为:‎ 图中内部边长为2的正方形面积+四个长为2宽为1的长方形面积+四个四分之一圆的面积.‎ 等于.‎ 故答案为:12+π.‎ ‎【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,考查数形结合的解题思想方法,关键是对题意的理解,属中档题.‎ ‎ ‎ ‎14.x∈R,用记号N(x)表示不小于实数的最小整数,例如N(2.5)=3,,N(1)=1;则函数的所有零点之和为 ﹣4 .‎ ‎【考点】函数的零点与方程根的关系.‎ ‎【专题】计算题;作图题;函数的性质及应用.‎ ‎【分析】作函数y=3x+1与函数y=2x﹣的图象,结合图象讨论以确定方程N(3x+1)=2x﹣的解,从而求函数的所有零点之和.‎ ‎【解答】解:作函数y=3x+1与函数y=2x﹣的图象如下,‎ ‎①当﹣4<3x+1≤﹣3时,N(3x+1)=﹣3,故2x﹣=﹣3,‎ 解得,x=﹣(舍去);‎ ‎②当﹣5<3x+1≤﹣4时,N(3x+1)=﹣4,故2x﹣=﹣4,‎ 解得,x=﹣;‎ ‎③当﹣6<3x+1≤﹣5时,N(3x+1)=﹣5,故2x﹣=﹣5,‎ 解得,x=﹣;‎ ‎④当﹣7<3x+1≤﹣6时,N(3x+1)=﹣6,故2x﹣=﹣6,‎ 解得,x=﹣(舍去);‎ 故函数的所有零点之和为 ‎﹣﹣=﹣4;‎ 故答案为:﹣4.‎ ‎【点评】本题考查了数形结合的应用及分类讨论的思想应用,属于中档题.‎ ‎ ‎ 二、选择题(共4题,每题5分,满分20分)‎ ‎15.a,b,c表示直线,α表示平面,下列命题正确的是(  )‎ A.若a∥b,a∥α,则b∥α B.若a⊥b,b⊥α,则a⊥α C.若a⊥c,b⊥c,则a∥b D.若a⊥α,b⊥α,则a∥b ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.‎ ‎【专题】综合题;空间位置关系与距离;推理和证明.‎ ‎【分析】利用线面平行的判定定理和性质定理即可判断出位置关系,判断A;利用线面垂直的性质定理判断B,D;‎ 若a⊥c,b⊥c,则a与b平行、相交、异面都有可能,可判断C.‎ ‎【解答】解:对于A,∵a∥b,∴a与b可以确定平面β.若β∥α,则b∥β;若α∩β=l,∵a∥平面α,∴a∥l.取l为b,则b⊂α,故A不正确;‎ 对于B,因为直线a⊥b,直线b⊥α,所以若a⊄α,则a∥α,或者a⊂α,故B不正确;‎ 对于C,若a⊥c,b⊥c,则a与b平行、相交、异面都有可能,故不正确;‎ 对于D,若a⊥α,b⊥α,利用线面垂直的性质定理可得a∥b,正确.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查的知识点是空间直线与直线之间的位置关系,直线与平面之间的位置关系,平面与平面之间的位置关系,熟练掌握空间线面之间的位置关系的定义,几何特征及判定方法是解答的关键.‎ ‎ ‎ ‎16.”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的(  )‎ A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【专题】简易逻辑.‎ ‎【分析】根据充分必要条件的定义,结合直线和抛物线的位置关系进行判断即可.‎ ‎【解答】解:”直线与抛物线相切”能推出“直线与抛物线只有一个公共点”,是充分条件,‎ 而“直线与抛物线只有一个公共点”推不出”直线与抛物线相切”,不是必要条件,‎ 如图示:‎ ‎,‎ 直线和抛物线的对称轴平行时只有1个交点,但不相切,‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查了充分必要条件,考查直线和抛物线的关系,是一道基础题.‎ ‎ ‎ ‎17.在的展开式中,若第五项的系数与第三项的系数之比为56:3,则展开式中的常数项是(  )‎ A.第2项 B.第3项 C.第4项 D.第5项 ‎【考点】二项式定理的应用.‎ ‎【专题】计算题;二项式定理.‎ ‎【分析】在展开式的通项中,令x=1得出第5项的系数与第3项的系数表达式,由已知,求出n,再在通项中令x得指数为0,确定常数项.‎ ‎【解答】解:展开式的通项为Tr+1=‎ 第5项的系数为•24,第3项的系数为•22,‎ 由已知,得出•24: •22=56:3,解得n=10‎ 令10﹣5r=0,可得r=2时,取到常数项,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查二项式定理的应用:求指定的项.牢记公式是基础,方程思想是关键.‎ ‎ ‎ ‎18.已知m,n,i,j均为正整数,记ai,j为矩阵中第i行、第j列的元素,且ai,j+1=ai,j+1,2ai+2,j=ai+1,j+ai,j(其中i≤n﹣2,j≤m﹣2);给出结论:①a5,6=;②a2,1+a2,2+…+a2,m=2m;③④若m为常数,则.其中正确的个数是(  )‎ A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 ‎【考点】进行简单的合情推理.