2012北京市各区高考一模数学理试题汇总及答案

2012北京市各区高考一模数学理试题汇总及答案

‎2012年北京市昌平区高考模拟训练试题：数学（理）‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间为120分钟．‎ 第Ⅰ卷（选择题 共40分）‎ 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）‎ ‎1．（题1）‎ 设集合，则下列关系中正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 【解析】 D；‎ ‎，，故，因此 ‎2．（题2）‎ 设平面向量，若，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ 【解析】 A；‎ ‎，则，从而 ‎3．（题3）‎ 若复数满足，则对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解析】 B；‎ ‎．‎ ‎4．（题4）‎ 设函数，则其零点所在的区间为（ ）‎ A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）‎ 【解析】 B；‎ 在上单调增，，，故零点所在区间．‎ ‎5．（题5）‎ 若为等差数列，是其前项和，且，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 【解析】 B；‎ 由，可得，∴．‎ ‎6．（题6）‎ 若椭圆与双曲线均为正数）有共同的焦点，，是两曲线的一个公共点，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ 【解析】 C；‎ 由题设可知，再由椭圆和双曲线的定义有及，两个式子分别平方再相减即可得．‎ ‎7．（题7）‎ 某单位员工按年龄分为三级，其人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为的样本，已知组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为 （ ）‎ A．110 B． C．90 D．80‎ 【解析】 B；‎ 设员工总数为，则组人数为，由分层抽样知组中抽取的人数为，于是甲乙二人均被抽到的概率为，解得．‎ ‎8．（题8）‎ 设函数的定义域为，若对于给定的正数，定义函数， 则当函数时，定积分的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 【解析】 D；‎ 由题设，于是定积分．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）‎ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）‎ ‎9．（题9）‎ 把容量是的样本分成组，从第组到第组的频数分别是15，17，11，13，第5组到第7组的频率之和是，那么第8组的频率是 ．‎ 【解析】 ‎；‎ ‎．‎ ‎10．（题10）‎ 若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 ．‎ 【解析】 ‎6；‎ 几何体如图所示，正面为的正方形，侧面为直角梯形，两个底边长分别为和，因此不难算出体积为．‎ ‎11．（题11）‎ 若是上三点，切于点，，则的大小为 ．‎ 解析：如图，弦切角，于是，从而．‎ ‎12．（题12）‎ 若直线与曲线（为参数，）有两个公共点，且，则实数的值为 ；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，轴正方向为极轴建立坐标系，则曲线的极坐标方程为 ．‎ 【解析】 ‎；‎ 曲线：，点到的距离为，因此；‎ ‎，即．‎ ‎13．（题13）‎ 若为的三个内角，则的最小值为 ．‎ 【解析】 ‎；‎ ‎，且 ‎，‎ 因此，当且仅当，即时等号成立．‎ ‎14．（题14）‎ 有下列命题：‎ ‎①若存在导函数，则；‎ ‎②若函数，则；‎ ‎③若函数，则；‎ ‎④若三次函数，则“”是“有极值点”的充要条件．‎ 其中真命题的序号是 ．‎ 【解析】 ‎③；‎ ‎，①错误；‎ ‎，则，②错；‎ ‎，③正确；‎ ‎，，只需即可，是的充分不必要条件．‎ ‎3‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎15．（题15）‎ 已知函数 ‎⑴求函数的最小正周期及图象的对称轴方程；‎ ‎⑵设函数，求的值域．‎ 【解析】 ‎⑴‎ ‎，‎ ‎∴最小正周期．‎ 由，得 函数图象的对称轴方程为 ‎ ‎⑵‎ 当时，取得最小值；‎ 当时，取得最大值2，‎ 所以的值域为． ‎ ‎16．（题16）‎ 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，．为中点，为中点．