高考天津市理科数学真题含答案解析超完美版

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‎2015年高考天津市理科数学真题 一、选择题 ‎1．已知全集，集合，集合，则集合（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．设，则“”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．如图，在圆中，是弦的三等分点，弦，分别经过点，若，，，则线段的长为（ ）‎ A． B．3 C． D．‎ ‎6．已知双曲线（）的一条渐近线过点（），且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，，，则的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知函数函数，其中，若函数恰有个零点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题 ‎9．是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为 ．‎ ‎10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 ．‎ ‎11．曲线与直线所围成的封闭图形的面积为 ．‎ ‎12．在的展开式中，的系数为 ．‎ ‎13．在中，内角所对的边分别为.已知的面积为，，则的值为 ．‎ ‎14．在等腰梯形中，已知。动点和分别在线段和上，且，则的最小值为 ．‎ 三、解答题 ‎15．已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求在区间内的最大值和最小值．‎ ‎16．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加。现有来自甲协会的运动员名，其中种子选手名；乙协会的运动员名，其中种子选手名。从这名运动员中随机选择人参加比赛。‎ ‎（Ⅰ）设为事件“选出的人中恰有名种子选手，且这名种子选手来自同一个协会”，求事件发生的概率；‎ ‎（Ⅱ）设为选出的人中种子选手的人数，求随机变量的分布列和数学期望．‎ ‎17．如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）设为棱上的点。若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长。‎ ‎18．已知数列满足（为实数，且），，，，且，，成等差数列。‎ ‎（Ⅰ）求的值和 的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，，求数列的前项和．‎ ‎19．已知椭圆的左焦点为，离心率为，点在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为，．‎ ‎（Ⅰ）求直线的斜率； ‎ ‎（Ⅱ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅲ）设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的取值范围。‎ ‎20．已知函数其中，且.‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性； ‎ ‎（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，‎ 求证：对于任意的正实数，都有；‎ ‎（Ⅲ）若关于的方程（为实数）有两个正实数根，求证：．‎ ‎2015年高考天津市理科数学真题答案 一、选择题 ‎1．答案：A 解析过程：‎ ‎,所以，选A ‎2．答案：C 解析过程：‎ 不等式所表示的平面区域如下图所示，‎ 当所表示直线经过点时，有最大值，选C ‎3．答案：B 解析过程：‎ 输入；‎ 不成立；‎ 不成立 成立 输出,选B ‎4．答案：A 解析过程：‎ ‎，‎ 所以“”是“”的充分不必要条件，选A ‎5．答案：A 解析过程：‎ 由相交弦定理可知，‎ ‎，‎ 又因为是弦的三等分点，‎ 所以，‎ 所以，选A ‎6．答案：D 解析过程：‎ 双曲线（）的渐近线方程为，‎ 由点在渐近线上，所以，‎ 双曲线的一个焦点在抛物线准线方程上，‎ 所以，由此可解得，‎ 所以双曲线方程为，选D ‎7．答案：C 解析过程：‎ 因为函数为偶函数，所以，即，‎ 所以 所以，选C ‎8．答案：D 解析过程：‎ 由得，‎ 所以，‎ 即 ‎,‎ 所以恰有4个零点等价于方程 有4个不同的解，‎ 即函数与函数的图象的4个公共点，‎ 由图象可知.选D ‎ ‎ 二、填空题 ‎9．答案：-2‎ 解析过程：‎ 是纯虚数，‎ 所以，即 ‎10．