‎ ‎【专题】综合题;推理和证明.‎ ‎【分析】利用条件确定an,m=+m,再进行验证,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:由题意,2ai+2,j=ai+1,j+ai,j,‎ 所以an,1﹣an﹣1,1=,‎ 所以利用叠加法可得an,1=+1,‎ 因为ai,j+1=ai,j+1,所以an,m=+m 所以:①a5,6=,故不正确;‎ ‎②a2,1+a2,2+…+a2,m=2+3+4+…+m+1=,故不正确;‎ ‎③由an,m=+m,可得,故不正确;‎ ‎④若m为常数,利用极限可得,正确.‎ 故选:B ‎【点评】本题考查新定义,考查数列知识的运用,确定an,m=+m是关键.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共5题,写出必要的文字说明与步骤)‎ ‎19.已知函数f(x)=cos2x,g(x)=sinxcosx.‎ ‎(1)若直线x=a是函数y=f(x)的图象的一条对称轴,求g(2a)的值;‎ ‎(2)若0≤x≤,求h(x)=f(x)+g(x)的值域.‎ ‎【考点】三角函数的最值.‎ ‎【专题】三角函数的求值.‎ ‎【分析】(1)利用二倍角公式化简函数的表达式,通过直线x=a是函数y=f(x)的图象的一条对称轴,求出a,然后求g(2a)的值;‎ ‎(2)化简h(x)=f(x)+g(x)为正弦函数类型,利用角的范围求出相位的范围,然后去函数值域.‎ ‎【解答】解:(1),‎ 其对称轴为,‎ 因为直线线x=a是函数y=f(x)的图象的一条对称轴,‎ 所以,‎ 又因为,所以 即.‎ ‎(2)由(1)得 ‎=‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ 所以h(x)的值域为.‎ ‎【点评】本题考查三角函数的化简求值,对称性的应用,三角函数的最值求法,考查计算能力.‎ ‎ ‎ ‎20.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点.‎ ‎(1)求直线BE与平面ABB1A1所成角的大小(结果用反三角函数表示)‎ ‎(2)在棱C1D1上是否存在一点F,使得BF1∥平面A1BE,若存在,指明点F的位置,若不存在,请说明理由.‎ ‎【考点】直线与平面平行的性质;直线与平面所成的角.‎ ‎【专题】证明题;空间位置关系与距离.‎ ‎【分析】(1)先取AA1的中点M,连接EM,BM,根据中位线定理可知EM∥AD,而AD⊥平面ABB1A1,则EM⊥面ABB1A1,从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影,则∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角,设正方体的棱长为2,则EM=AD=2,BE=3,BM=,于是在Rt△BEM中,用反正切表示出∠MBE即可.‎ ‎(2)在棱C1D1上存在点F,使B1F平面A1BE,分别取C1D1和CD的中点F,G,连接EG,BG,CD1,FG,因A1D1∥B1C1∥BC,且A1D1=BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形,根据中位线定理可知EG∥A1B,从而说明A1,B,G,E共面,则BG⊂面A1BE,根据FG∥C1C∥B1G,且FG=C1C=B1B,从而得到四边形B1BGF为平行四边形,则B1F∥BG,而B1F⊄平面A1BE,BG⊂平面A1BE,根据线面平行的判定定理可知B1F∥平面A1BE.‎ ‎【解答】解:(1)如图(a),取AA1的中点M,连接EM,BM,因为E是DD1的中点,四边形ADD1A1为正方形,所以EM∥AD.‎ 又在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中.AD⊥平面ABB1A1,所以EM⊥面ABB1A1,从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影,‎ ‎∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角.‎ 设正方体的棱长为2,则EM=AD=2,BE==3,BM==‎ 于是在Rt△BEM中,tan∠EBM==,‎ 即直线BE与平面ABB1A1所成的角是.‎ ‎(2)在棱C1D1上存在点F,使B1F平面A1BE,‎ 事实上,如图(b)所示,分别取C1D1和CD的中点F,G,连接EG,BG,CD1,FG,‎ 因A1D1∥B1C1∥BC,且A1D1=BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形,‎ 因此D1C∥A1B,又E,G分别为D1D,CD的中点,所以EG∥D1C,从而EG∥A1B,这说明A1,B,G,E共面,所以BG⊂平面A1BE 因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形,F,G分别为C1D1和CD的中点,所以FG∥C1C∥B1B,且FG=C1C=B1B,因此四边形B1BGF为平行四边形,所以B1F∥BG,而B1F⊄平面A1BE,BG⊂平面A1BE,故B1F∥平面A1BE.