高考文科数学立体几何的综合测试

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高考文科数学立体几何的综合测试

‎2011年高考文科数学立体几何的综合测试题及参考答案 ‎1.、是不同的直线,、、是不同的平面,有以下四个命题: ‎ ‎① 若,,则; ② 若,,则;‎ ‎③ 若,,则;④ 若,,则.‎ 其中真命题的序号是A.① ③ B.① ④ C.② ③ D.② ④‎ ‎2.如图,模块①-⑤均由个棱长为的小正方体构成,模块⑥由个棱长为的小正方体构成.现从模块①-⑤中选出三个放到模块⑥上,使得模块⑥成为一个棱长为的大正方体.则下列选择方案中,能够完成任务的为 ( )‎ A 模块①,②,⑤ B 模块①,③,⑤ C模块②,④,⑥ D 模块③,④,⑤‎ ‎3.某几何体的三视图如图所示,当取最大值时,这个几何体的体积为 ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ A B     C D ‎ ‎4.已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成,根据图中标出的尺寸(单位:),可得这个几何体的体积是 ‎ A B C D 2‎ ‎5. 已知不同的直线,不同的平面,,,则下列条件中是的充分条件的是 A.,, B.,‎ ‎ C.,, D.,,‎ ‎6.已知某个几何体的三视图 如下,根据图中标出的尺 寸(单位:),可得这 个几何体的体积是______。‎ ‎7.一几何体的三视图如右,‎ 则它的体积为 .‎ ‎8.在空间中,有如下命题:‎ ‎① 两条平行直线在同一平面内的射影是互相平行的两条直线;‎ ‎② 若平面内任意一条直线∥平面,则;‎ ‎③ 若平面与平面的交线为,,,则;‎ ‎④ 若点到的三个顶点的距离相等,则点平面上的射影是三角形的外心;‎ ‎⑤ 若平面内的直线垂直于平面,那么⊥;‎ 其中正确的命题为 ______________。(填上所有正确命题的序号)‎ ‎9.如图,正的中线与中位线相交于,已知是绕旋转过程中的一个图形,现给出下列四个命题:‎ ‎① 动点在平面上的射影在线段上; ‎ ‎② 恒有平面平面;‎ ‎③ 三棱锥的体积有最大值;‎ ‎④ 异面直线与不可能垂直.其中正确的命题的序号是 .‎ ‎10.设、、表示三条直线,、表示两个平面,则下列命题的逆命题是假命题的是 A ,若,则 B ,,若,则 C ,若,则 D ,是在内的射影,若,则 ‎11.如图,正四棱柱的侧棱长为,底面边长为,是棱的中点。‎ ‎(1)求证:平面;(2)求三棱锥的体积.‎ ‎12.如图,三棱柱的所有棱长都相等,且底面,‎ 为的中点,与相交于点,连结,‎ (1) 求证:平面;(2)求证:平面。‎ ‎13.如图所示,四边形为矩形,平面,为上的点,,为上的点,且平面 ‎ B A D C F E ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求证:平面;‎ ‎(3)求三棱锥的体积。‎ ‎14.如图,在底面是正方形的四棱锥中,,。‎ ‎(1)证明平面;‎ ‎(2)已知点在上,且,点 为棱的中点,证明平面;‎ ‎(3)求四面体的体积.‎ ‎15. 如图,在矩形中,,、分别 为线段、的中点,⊥平面.‎ ‎(1)求证: ∥平面;‎ ‎(2)求证:平面⊥平面;‎ ‎(3)若,求三棱锥的体积.‎ D A B C P M N ‎16.如图,在四棱锥中,侧面是正三角形,且与底 面垂直,底面是边长为的菱形,,‎ 是中点,过、、三点的平面交于.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)求证:平面⊥平面. ‎ ‎17. 如图所示,四棱锥的底面是直角梯形,且,,,底面,为的中点,。‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)证明:平面;‎ ‎(3)求三棱锥的体积。‎ ‎18. 在正方体中,为的中点,为的中点,.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求证:平面;‎ ‎(3)求三棱锥的体积.