‎ ‎⑴求证：；‎ ‎⑵求二面角的余弦值；‎ ‎⑶若四棱锥的体积为，求的长．‎ 【解析】 ‎⑴∵平面，平面 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴平面 又是中点，‎ ‎∴平面 ‎∴． ‎ ‎⑵建立直角坐标系，设 则 ‎∴‎ 由⑴知，平面，‎ ‎∴是平面的法向量．‎ 设平面的法向量为，‎ 则且，‎ ‎∴．‎ ‎∴，‎ 二面角的余弦值为． ‎ ‎⑶连结，设，‎ ‎，∴．‎ ‎∵是直角三角形，‎ ‎∴． ‎ ‎17．（题17）‎ 某公司要将一批海鲜用汽车运往城，如果能按约定日期送到，则公司可获得销售收入万元，每提前一天送到，或多获得万元，每迟到一天送到，将少获得万元，为保证海鲜新鲜，汽车只能在约定日期的前两天出发，且行驶路线只能选择公路或公路中的一条，运费由公司承担，其他信息如表所示．‎ 统计信息 汽车行驶 路线 不堵车的情况下到达所需时间（天）‎ 堵车的情况下到达所需时间（天）‎ 堵车的概率 运费（万元）‎ 公路1‎ ‎2‎ ‎3‎ 公路2‎ ‎1[‎ ‎4‎ ‎⑴记汽车走公路1时公司获得的毛利润为（万元），求的分布列和数学期望；‎ ‎⑵假设你是公司的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能获得的毛利润更多？‎ ‎（注：毛利润销售收入运费）‎ 【解析】 ‎⑴汽车走公路1时不堵车时获得的毛利润万元 堵车时公司获得的毛利润万元 ‎∴汽车走公路1时获得的毛利润的分布列为 ‎∴万元 ‎ ‎ ⑵设汽车走公路2时获得的毛利润为万元 不堵车时获得的毛利润万元 堵车时的毛利润万元 ‎∴汽车走公路2时获得的毛利润的分布列为[‎ ‎∴万元 ‎∴‎ ‎∴选择公路2可能获利更多．‎ ‎18．（题18）‎ 已知函数 ‎⑴若为的极值点，求的值；‎ ‎⑵若的图象在点处的切线方程为，‎ ‎①求在区间上的最大值；‎ ‎②求函数的单调区间．‎ 【解析】 ‎⑴．‎ ‎∵是极值点，‎ ‎∴，即．‎ ‎∴或2． ‎ ‎⑵∵在上．∴‎ ‎∵在上，∴‎ 又，∴‎ ‎∴，解得 ‎∴‎ ‎①由可知和是的极值点．‎ ‎∵‎ ‎∴在区间上的最大值为8．‎ ‎②‎ 令，得 当时，，此时在单调递减 当时： ‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ 极小值 极大值 此时在上单调递减，在上单调递增．‎ 当时：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ 极小值 极大值 此时在上单调递减，在上单调递增，综上所述：当时，在单调递减；‎ 时，在单调递减，在单调递增；‎ 时，在单调递减，在单调递增．‎ ‎19．（题19）‎ 已知椭圆的离心率为．‎ ‎⑴若原点到直线的距离为，求椭圆的方程；‎ ‎⑵设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于两点．‎ ‎ i)当，求的值；‎ ‎ ii)对于椭圆上任一点，若，求实数满足的关系式．‎ 【解析】 ‎⑴∵，∴．‎ ‎∵，∴．‎ ‎∵，∴，解得．‎ 椭圆的方程为． ‎ ‎⑵‎ i)∵，∴，椭圆的方程可化为 ‎ …………①‎ 易知右焦点，据题意有： ………②‎ 由①，②有： …………③‎ 设，‎ ‎∴ ‎ ii)显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等式成立．‎ 设，‎ ‎∵，∴‎ 又点在椭圆上，∴ ……………④‎ 由③有：‎ 则 ‎ ……………⑤‎ 又在椭圆上，故有 …………⑥‎ 将⑥，⑤代入④可得：．‎ ‎20．（题20）‎ 已知数列满足，点在直线上．‎ ‎⑴求数列的通项公式；‎ ‎⑵若数列满足，求的值；‎ ‎⑶对于⑵中的数列，求证：．‎ 【解析】 ‎⑴∵点在直线上，∴‎ ‎∴，是以为首项，为公比的等比数列，‎ ‎∴ ‎ ‎⑵∵且，‎ ‎∴，‎ ‎∴且；‎ 当时，． ‎ ‎⑶由⑵知 ‎∴‎ ‎∵时，‎ ‎∴‎ ‎ ，‎ ‎∴，‎ 即． ‎ 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 ‎ 数学试卷（理工类） 2012.3‎ ‎（考试时间120分钟 满分150分）‎ 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题 共40分）‎ 注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ ‎1. 复数 A. B. C. D. ‎ ‎2. 已知平面向量满足，且，则向量与的夹角为 A. B. C. D. ‎ ‎3.已知数列的前项和为，且，则 A. B. C. D. ‎ ‎4. 已知平面，直线，且，则“且”是“”的 ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎5. 有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定.