上海市普陀区高考数学二模试卷理科

上海市普陀区高考数学二模试卷理科

‎2015年上海市普陀区高考数学二模试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、填空题（共14题，每题4分，满分56分）‎ ‎1．不等式的解为　　　　　　．‎ ‎2．若（i为虚数单位），则实数m=　　　　　　．‎ ‎3．若函数f（x）=sin的最小正周期为π，则ω=　　　　　　．‎ ‎4．集合A=，则A∩B　　　　　　．‎ ‎5．若0≤x≤π，则函数的单调递增区间为　　　　　　．‎ ‎6．如图，若∠OFB=， =﹣6，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为左焦点的椭圆的标准方程为　　　　　　．‎ ‎7．函数f（x）=，若函数g（x）=x2+ax是偶函数，则f（a）=　　　　　　．‎ ‎8．一个圆锥与一个球的体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍，若圆锥的高为1，则球的表面积为　　　　　　．‎ ‎9．已知直线l和曲线Γ的极坐标方程分别为ρ（sinθ﹣cosθ）=1和ρ=1，若l和Γ相交于两点A，B，则|AB|=　　　　　　．‎ ‎10．如图，机车甲、乙分别停在A，B处，且AB=10km，甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的，甲沿北偏东60°的方向移动，乙沿正北方向移动，若两者同时移动100分钟，则它们之间的距离为　　　　　　千米．‎ ‎11．一个袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中5个红色，2个黑色．从袋中随机地取出3个小球．其中取到黑球的个数为ξ，则Eξ=　　　　　　（结果用最简分数作答）．‎ ‎12．若正方形ABCD的边长为1，且=，则|=　　　　　　．‎ ‎13．已知复数z1，z2满足|z1|≤1，﹣1≤Rez2≤1，﹣1≤Imz2≤1，若z=z1+z2，则z在复平面上对应的点组成的图形的面积为　　　　　　．‎ ‎14．x∈R，用记号N（x）表示不小于实数的最小整数，例如N（2.5）=3，，N（1）=1；则函数的所有零点之和为　　　　　　．‎ ‎　‎ 二、选择题（共4题，每题5分，满分20分）‎ ‎15．a，b，c表示直线，α表示平面，下列命题正确的是（　　）‎ A．若a∥b，a∥α，则b∥α B．若a⊥b，b⊥α，则a⊥α C．若a⊥c，b⊥c，则a∥b D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b ‎16．”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 ‎17．在的展开式中，若第五项的系数与第三项的系数之比为56：3，则展开式中的常数项是（　　）‎ A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项 ‎18．已知m，n，i，j均为正整数，记ai，j为矩阵中第i行、第j列的元素，且ai，j+1=ai，j+1，2ai+2，j=ai+1，j+ai，j ‎（其中i≤n﹣2，j≤m﹣2）；给出结论：①a5，6=；②a2，1+a2，2+…+a2，m=2m；③④若m为常数，则．其中正确的个数是（　　）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎　‎ 三、解答题（本大题共5题，写出必要的文字说明与步骤）‎ ‎19．已知函数f（x）=cos2x，g（x）=sinxcosx．‎ ‎（1）若直线x=a是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，求g（2a）的值；‎ ‎（2）若0≤x≤，求h（x）=f（x）+g（x）的值域．‎ ‎20．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．‎ ‎（1）求直线BE与平面ABB1A1所成角的大小（结果用反三角函数表示）‎ ‎（2）在棱C1D1上是否存在一点F，使得BF1∥平面A1BE，若存在，指明点F的位置，若不存在，请说明理由．‎ ‎21．已知函数f（x）=2x的反函数为f﹣1（x）‎ ‎（1）若f﹣1（x）﹣f﹣1（1﹣x）=1，求实数x的值；‎ ‎（2）若关于x的方程f（x）+f（1﹣x）﹣m=0在区间[0，2]内有解，求实数m的取值范围．‎ ‎22．如图，射线OA，OB所在的直线的方向向量分别为，，点P在∠AOB内，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N；‎ ‎（1）若k=1，，求|OM|的值；‎ ‎（2）若P（2，1），△OMP的面积为，求k的值；‎ ‎（3）已知k为常数，M，N的中点为T，且S△MON=，当P变化时，求动点T轨迹方程．‎ ‎23．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＞0，‎ ‎（1）若bn=1+log2（Sn•an），求数列{bn}的前n项和Tn；‎ ‎（2）若0＜θn＜，2n•an=tanθn，求证：数列{θn}为等比数列，并求出其通项公式；‎ ‎（3）记|，若对任意的n∈N*，cn≥m恒成立，求实数m的最大值．