‎ ‎19.如图四棱锥中平面,底面是矩形,,‎ ‎,点是的中点,点在边上移动.‎ ‎(1)求四棱锥的体积;‎ ‎(2)点为边的中点时,试判断与平面的位置关系,并说明理由;‎ ‎(3)证明:无论点在边的何处,都有。‎ ‎ ‎ ‎20.已知某几何体的三视图如下图所示,其中俯视图为正三角形,设为的中点。‎ C A B C1‎ A B1‎ ‎3‎ A B C ‎(1)作出该几何体的直观图并求其体积;‎ ‎(2)求证:平面平面;‎ ‎(3)边上是否存在点,使平面?‎ 若不存在,说明理由;若存在,证明你的结论。‎ ‎21. 如图,已知棱柱的底面是菱形,且面,,,为棱的中点,为线段的中点,‎ A B C D A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ F M ‎(1)求证:面;(2)判断直线与平面的位置关系,并证明你的结论;(3)求三棱锥的体积.‎ ‎22. 矩形中,、分别是线段、 ‎ 第22题图 C D B A P E F 的中点,平面.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)在上找一点,使得平面.‎ ‎23. 如图,在直三棱柱中,,,,.‎ A B C A1‎ B1‎ C1‎ D ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)若是棱的中点,在棱上是否存在一点 ‎,使平面?证明你的结论.‎ ‎24. 将两块三角板按图甲方式拼好,其中,,,,将三角板沿折起,使在平面上的射影恰好在上,如图乙.‎ ‎(1)求证:平面;(2)求二面角的大小;‎ ‎25. 如图(1)是一正方体的表面展开图,和是两条面对角线,请在图(2)的正方体中将和画出来,并就这个正方体解决下面问题。‎ ‎(1)求证:平面; (2)求证:平面;‎ ‎(3)求和平面所成的角的大小(选做).‎ ‎26.两个有相同底面的正四棱锥组合成一个八面体,可放于棱长为的正方体中,重合的底面与正方体的某一个面平行,各顶点均在正方体的表面上,把满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”.‎ ‎(1)若正方体的“正子体”的六个顶点分别是正方体各面的中心,求此正子体的体积;‎ ‎(2)在(1)的条件下,求异面直线与所成的角.‎ ‎ ‎ A B E D F C A B E D F C ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ 立体几何的综合答案 ‎1、A ; 2、A ; 3、D; 4、C ; 5、C; 6. 7.;‎ ‎8.② ④ ⑤ ; 9、① ② ③ ; 10、C ;‎ ‎11.(1)证明:连接交于,连结,‎ 在正四棱柱中,底面四边形为矩形,∴为的中点.‎ 又为的中点,故.∴平面.‎ ‎ (2)连结,,又的面积为.‎ ‎ 故三棱锥的体积.‎ ‎12.证明:(1)取的中点,连结、,可以证明,故平面.‎ ‎ (2)由题意四边形是正方形,则.连结、,‎ 易证得≌,故,‎ 又为的中点,故,∴平面 B A D C F E ‎13.(1)证明:∵平面,,‎ ‎∴平面,则 ‎ 又平面,则 平面 ‎ ‎(2)证明:由题意可得是的中点,连接 平面,则,‎ 而,是中点 在中,,平面 ‎(3)解:平面,,‎ 而平面,平面 是中点,是中点,‎ 且,‎ ‎ 平面,,‎ 中,,‎ ‎ 。‎ ‎14.(1)证明:因为在正方形中 ‎∴ ‎ 可得在中,。‎ 所以,同理可得,‎ 故平面 ‎ ‎ (2)取中点,连接,,‎ 连接交于,连接,‎ ‎∵ 、分别是、的中点,‎ ‎∴ ,‎ ‎∴ 平面, ‎ 又是的中点,故,‎ ‎∴ 平面,故平面平面 ‎∴ 平面 ‎ ‎ (3)连接,则,因为平面,则平面 所以,又的面积为,故四面体的体积.‎ ‎15. (1)证明:在矩形中,,‎ ‎∴ 与平行且相等,故四边形为平行四边形.‎ 故 ,故平面. ‎ ‎(2)证明: ∵ 平面,平面,∴ . ‎ ‎∵,为的中点,∴ . 