数学高考综合能力题选讲南海实验学校

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数学高考综合能力题选讲26‎ 建构数列模型的应用性问题 ‎100080 北京中国人民大学附中 梁丽平 题型预测 数列作为特殊的函数，在高中数学中占有相当重要的位置，涉及实际应用的问题广泛而多样，如：增长率、银行信贷等．解答这一类问题，要充分应用观察、归纳、猜想的手段，注意其间的递推关系，建立出等差、等比、或递推数列的模型．‎ 建立数列的递推关系来解题将有可能成为高考命题革新的一个方向．‎ 范例选讲 例1．某县位于沙漠边缘，当地居民与风沙进行着艰苦的斗争，到2000年底全县的绿地已占全县总面积的30%．从2001年起，市政府决定加大植树造林、开辟绿地的力度，则每年有16%的原沙漠地带变成了绿地，但同时，原有绿地的4%又被侵蚀，变成了沙漠．‎ ‎（Ⅰ）在这种政策之下，是否有可能在将来的某一年，全县绿地面积超过80%？‎ ‎（Ⅱ）至少在多少年底，该县的绿地面积才能超过全县总面积的60%？‎ 讲解：本题为实际问题，首先应该读懂题意，搞清研究对象，然后把它转化为数学问题．不难看出，这是一道数列型应用问题．因此，我们可以设：‎ 全县面积为1，记2000年底的全县绿地面积占总面积的百分比为，经过n年后全县绿地面积占总面积的百分比为，则我们所要回答的问题就是：‎ ‎（Ⅰ）是否存在自然数，使得>80% ？‎ ‎（Ⅱ）求使得>60%成立的最小的自然数.‎ 为了解决这些问题，我们可以根据题意，列出数列的相邻项之间的函数关系，然后由此递推公式出发，设法求出这个数列的通项公式．‎ 由题可知：，‎ 所以，当时，，两式作差得：‎ ‎ 又，‎ ‎ 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列．‎ ‎ 所以，‎ ‎ ‎ ‎ 由上式可知：对于任意，均有．即全县绿地面积不可能超过总面积的80%．‎ ‎ （Ⅱ）令，得，‎ 由指数函数的性质可知：随的增大而单调递减，因此，我们只需从开始验证，直到找到第一个使得的自然数即为所求．‎ 验证可知：当时，均有，而当时，，‎ 由指数函数的单调性可知：当时，均有．‎ 所以，从2000年底开始，5年后，即2005年底，全县绿地面积才开始超过总面积的60%．‎ 点评：（Ⅱ）中，也可通过估值的方法来确定的值．‎ 例2．某人计划年初向银行贷款10万元用于买房．他选择10年期贷款，偿还贷款的方式为：分10次等额归还，每年一次，并从借后次年年初开始归还，若10年期贷款的年利率为4％，且每年利息均按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），问每年应还多少元（精确到1元）？‎ 讲解：作为解决这个问题的第一步，我们首先需要明确的是：如果不考虑其它因素，同等款额的钱在不同时期的价值是不同的．比如说：现在的10元钱，其价值应该大于1年后的10元钱．原因在于：现在的10元钱，在1年的时间内要产生利息．‎ 在此基础上，这个问题，有两种思考的方法：‎ 法1．如果注意到按照贷款的规定，在贷款全部还清时，10万元贷款的价值，与这个人还款的价值总额应该相等．则我们可以考虑把所有的款项都转化到同一时间（即贷款全部付清时）去计算．‎ ‎10万元，在10年后（即贷款全部付清时）的价值为元．‎ 设每年还款x元．则第1次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为；‎ 第2次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为；‎ ‎……；‎ 第10次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为元．于是：‎ ‎105×(1+4％)10= x(1+4％)9+x(1＋4％)8＋x(1＋4％)7+…+x 由等比数列求和公式可得：．其中 所以，‎ 法2．从另一个角度思考，我们可以分步计算．考虑这个人在每年还款后还欠银行多少钱．‎ 仍然设每年还款x元．则第一年还款后，欠银行的余额为：元；‎ 如果设第k年还款后，欠银行的余额为元，则．‎ 不难得出：＝105×(1+4％)10－x(1+4％)9－x(1＋4％)8－x(1＋4％)7－…－x 另一方面，按道理，第10次还款后，这个人已经把贷款全部还清了，故有．由此布列方程，得到同样的结果．‎ 点评：存、贷款问题为典型的数列应用题，解决问题的关键在于：1．分清单利、复利（即等差与等比）；2．寻找好的切入点（如本题的两种不同的思考方法），恰当转化．‎ 例3．将四边形的每条边都涂以红、黄、蓝三种颜色中的一种，要使得相邻的边的颜色互不相同，有多少种不同的涂色方法？‎ 讲解：本题从表面上看是排列组合的问题，与数列没有关系，但直接考虑并不简单，为此，我们考虑更一般的问题（即对于n边形的涂色问题），并建构如下递推数列的模型：‎ 设n边形（各边依次为）满足条件的涂色方法有种．考虑n＋1边形的涂法：‎ 从边开始考虑，对于，有3种涂法；对于边，由于要不同于边，故有2种涂法；……‎ ‎；对于，有2种涂法；最后考虑边，如果不考虑这条边是否与边同色，则也应该有2种涂法，故涂法种数为．‎ 上述涂色的方法中，包括两种，第一种是边与边的颜色不同，这种涂色方法恰好符合题意，其总数应该为；第二种是边与边的颜色相同，对于这一种涂色方法，如果我们把边与边看作是同一条边，则其涂色方法也满足题目中对于n边形的要求，故涂色方法总数应该为．由此，不难得出：‎ ‎．‎ 所以，．另一方面，显然有．所以，‎ ‎，‎ ‎ 显然，．‎ ‎ 点评：本题的难点在于递推数列模型的建立．一般来说，数列型应用题的特点是：与n有关．‎ 高考真题 1. ‎（1999年全国高考）右图为一台冷轧机的示意图．冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出．‎ ‎（Ⅰ）输入带钢的厚度为，输出带钢的厚度为，若每对轧辊的减薄率不超过．问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？‎ ‎(一对轧辊减薄率)‎ ‎（Ⅱ）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20％的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm．若第对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为．为了便于检修，请计算并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）‎ 轧锟序号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 疵点间距(单位：)‎ ‎1600‎ 2. ‎(2001年全国高考) 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，估计今后的旅游业收入每年会比上一年增加．‎ ‎（Ⅰ）设n年内（本年度为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出的表达式．‎ ‎（Ⅱ）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？‎ 3. ‎（2002年全国高考）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？‎ ‎[答案与提示：1．（Ⅰ）至少需要安装不小于的整数对轧辊；（Ⅱ）‎ ‎． 2．（Ⅰ），；（Ⅱ）5年． 3．每年新增汽车数量不应超过3.6万辆]‎