‎ ‎　‎ ‎2015年上海市普陀区高考数学二模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（共14题，每题4分，满分56分）‎ ‎1．不等式的解为　{x|0＜x＜1}　．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】利用两个数的商是正数等价于两个数同号；将已知的分式不等式转化为整式不等式组，求出解集．‎ ‎【解答】解：同解于 x（x﹣1）＜0‎ 所以不等式的解集为{x|0＜x＜1}‎ 故答案为{x|0＜x＜1}‎ ‎【点评】本题考查解分式不等式时，利用等价变形转化为整式不等式解．‎ ‎　‎ ‎2．若（i为虚数单位），则实数m=　﹣1　．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【专题】数系的扩充和复数．‎ ‎【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件列式求得m值．‎ ‎【解答】解：由，得 ‎，‎ 即，m=﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．‎ ‎　‎ ‎3．若函数f（x）=sin的最小正周期为π，则ω=　2　．‎ ‎【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．‎ ‎【专题】三角函数的图像与性质．‎ ‎【分析】由条件利用诱导公式、二倍角公式化简函数的解析式为f（x）=sinωx，再根据y=Asin（ωx+φ）的周期等于，得出结论．‎ ‎【解答】解：由于函数f（x）=sin=sin•cos=sinωx的最小正周期为π，‎ 则=π，∴ω=2，‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，三角函数的周期性及其求法，利用了y=Asin（ωx+φ）的周期等于 T=，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．集合A=，则A∩B　[0，1]　．‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【专题】集合．‎ ‎【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．‎ ‎【解答】解：由A中y=，得到1﹣x≥0，即x≤1，‎ ‎∴A=（﹣∞，1]，‎ 由B中y2=4x，得到x=≥0，即B=[0，+∞），‎ 则A∩B=[0，1]，‎ 故答案为：[0，1]‎ ‎【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．若0≤x≤π，则函数的单调递增区间为　[]　．‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．‎ ‎【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质．‎ ‎【分析】首先通过三角函数的恒等变换，把函数的关系式变性成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的单调区间．‎ ‎【解答】解：‎ ‎=‎ ‎=，‎ 令：，‎ 解得：（k∈Z）‎ 由于：0≤x≤π，‎ 则：函数的单调递增区间为：[]．‎ 故答案为：[]．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的单调区间的确定．主要考查学生的应用能力．‎ ‎　‎ ‎6．如图，若∠OFB=， =﹣6，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为左焦点的椭圆的标准方程为　=1　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【专题】平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】根据已知条件可设椭圆标准方程为，并且可得到a=，再根据即可得到，解出a，c，从而得到b2，从而得出椭圆的标准方程．‎ ‎【解答】解：根据已知条件知：c=，a=||，b=；‎ 又，；‎ ‎∴；‎ 解得a=，c=；‎ ‎∴b2=2；‎ ‎∴椭圆的标准方程为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】考查椭圆的标准方程，a，b，c的几何意义，直角三角形边角的关系，以及数量积的计算公式．‎ ‎　‎ ‎7．函数f（x）=，若函数g（x）=x2+ax是偶函数，则f（a）=　1　．‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】根据g（x）为偶函数即可得到a=0，从而便求出f（a）=1．‎ ‎【解答】解：函数g（x）=x2+ax是偶函数；‎ ‎∴g（﹣x）=g（x）；‎ ‎∴x2﹣ax=x2+ax；‎ ‎∴ax=0；‎ ‎∴a=0；‎ ‎∴f（a）=f（0）=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】考查偶函数的定义，以及已知函数解析式求函数值的方法．