技术人员对它们进行一一测试，‎ ‎ 直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有.当时，.若直线与函数的图象在内恰有两个不同的公共点，则实数的值是 ‎ A. B. 或 C. 或 D. 或 ‎7. 某工厂生产的种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一 ‎ 年种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件. 从第二年开始，商场对种产品 ‎ 征收销售额的的管理费（即销售100元要征收元），于是该产品定价每件比第一年 ‎ 增加了元，预计年销售量减少万件，要使第二年商场在种产品经营中收取的 ‎ 管理费不少于14万元，则的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.已知点集，，点集所表示的平面区域与点集所表示的平面区域的边界的交点为.若点在点集所表示的平面区域内（不在边界上），则△的面积的最大值是 ‎ A. B. C. D. ‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上.‎ ‎9. 已知双曲线的方程为，则此双曲线的离心率为 ，其焦点到渐近线的距离为 .‎ 开始 输入k S=0，i=1‎ i=i+1‎ 输出S 结束 是 否 ‎10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎3‎ 正视图 侧视图 俯视图 ‎2‎ ‎1‎ ‎ （第10题图） （第11题图）‎ ‎11. 执行如图所示的程序框图，若输入的值是，则输出的值是 .‎ ‎12.在极坐标系中，曲线和相交于点，则线段的中点 ‎ 到极点的距离是 . ‎ ‎13.已知函数若函数有两个不同的零点，则实数 的取值范围是 . ‎ ‎14.已知△中， .一个圆心为，半径为的圆在△‎ ‎ 内，沿着△的边滚动一周回到原位. 在滚动过程中，圆至少与△的一边相切，则点到△顶点的最短距离是 ，点的运动轨迹的周长是 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.把答案答在答题卡上.‎ ‎15. （本小题满分13分）‎ ‎ 已知函数.‎ ‎ （Ⅰ）若，求的值；‎ ‎ （II）设，求函数在区间上的最大值和最小值.‎ ‎16. （本小题满分13分）‎ ‎85‎ ‎80‎ ‎90‎ ‎100‎ ‎95‎ 分数 ‎75‎ ‎0.01‎ ‎0.02‎ ‎0.03‎ ‎0.04‎ ‎0.05‎ ‎0.06‎ ‎0.07‎ ‎ 某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀.‎ ‎ （Ⅰ）下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数a, b的值；‎ 区间 ‎[75，80)‎ ‎[80，85)‎ ‎[85，90)‎ ‎[90，95)‎ ‎[95，100]‎ 人数 ‎50‎ a ‎350‎ ‎300‎ b ‎ （II）现在要用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的成 绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；‎ ‎ （Ⅲ）在（II）中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参 ‎ 加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为X，求X的 ‎ 分布列与数学期望.‎ ‎17. （本小题满分14分）‎ C A F E B M D ‎ 在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，， 平面，，，，，且是的中点.‎ ‎ （Ⅰ）求证：平面；‎ ‎ （Ⅱ）求二面角的大小；‎ ‎ （Ⅲ）在线段上是否存在一点，‎ ‎ 使得与所成的角为？ ‎ ‎ 若存在，求出的长度；若不 ‎ 存在，请说明理由.‎ ‎18. （本小题满分13分）‎ ‎ 设函数.‎ ‎ （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎ （Ⅱ）求函数单调区间.‎ ‎19. （本小题满分14分）‎ ‎ 已知椭圆的两个焦点分别为，.点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.‎ ‎ （Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎ （Ⅱ）已知点的坐标为，点的坐标为.过点任作直线与椭圆 ‎ 相交于，两点，设直线，，的斜率分别为，，，若 ‎ ，试求满足的关系式.‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ ‎ 已知各项均为非负整数的数列 ，满足，．