答案：‎ 解析过程：‎ 由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为，‎ 高为的圆柱，两端是底面半径为，高为的圆锥，‎ 所以该几何体的体积.‎ ‎11．答案：‎ 解析过程：‎ 两曲线的交点坐标为，‎ 所以它们所围成的封闭图形的面积 ‎.‎ ‎12．答案：‎ 解析过程：‎ 展开式的通项为 ‎，‎ 由得r=2，‎ 所以，所以该项系数为 ‎13．答案：‎ 解析过程：‎ 因为，所以，‎ 又，‎ 解方程组得，由余弦定理得 ‎，‎ 所以.‎ ‎14．答案：‎ 解析过程：‎ 因为，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 三、解答题 ‎15．答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）最大值，最小值 解析过程：‎ ‎（Ⅰ）解：由题意得 ‎=‎ 所以，的最小正周期 ‎（Ⅱ）解：因为在区间上是减函数，‎ 在区间上是增函数，‎ ‎，，.‎ 所以，在区间上的最大值为，最小值为.21‎ ‎16．答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析 解析过程：‎ ‎（Ⅰ）解：由题意得 所以，事件发生的概率为.‎ ‎（Ⅱ）解：随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.‎ 所以，随见变量的分布列为 随机变量的数学期望 ‎17．答案：‎ 见解析 解析过程：‎ 如图，以为原点建立空间直角坐标系，‎ 依题意可得,,,‎ ‎,.‎ 又因为M,N分别为和的中点，得,.‎ ‎（Ⅰ）证明：依题意，可得为平面的一个法向量. ‎ ‎=.由此可得，‎ 又因为直线平面，所以平面．‎ ‎（Ⅱ）解：，．‎ 设为平面的法向量，则 即 不妨设，可得.．‎ 设为平面的法向量，则 又，得 不妨设，可得．‎ 因此有，于是．‎ 所以，二面角的正弦值为。‎ ‎（Ⅲ）解：依题意，可设，其中，‎ 则，从而．‎ 又为平面的一个法向量，‎ 由已知，得=，‎ 整理得，又因为，解得．‎ 所以，线段的长为．‎ ‎18．答案：‎ 见解析 解析过程：‎ ‎（Ⅰ）解：由已知，有，‎ 即，所以．‎ 又因为，故，由，得． ‎ 当时，；‎ 当时，．‎ 所以，的通项公式为 ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得.设的前n项和为，‎ 则 ，‎ ‎，‎ 上述两式相减，得 整理得，.‎ 所以，数列的前n项和为，．‎ ‎19．答案：‎ ‎（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）‎ 解析过程：‎ ‎（Ⅰ）解：由已知有，又由，可得.‎ 设直线的斜率为，则直线的方程为．‎ 由已知，有+，解得．‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得椭圆方程为，‎ 直线的方程为，‎ 两个方程联立，消去y，整理得，‎ 解得，或.‎ 因为点M在第一象限，可得M的坐标为.有，‎ 解得，所以椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅲ）解：设点P的坐标为，直线FP的斜率为，‎ 得，即，‎ 与椭圆方程联立消去，‎ 整理得．‎ 又由已知，得，‎ 解得，或．‎ 设直线的斜率为，得，即，‎ 与椭圆方程联立，整理可得.‎ ‎①当时，有，‎ 因此，于是，得.‎ ‎②当时，有，‎ 因此，于是，得.‎ 综上，直线的斜率的取值范围是.‎ ‎20．答案：见解析 解析过程：‎ ‎（Ⅰ）解：由=，‎ 可得==，‎ 其中，且.‎ 下面分两种情况讨论：‎ ‎（1）当为奇数时.‎ 令=0，解得，或.‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎↘‎ ‎↗‎ ‎↘‎ 所以，在，上单调递减，在内单调递增。‎ ‎（2）当为偶数时.‎ 当，即时，函数单调递增；‎ 当，即时，函数单调递减.‎ 所以，在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（Ⅱ）证明：设点的坐标为，‎ 则，.‎ 曲线在点处的切线方程为，‎ 即，‎ 令，即，‎ 则．‎ 由于在上单调递减，‎ 故在上单调递减，‎ 又因为，‎ 所以当时，，当时，，‎ 所以在内单调递增，在上单调递减，‎ 所以对于任意的正实数，都有，‎ 即对于任意的正实数，都有．‎ ‎（Ⅲ）证明：不妨设．‎ 由（Ⅱ）知，‎ 设方程的根为，可得，‎ 当时，在上单调递减．‎ 又由（Ⅱ）知，可得．‎ 类似地，设曲线在原点处的切线方程为，‎ 可得，‎ 当，，‎ 即对于任意的，．‎ 设方程的根为，可得．‎ 因为在上单调递增，‎ 且，因此．‎ 由此可得．‎ 因为，所以，‎ 故.所以，．‎