‎ ‎　‎ ‎8．一个圆锥与一个球的体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍，若圆锥的高为1，则球的表面积为　4π　．‎ ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【专题】计算题；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】设出球的半径，求出球的体积，利用圆锥与球的体积相等，圆锥的高为1，求出球的半径，然后求出球的表面积．‎ ‎【解答】解：设球的半径为：r，则球的体积为：．‎ ‎∵圆锥与球的体积相等，圆锥的高为1，‎ ‎∴=，‎ ‎∴r=1，‎ ‎∴球的表面积为：4πr2=4π．‎ 故答案为：4π．‎ ‎【点评】本题考查圆锥与球的表面积与体积，考查计算能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎9．已知直线l和曲线Γ的极坐标方程分别为ρ（sinθ﹣cosθ）=1和ρ=1，若l和Γ相交于两点A，B，则|AB|=　　．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【专题】坐标系和参数方程．‎ ‎【分析】把极坐标方程化为直角方程，求出圆心到直线的距离d，利用弦长公式|AB|=2，即可得出．‎ ‎【解答】解：直线l：ρ（sinθ﹣cosθ）=1化为y﹣x=1，‎ 曲线Γ：ρ=1，化为x2+y2=1，‎ ‎∴圆心到直线的距离d=，‎ ‎∴|AB|=2=2=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角方程、点到直线的距离公式、弦长公式|AB|=2，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．如图，机车甲、乙分别停在A，B处，且AB=10km，甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的，甲沿北偏东60°的方向移动，乙沿正北方向移动，若两者同时移动100分钟，则它们之间的距离为　　千米．‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【专题】解三角形．‎ ‎【分析】由原题求出AD，BC，利用余弦定理求解即可．‎ ‎【解答】解：甲的速度为4千米/小时，移动100分钟，可得AD=千米．‎ 甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的，乙沿正北方向移动，移动100分钟，‎ 可得BC=千米，AC=10﹣=千米．‎ ‎∠DAC=120°，‎ CD==．（千米）．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎11．一个袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中5个红色，2个黑色．从袋中随机地取出3个小球．其中取到黑球的个数为ξ，则Eξ=　　（结果用最简分数作答）．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差．‎ ‎【专题】应用题；概率与统计．‎ ‎【分析】由题意，ξ～H（3，2，7），利用公式可求Eξ．‎ ‎【解答】解：由题意，ξ～H（3，2，7），‎ 所以Eξ==．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查超几何分布，考查学生的计算能力，正确运用超几何分布的期望公式是关键．‎ ‎　‎ ‎12．若正方形ABCD的边长为1，且=，则|=　5　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【专题】平面向量及应用．‎ ‎【分析】可画出图形，而根据=进行数量积的计算即可求得答案．‎ ‎【解答】解：如图，‎ ‎==．‎ 故答案为：5．‎ ‎【点评】考查求向量长度的方法：||=，以及数量积的计算公式．‎ ‎　‎ ‎13．已知复数z1，z2满足|z1|≤1，﹣1≤Rez2≤1，﹣1≤Imz2≤1，若z=z1+z2，则z在复平面上对应的点组成的图形的面积为　12+π　．‎ ‎【考点】复数的代数表示法及其几何意义．‎ ‎【专题】数系的扩充和复数．‎ ‎【分析】由题意设出z1、z2，结合z=z1+z2得到z的轨迹（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，由圆心变化得到z所对应点的图形，则面积可求．‎ ‎【解答】解：∵复数z1，z2满足|z1|≤1，﹣1≤Rez2≤1，﹣1≤Imz2≤1，‎ 则可设z1=cosθ+isinθ，z2=a+bi（﹣1≤a≤1，﹣1≤b≤1），‎ 由z=z1+z2，得z=（a+cosθ）+（b+sinθ）i，‎ 设z=x+yi，则，‎ ‎∴（x﹣a）2+（y﹣b）2=1．‎ 当a，b变化时，z点的轨迹如图：‎ 则z在复平面上对应的点组成的图形的面积为：‎ 图中内部边长为2的正方形面积+四个长为2宽为1的长方形面积+四个四分之一圆的面积．‎ 等于．‎ 故答案为：12+π．