若存在最小的正整数，使得，则可定义变换，变换将数列变为数列．设，．‎ ‎ （Ⅰ）若数列，试写出数列；若数列，试写出数列；‎ ‎ （Ⅱ）证明存在唯一的数列，经过有限次变换，可将数列变为数列；‎ ‎ （Ⅲ）若数列，经过有限次变换，可变为数列．设，，求证，其中表示不超过的最大整数．‎ 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 ‎ 数学试卷（理工类） 2012.3‎ 一、选择题：‎ 题号 ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ ‎（5）‎ ‎（6）‎ ‎（7）‎ ‎（8）‎ 答案 A ‎ C ‎ B B ‎ C ‎ D D B 二、填空题： ‎ 题号 ‎（9）‎ ‎（10）‎ ‎（11）‎ ‎（12）‎ ‎（13）‎ ‎（14）‎ 答案 三、解答题：‎ ‎（15）（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）因为，‎ ‎ 所以 ，‎ ‎ 所以 .‎ ‎ 平方得，=，‎ ‎ 所以 . ……………6分 ‎（II）因为=‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ =. ……………10分 ‎ 当时，.‎ ‎ 所以，当时，的最大值为；‎ ‎ 当时，的最小值为. ……………13分 ‎（16）（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）依题意，. ……………4分 ‎（Ⅱ）设其中成绩为优秀的学生人数为x，则，解得：x=30，‎ ‎ 即其中成绩为优秀的学生人数为30名. ……………7分 ‎（Ⅲ）依题意，X的取值为0，1，2，新课标第一网 ‎，，，‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ ，所以X的数学期望为. ……………13分 ‎（17）（本小题满分14分）‎ ‎ 证明：（Ⅰ）取的中点，连接.‎ N C A F E B M D 在△中，是的中点，是的中点，所以，‎ ‎ 又因为，‎ ‎ 所以且.‎ 所以四边形为平行四边形，‎ 所以.‎ 又因为平面，平面，‎ ‎ 故平面. …………… 4分 解法二：因为平面，，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. ……………1分 ‎ 由已知可得 ‎ z C A F E B M D x y ‎（Ⅰ）， . ……………2分 设平面的一个法向量是.‎ ‎ 由得 ‎ 令，则. ……………3分 又因为，‎ ‎ 所以，又平面，所以平面. ……………4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面的一个法向量是.‎ ‎ 因为平面，所以.‎ ‎ 又因为，所以平面.‎ ‎ 故是平面的一个法向量.‎ ‎ 所以，又二面角为锐角，‎ ‎ 故二面角的大小为. ……………10分 ‎ （Ⅲ）假设在线段上存在一点，使得与所成的角为.‎ ‎ 不妨设（），则.‎ ‎ 所以，‎ ‎ 由题意得，‎ ‎ 化简得， ‎ ‎ 解得. ‎ ‎ 所以在线段上不存在点，使得与所成的角为.…………14分 ‎（18）（本小题满分13分）xkb1.com 解：因为所以.‎ ‎ （Ⅰ）当时, ,,‎ ‎ 所以 .‎ ‎ 所以曲线在点处的切线方程为. ……………4分 ‎（Ⅱ）因为， ……………5分 ‎ （1）当时,由得；由得.‎ ‎ 所以函数在区间单调递增, 在区间单调递减. ……………6分 ‎ （2）当时, 设，方程的判别式 ‎ ……………7分 ‎ ①当时，此时.‎ ‎ 由得,或；‎ ‎ 由得.‎ ‎ 所以函数单调递增区间是和, ‎ ‎ 单调递减区间. ……………9分 ‎ ②当时，此时.所以，‎ ‎ 所以函数单调递增区间是. ……………10分 ‎ ③当时，此时.‎ ‎ 由得；‎ ‎ 由得,或.‎ ‎ 所以当时,函数单调递减区间是和, ‎ ‎ 单调递增区间. ……………12分 ‎ ④当时, 此时，，所以函数单调递减区间是.‎ ‎ …………13分 ‎（19）（本小题满分14分）‎ 解: （Ⅰ）依题意，， ，‎ ‎ 所以.‎ ‎ 故椭圆的方程为. ……………4分 ‎ （Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，由解得.‎ ‎ 不妨设，，‎ ‎ 因为，又，所以，‎ ‎ 所以的关系式为，即. ………7分 ‎ ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为.‎ ‎ 将代入整理化简得，.‎ ‎ 设，，则,. ………9分 又，.‎ 所以 ‎ ………12分 所以，所以，所以的关系式为.………13分 综上所述，的关系式为. ………14分 ‎（20）（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）若，则；； ；‎ ‎ ； ．