连结, ‎ ‎∴ 四边形为正方形,故.∴ 平面. ‎ ‎∵ 平面. ∴ 平面⊥平面. ‎ ‎(3)解:∵⊥平面 ∴ 为三棱锥的高,‎ ‎ 所以 ‎16. (1)证明D A B C E P M N :依题意有,故平面,又平面平面,‎ ‎ ∴,∴,(或证平面) ‎ ‎(2)取的中点,连结、、,‎ ‎∵为边长为的菱形,且 ‎∴为等边三角形,又为的中点 ‎∴,又∵‎ ‎∴⊥面,∴AD⊥PB ‎ 又∵,为的中点,∴ ‎ ‎∴平面,又平面 ‎ ‎∴平面平面。 ‎ ‎17. 证明:(1)取的中点,连,,则,‎ 可以得到与 平行切相等,故四边形是平行四边形,‎ 故,故平面。‎ ‎(2)可证平面,故,‎ 又可得,故平面,‎ 又,故平面;‎ ‎(3)的面积,‎ 三棱锥的体积。‎ ‎18.(1)证明:连结,设与的交点为,则为中点,‎ 正方形的对角线,连结,‎ 又分别为的中点,  ,故平面. ‎ ‎(2),平面,‎ ‎ ,故平面,‎ 又平面,故, ‎ 连结,在中,,‎ ‎,,‎ ‎∴,,‎ 又,平面; ‎ ‎(3)三棱锥的体积 ‎.‎ ‎19.(1)解:,,‎ ‎.‎ ‎(2)证明:当点为的中点时,与平面平行.‎ ‎∵ 在中,、分别为、的中点,‎ ‎∴ ∥,平面,平面 ‎ ‎∴ ∥平面. ‎ ‎(3)证明: ∵ 平面,平面,‎ ‎.又平面,‎ ‎∴ 平面 又平面,故. ‎ 又,点是的中点,故 平面,平面.‎ 又平面,故.‎ ‎20.(1)解:由题意可知该几何体为直三棱柱,其直观图(略)‎ ‎∵几何体的底面积,高,故几何体的体积 ‎ ‎ (2)证明:连结交于点,则为与的中点,连结。‎ ‎∵ ,,,‎ ‎∴ ≌,∴ ,∴ 。‎ 同理,∴ 平面,∴平面⊥平面。‎ ‎ (3)解:取的中点,连结,则平面,下面加以证明:‎ 连结,则与平行且相等,‎ ‎∴ 四边形为平行四边形,∴ ,∴平面。‎ ‎21. (1)证明:连结、交于点,再连结, ‎ ‎,且, 又,故且,‎ ‎ 四边形是平行四边形,故,平面。‎ A B C D A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ F M O E ‎(2)平面,下面加以证明:‎ 在底面菱形中, ‎ ‎ 又平面,面 ‎ ,平面,‎ ‎,平面。 ‎ ‎(3)过点作,垂足,平面,平面 ‎ ,平面,‎ 在中,,,故,‎ ‎。‎ ‎22. (1) 证明:连结,在矩形中,,‎ 是线段的中点,故. ‎ 第22题图 C D B A P E F 又∵平面,∴ . ‎ ‎∴平面,∴ .  ‎ ‎(2) 过作交于,则平面,‎ 且. 再过点作交于,‎ 则平面,且. ‎ ‎∴ 平面平面.∴ 平面.故满足的点为所找. ‎ ‎23. (1)证明:∵,∴.‎ ‎∵三棱柱为直三棱柱,∴. ‎ ‎∵,∴平面.∵平面,∴,‎ E F A B C A1‎ B1‎ C1‎ D ‎∵,则. ‎ 在中,,,∴.‎ ‎∵,∴四边形为正方形.‎ ‎∴.∵,∴平面 ‎ ‎(2)当点为棱的中点时,平面.证明如下:‎ ‎ 取的中点,连、、,‎ ‎∵ 、、分别为、、的中点, ‎ ‎∴.∵平面,平面,∴平面.‎ 同理可证平面. ∵, ∴平面平面.‎ ‎∵平面, ∴平面.‎ ‎24.(1)证明:设在的射影为,则平面,‎ ‎, 又, 平面, ‎ ‎ ,又, 平面 ‎(2)解:由(1)知平面,又平面,故平面平面,‎ ‎ 二面角为直二面角,即二面角的大小为。‎ ‎25. 解:和的位置如右图所示;‎ ‎(1)由与平行且相等,得四边形为平行四边形 ‎ ∴ ‎ ‎∵平面,故平面。‎ ‎(2)∵平面,平面,∴‎ ‎ 又在正方形中,故平面,‎ 平面,故,同理可得,故平面 ‎(3)连结交于点,由,,,‎ 得平面,连结,则为和平面所成的角。‎ 在中,故.即和平面所成的角为。‎ ‎26.解:(1)因为正子体的各个顶点是正方体各面的中心,所以 ‎.‎ ‎ 正四棱锥的底面积,高.‎ 正子体体积.‎ ‎(2)记正方体为,取棱的中点为,中点为.‎ 则,,故.‎ ‎ 是异面直线与所成的角,‎ 因为,故=.‎ 即异面直线与所成的角为.‎
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