‎ ‎【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查数形结合的解题思想方法，关键是对题意的理解，属中档题．‎ ‎　‎ ‎14．x∈R，用记号N（x）表示不小于实数的最小整数，例如N（2.5）=3，，N（1）=1；则函数的所有零点之和为　﹣4　．‎ ‎【考点】函数的零点与方程根的关系．‎ ‎【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】作函数y=3x+1与函数y=2x﹣的图象，结合图象讨论以确定方程N（3x+1）=2x﹣的解，从而求函数的所有零点之和．‎ ‎【解答】解：作函数y=3x+1与函数y=2x﹣的图象如下，‎ ‎①当﹣4＜3x+1≤﹣3时，N（3x+1）=﹣3，故2x﹣=﹣3，‎ 解得，x=﹣（舍去）；‎ ‎②当﹣5＜3x+1≤﹣4时，N（3x+1）=﹣4，故2x﹣=﹣4，‎ 解得，x=﹣；‎ ‎③当﹣6＜3x+1≤﹣5时，N（3x+1）=﹣5，故2x﹣=﹣5，‎ 解得，x=﹣；‎ ‎④当﹣7＜3x+1≤﹣6时，N（3x+1）=﹣6，故2x﹣=﹣6，‎ 解得，x=﹣（舍去）；‎ 故函数的所有零点之和为 ‎﹣﹣=﹣4；‎ 故答案为：﹣4．‎ ‎【点评】本题考查了数形结合的应用及分类讨论的思想应用，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、选择题（共4题，每题5分，满分20分）‎ ‎15．a，b，c表示直线，α表示平面，下列命题正确的是（　　）‎ A．若a∥b，a∥α，则b∥α B．若a⊥b，b⊥α，则a⊥α C．若a⊥c，b⊥c，则a∥b D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【专题】综合题；空间位置关系与距离；推理和证明．‎ ‎【分析】利用线面平行的判定定理和性质定理即可判断出位置关系，判断A；利用线面垂直的性质定理判断B，D；‎ 若a⊥c，b⊥c，则a与b平行、相交、异面都有可能，可判断C．‎ ‎【解答】解：对于A，∵a∥b，∴a与b可以确定平面β．若β∥α，则b∥β；若α∩β=l，∵a∥平面α，∴a∥l．取l为b，则b⊂α，故A不正确；‎ 对于B，因为直线a⊥b，直线b⊥α，所以若a⊄α，则a∥α，或者a⊂α，故B不正确；‎ 对于C，若a⊥c，b⊥c，则a与b平行、相交、异面都有可能，故不正确；‎ 对于D，若a⊥α，b⊥α，利用线面垂直的性质定理可得a∥b，正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是空间直线与直线之间的位置关系，直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面之间的位置关系的定义，几何特征及判定方法是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎16．”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【专题】简易逻辑．‎ ‎【分析】根据充分必要条件的定义，结合直线和抛物线的位置关系进行判断即可．‎ ‎【解答】解：”直线与抛物线相切”能推出“直线与抛物线只有一个公共点”，是充分条件，‎ 而“直线与抛物线只有一个公共点”推不出”直线与抛物线相切”，不是必要条件，‎ 如图示：‎ ‎，‎ 直线和抛物线的对称轴平行时只有1个交点，但不相切，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了充分必要条件，考查直线和抛物线的关系，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎17．在的展开式中，若第五项的系数与第三项的系数之比为56：3，则展开式中的常数项是（　　）‎ A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项 ‎【考点】二项式定理的应用．‎ ‎【专题】计算题；二项式定理．‎ ‎【分析】在展开式的通项中，令x=1得出第5项的系数与第3项的系数表达式，由已知，求出n，再在通项中令x得指数为0，确定常数项．‎ ‎【解答】解：展开式的通项为Tr+1=‎ 第5项的系数为•24，第3项的系数为•22，‎ 由已知，得出•24： •22=56：3，解得n=10‎ 令10﹣5r=0，可得r=2时，取到常数项，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查二项式定理的应用：求指定的项．牢记公式是基础，方程思想是关键．‎ ‎　‎ ‎18．已知m，n，i，j均为正整数，记ai，j为矩阵中第i行、第j列的元素，且ai，j+1=ai，j+1，2ai+2，j=ai+1，j+ai，j（其中i≤n﹣2，j≤m﹣2）；给出结论：①a5，6=；②a2，1+a2，2+…+a2，m=2m；③④若m为常数，则．其中正确的个数是（　　）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【考点】进行简单的合情推理．‎ ‎【专题】综合题；推理和证明．