‎ 若，则 ； ； ； ． ………4分 ‎（Ⅱ）先证存在性，若数列满足及，则定义变换，变换将数列变为数列：．‎ 易知和是互逆变换． ………5分 对于数列连续实施变换（一直不能再作变换为止）得 ‎ ，‎ 则必有（若，则还可作变换）．反过来对作有限次变换，即可还原为数列，因此存在数列满足条件．‎ 下用数学归纳法证唯一性：当是显然的，假设唯一性对成立，考虑的情形．‎ 假设存在两个数列及均可经过有限次变换，变为，这里，‎ 若，则由变换的定义，不能变为；‎ 若，则，经过一次变换，有 由于，可知（至少3个1）不可能变为．‎ 所以，同理令，‎ ‎，‎ 则，所以，．‎ 因为，‎ ‎，‎ 故由归纳假设，有，．‎ 再由与互逆，有 ‎，‎ ‎，‎ 所以，，从而唯一性得证． ………9分 ‎（Ⅲ）显然，这是由于若对某个，，则由变换的定义可知， 通过变换，不能变为．由变换的定义可知数列每经过一次变换，的值或者不变，或者减少，由于数列经有限次变换，变为数列时，有，，‎ 所以为整数，于是，，‎ 所以为除以后所得的余数，即．………13分 北京市西城区2012年高三一模试卷 ‎ 数 学（理科） 2012.4‎ 第Ⅰ卷（选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ ‎1．已知全集，集合，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的 值为（ ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎3．若实数，满足条件则的最大值为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎4．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为．‎ 其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎5．已知函数的最小正周期是，那么正数（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎6．若，，，则下列结论正确的是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎7．设等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为．若对，有，则的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎ 8．已知集合，其中，且.则中所有元素之和等于（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9. 某年级名学生在一次百米测试中，成绩全部介于秒 与秒之间．将测试结果分成组：，，‎ ‎，，，得到如图所示的频率分 ‎ 布直方图．如果从左到右的个小矩形的面积之比为 ‎，那么成绩在的学生人数是_____．‎ ‎10．的展开式中，的系数是_____．（用数字作答）‎ ‎11. 如图，为⊙的直径，，弦交 于点．若，，则_____． ‎ ‎12. 在极坐标系中，极点到直线的距离是_____．‎ ‎13. 已知函数 其中．那么的零点 是_____；若的值域是，则的取值范围是_____．‎ ‎14. 在直角坐标系中，动点， 分别在射线和上运动，且△的面积为．则点，的横坐标之积为_____；△周长的最小值是_____．‎ 三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. ‎ ‎15.（本小题满分13分）‎ 在△中，已知．‎ ‎（Ⅰ）求角； ‎ ‎（Ⅱ）若，，求．‎ ‎16.（本小题满分13分）‎ 乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用局胜制（即先胜局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.‎ ‎（Ⅰ）求甲以比获胜的概率；（Ⅱ）求乙获胜且比赛局数多于局的概率；（Ⅲ）求比赛局数的分布列.‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 如图，四边形与均为 菱形， ，且．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：∥平面；‎ ‎（Ⅲ）求二面角的余弦值． ‎ ‎18.（本小题满分13分）‎ 已知函数，其中.‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求的单调区间.‎ ‎19.（本小题满分14分）‎ 已知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是，，且.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点.