‎ ‎【点评】本题考查直线与平面所成的角,直线与平面平行,考查考生探究能力、空间想象能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎21.已知函数f(x)=2x的反函数为f﹣1(x)‎ ‎(1)若f﹣1(x)﹣f﹣1(1﹣x)=1,求实数x的值;‎ ‎(2)若关于x的方程f(x)+f(1﹣x)﹣m=0在区间[0,2]内有解,求实数m的取值范围.‎ ‎【考点】反函数;根的存在性及根的个数判断.‎ ‎【专题】函数的性质及应用.‎ ‎【分析】(1)易得f﹣1(x)=log2x,解关于x的对数方程可得;‎ ‎(2)易得m的范围即为函数y=2x+21﹣x在[0,2]的值域,由“对勾函数”的单调性可得.‎ ‎【解答】解:(1)f(x)=2x的反函数为f﹣1(x)=log2x,‎ 由若f﹣1(x)﹣f﹣1(1﹣x)=1可得log2x﹣log2(1﹣x)=1,‎ ‎∴log2=1,∴ =2,解得x=;‎ ‎(2)∵关于x的方程f(x)+f(1﹣x)﹣m=0在区间[0,2]内有解,‎ ‎∴2x+21﹣x=m在区间[0,2]内有解,‎ ‎∴m的范围即为函数y=2x+21﹣x在[0,2]的值域,‎ 函数y=2x+21﹣x=2x+在(0,)单调递减,在(,2)单调递增,‎ ‎∴当x=时,函数取最小值2,‎ 当x=2时,函数取最大值,‎ ‎∴实数m的取值范围为.‎ ‎【点评】本题考查反函数,涉及函数的值域和对数函数的性质,属基础题.‎ ‎ ‎ ‎22.如图,射线OA,OB所在的直线的方向向量分别为,,点P在∠AOB内,PM⊥OA于M,PN⊥OB于N;‎ ‎(1)若k=1,,求|OM|的值;‎ ‎(2)若P(2,1),△OMP的面积为,求k的值;‎ ‎(3)已知k为常数,M,N的中点为T,且S△MON=,当P变化时,求动点T轨迹方程.‎ ‎【考点】轨迹方程;直线的一般式方程.‎ ‎【专题】综合题;直线与圆.‎ ‎【分析】(1)求出|OP|,点P到直线的距离,利用勾股定理,求|OM|的值;‎ ‎(2)直线OA的方程为kx﹣y=0,求出P(2,1)到直线的距离,利用勾股定理求出|OM|,利用△OMP的面积为,求k的值;‎ ‎(3)设直线OA的倾斜角为α,求出|OM|,|ON|,利用S△MON=,可得P变化时,动点T轨迹方程.‎ ‎【解答】解:(1)因为,所以|OP|=,‎ 因为OA的方程为y=x,即x﹣y=0,点P到直线的距离为=,‎ 所以|OM|==;‎ ‎(2)直线OA的方程为kx﹣y=0,P(2,1)到直线的距离为d=,‎ 所以|OM|=,‎ 所以△OMP的面积为××=,‎ 所以;‎ ‎(3)设M(x1,kx1),N(x2,﹣kx2),T(x,y),x1>0,x2>0,k>0,‎ 设直线OA的倾斜角为α,则,‎ 根据题意得 代入 化简得动点T轨迹方程为.‎ ‎【点评】本题考查三角形面积的计算,考查轨迹方程,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎23.已知数列{an}的前n项和为Sn,且an>0,‎ ‎(1)若bn=1+log2(Sn•an),求数列{bn}的前n项和Tn;‎ ‎(2)若0<θn<,2n•an=tanθn,求证:数列{θn}为等比数列,并求出其通项公式;‎ ‎(3)记|,若对任意的n∈N*,cn≥m恒成立,求实数m的最大值.‎ ‎【考点】数列与不等式的综合;等比关系的确定;数列的求和;数列与函数的综合.‎ ‎【专题】等差数列与等比数列.‎ ‎【分析】(1)直接利用已知条件以及对数的运算法则,直接求出通项公式.然后求解前n项和.‎ ‎(2)化简2n•an=tanθn,通过an=Sn﹣Sn﹣1求出an,得到θn的函数关系式,然后证明数列{θn}为等比数列,求出其通项公式;‎ ‎(3)化简|,利用函数的最值,求解实数m的最大值.‎ ‎【解答】解:(1)∵,∴bn=1+log2(Sn•an)=1+log2=1﹣2n,‎ ‎,‎ Tn==﹣n2‎ ‎(2)由,‎ 代入,‎ 得,当n≥2时,,‎ 因为,代入上式整理得tanθn﹣1=tan(2θn),,‎ 所以的常数.‎ 当n=1时,,∵,‎ 所以数列{θn}是等比数列,首项为,公比为,其通项公式为.‎ ‎(3)由(2)得,它是个单调递减的数列,‎ 所以,‎ 对任意的n∈N*,cn≥m恒成立,所以m≤(cn)min.‎ 由知,cn+1≥cn,‎ 所以数列{cn}是单调递增的,cn最小值为c1=0,m≤(cn)min=0,‎ 因此,实数m的取值范围是(﹣∞,0],m的最大值为0.‎ ‎【点评】本题考查数列与函数的综合应用,数列求和,等比数列的判断,考查分析问题解决问题的能力.‎ ‎ ‎
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