‎ ‎【分析】利用条件确定an，m=+m，再进行验证，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，2ai+2，j=ai+1，j+ai，j，‎ 所以an，1﹣an﹣1，1=，‎ 所以利用叠加法可得an，1=+1，‎ 因为ai，j+1=ai，j+1，所以an，m=+m 所以：①a5，6=，故不正确；‎ ‎②a2，1+a2，2+…+a2，m=2+3+4+…+m+1=，故不正确；‎ ‎③由an，m=+m，可得，故不正确；‎ ‎④若m为常数，利用极限可得，正确．‎ 故选：B ‎【点评】本题考查新定义，考查数列知识的运用，确定an，m=+m是关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5题，写出必要的文字说明与步骤）‎ ‎19．已知函数f（x）=cos2x，g（x）=sinxcosx．‎ ‎（1）若直线x=a是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，求g（2a）的值；‎ ‎（2）若0≤x≤，求h（x）=f（x）+g（x）的值域．‎ ‎【考点】三角函数的最值．‎ ‎【专题】三角函数的求值．‎ ‎【分析】（1）利用二倍角公式化简函数的表达式，通过直线x=a是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，求出a，然后求g（2a）的值；‎ ‎（2）化简h（x）=f（x）+g（x）为正弦函数类型，利用角的范围求出相位的范围，然后去函数值域．‎ ‎【解答】解：（1），‎ 其对称轴为，‎ 因为直线线x=a是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，‎ 所以，‎ 又因为，所以 即．‎ ‎（2）由（1）得 ‎=‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 所以h（x）的值域为．‎ ‎【点评】本题考查三角函数的化简求值，对称性的应用，三角函数的最值求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎20．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．‎ ‎（1）求直线BE与平面ABB1A1所成角的大小（结果用反三角函数表示）‎ ‎（2）在棱C1D1上是否存在一点F，使得BF1∥平面A1BE，若存在，指明点F的位置，若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】直线与平面平行的性质；直线与平面所成的角．‎ ‎【专题】证明题；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】（1）先取AA1的中点M，连接EM，BM，根据中位线定理可知EM∥AD，而AD⊥平面ABB1A1，则EM⊥面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，则∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角，设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=3，BM=，于是在Rt△BEM中，用反正切表示出∠MBE即可．‎ ‎（2）在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，根据中位线定理可知EG∥A1B，从而说明A1，B，G，E共面，则BG⊂面A1BE，根据FG∥C1C∥B1G，且FG=C1C=B1B，从而得到四边形B1BGF为平行四边形，则B1F∥BG，而B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，根据线面平行的判定定理可知B1F∥平面A1BE．‎ ‎【解答】解：（1）如图（a），取AA1的中点M，连接EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD．‎ 又在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，‎ ‎∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角．‎ 设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE==3，BM==‎ 于是在Rt△BEM中，tan∠EBM==，‎ 即直线BE与平面ABB1A1所成的角是．‎ ‎（2）在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE，‎ 事实上，如图（b）所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，‎ 因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，‎ 因此D1C∥A1B，又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B，这说明A1，B，G，E共面，所以BG⊂平面A1BE 因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG∥C1C∥B1B，且FG=C1C=B1B，因此四边形B1BGF为平行四边形，所以B1F∥BG，而B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，故B1F∥平面A1BE．‎ ‎【点评】本题考查直线与平面所成的角，直线与平面平行，考查考生探究能力、空间想象能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=2x的反函数为f﹣1（x）‎ ‎（1）若f﹣1（x）﹣f﹣1（1﹣x）=1，求实数x的值；‎ ‎（2）若关于x的方程f（x）+f（1﹣x）﹣m=0在区间[0，2]内有解，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】反函数；根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】（1）易得f﹣1（x）=log2x，解关于x的对数方程可得；‎ ‎（2）易得m的范围即为函数y=2x+21﹣x在[0，2]的值域，由“对勾函数”的单调性可得．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）=2x的反函数为f﹣1（x）=log2x，‎ 由若f﹣1（x）﹣f﹣1（1﹣x）=1可得log2x﹣log2（1﹣x）=1，‎ ‎∴log2=1，∴ =2，解得x=；‎ ‎（2）∵关于x的方程f（x）+f（1﹣x）﹣m=0在区间[0，2]内有解，‎ ‎∴2x+21﹣x=m在区间[0，2]内有解，‎ ‎∴m的范围即为函数y=2x+21﹣x在[0，2]的值域，‎ 函数y=2x+21﹣x=2x+在（0，）单调递减，在（，2）单调递增，‎ ‎∴当x=时，函数取最小值2，‎ 当x=2时，函数取最大值，‎ ‎∴实数m的取值范围为．‎ ‎【点评】本题考查反函数，涉及函数的值域和对数函数的性质，属基础题．‎ ‎　‎ ‎22．如图，射线OA，OB所在的直线的方向向量分别为，，点P在∠AOB内，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N；‎ ‎（1）若k=1，，求|OM|的值；‎ ‎（2）若P（2，1），△OMP的面积为，求k的值；‎ ‎（3）已知k为常数，M，N的中点为T，且S△MON=，当P变化时，求动点T轨迹方程．‎ ‎【考点】轨迹方程；直线的一般式方程．‎ ‎【专题】综合题；直线与圆．‎ ‎【分析】（1）求出|OP|，点P到直线的距离，利用勾股定理，求|OM|的值；‎ ‎（2）直线OA的方程为kx﹣y=0，求出P（2，1）到直线的距离，利用勾股定理求出|OM|，利用△OMP的面积为，求k的值；‎ ‎（3）设直线OA的倾斜角为α，求出|OM|，|ON|，利用S△MON=，可得P变化时，动点T轨迹方程．‎ ‎【解答】解：（1）因为，所以|OP|=，‎ 因为OA的方程为y=x，即x﹣y=0，点P到直线的距离为=，‎ 所以|OM|==；‎ ‎（2）直线OA的方程为kx﹣y=0，P（2，1）到直线的距离为d=，‎ 所以|OM|=，‎ 所以△OMP的面积为××=，‎ 所以；‎ ‎（3）设M（x1，kx1），N（x2，﹣kx2），T（x，y），x1＞0，x2＞0，k＞0，‎ 设直线OA的倾斜角为α，则，‎ 根据题意得 代入 化简得动点T轨迹方程为．‎ ‎【点评】本题考查三角形面积的计算，考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎23．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＞0，‎ ‎（1）若bn=1+log2（Sn•an），求数列{bn}的前n项和Tn；‎ ‎（2）若0＜θn＜，2n•an=tanθn，求证：数列{θn}为等比数列，并求出其通项公式；‎ ‎（3）记|，若对任意的n∈N*，cn≥m恒成立，求实数m的最大值．‎ ‎【考点】数列与不等式的综合；等比关系的确定；数列的求和；数列与函数的综合．‎ ‎【专题】等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】（1）直接利用已知条件以及对数的运算法则，直接求出通项公式．然后求解前n项和．‎ ‎（2）化简2n•an=tanθn，通过an=Sn﹣Sn﹣1求出an，得到θn的函数关系式，然后证明数列{θn}为等比数列，求出其通项公式；‎ ‎（3）化简|，利用函数的最值，求解实数m的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）∵，∴bn=1+log2（Sn•an）=1+log2=1﹣2n，‎ ‎，‎ Tn==﹣n2‎ ‎（2）由，‎ 代入，‎ 得，当n≥2时，，‎ 因为，代入上式整理得tanθn﹣1=tan（2θn），，‎ 所以的常数．‎ 当n=1时，，∵，‎ 所以数列{θn}是等比数列，首项为，公比为，其通项公式为．‎ ‎（3）由（2）得，它是个单调递减的数列，‎ 所以，‎ 对任意的n∈N*，cn≥m恒成立，所以m≤（cn）min．‎ 由知，cn+1≥cn，‎ 所以数列{cn}是单调递增的，cn最小值为c1=0，m≤（cn）min=0，‎ 因此，实数m的取值范围是（﹣∞，0]，m的最大值为0．‎ ‎【点评】本题考查数列与函数的综合应用，数列求和，等比数列的判断，考查分析问题解决问题的能力．‎ ‎　‎