试问轴上是否存在定点，‎ 使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. ‎ ‎20.（本小题满分13分）‎ 对于数列，定义“变换”：将数列变换成数 列，其中，且，这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”，得到数列，…，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束．‎ ‎（Ⅰ）试问和经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由；‎ ‎（Ⅱ）求经过有限次“变换”后能够结束的充要条件； ‎ ‎（Ⅲ）证明：一定能经过有限次“变换”后结束．‎ 北京市西城区2012年高三一模试卷 数学（理科）参考答案及评分标准 ‎ 2012.4‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.‎ ‎1. C； 2. D； 3. A； 4.A； 5. B； 6. D； 7. A； 8. D .‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. ‎ ‎9.； 10.； 11.； 12.； 13.和，； 14.，.‎ 注：13题、14题第一问2分，第二问3分.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分. ‎ ‎15.（本小题满分13分） ‎ ‎（Ⅰ）解：原式可化为 ． ………………3分 ‎ 因为， 所以 ， 所以 ． ………………5分 ‎ 因为， 所以 ． ………………6分 ‎ ‎（Ⅱ）解：由余弦定理，得 ．………………8分 ‎ 因为 ，， 所以 ． ………10分 ‎ 因为 ， ………………12分 所以 ． ………………13分 ‎16.（本小题满分13分）‎ ‎（Ⅰ）解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是． ………………1分 记“甲以比获胜”为事件，则．………………4分 ‎（Ⅱ）解：记“乙获胜且比赛局数多于局”为事件.‎ ‎ 因为，乙以比获胜的概率为， ………………6分 ‎ 乙以比获胜的概率为， ………………7分 所以 ． ………………8分 ‎（Ⅲ）解：设比赛的局数为，则的可能取值为． ‎ ‎， ………………9分 ‎ ， ………………10分 ‎ ， ………………11分 ‎ ． ………………12分 比赛局数的分布列为：‎ ‎ ………………13分 ‎17.（本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）证明：设与相交于点，连结．‎ 因为 四边形为菱形，所以，‎ 且为中点． ………………1分 又 ，所以 ． ………3分 因为 ， ‎ 所以 平面． ………………4分 ‎ ‎（Ⅱ）证明：因为四边形与均为菱形，‎ 所以//，//， ‎ 所以 平面//平面． ………………7分 ‎ 又平面，所以// 平面． ………………8分 ‎ ‎（Ⅲ）解：因为四边形为菱形，且，所以△为等边三角形．‎ 因为为中点，所以，故平面．‎ 由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系． ………………9分 ‎ 设．因为四边形为菱形，，则，所以，‎ ‎．‎ 所以 ． ‎ 所以 ，． ‎ 设平面的法向量为，则有 所以 取，得． ………………12分 ‎ 易知平面的法向量为． ………………13分 ‎ 由二面角是锐角，得 ． ‎ 所以二面角的余弦值为． ………………14分 ‎18.（本小题满分13分）‎ ‎（Ⅰ）解：当时，，． ………………2分 由于，，‎ 所以曲线在点处的切线方程是． ………………4分 ‎（Ⅱ）解：，． ………………6分 ‎① 当时，令，解得 ．‎ 的单调递减区间为；单调递增区间为，．……………8分 当时，令，解得 ，或．‎ ‎② 当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为， ‎ ‎………………10分 ‎③ 当时，为常值函数，不存在单调区间． ………………11分 ‎④ 当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为，．‎ ‎ ………………13分 ‎19.（本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）解：由 ， 得 . ………………2分 依题意△是等腰直角三角形，从而，故. ………………4分 所以椭圆的方程是. ………………5分 ‎（Ⅱ）解：设，，直线的方程为. ‎ 将直线的方程与椭圆的方程联立，‎ 消去得 . ………………7分 所以 ，. ………………8分 若平分，则直线，的倾斜角互补，‎ 所以. ………………9分 设，则有 .将 ，代入上式，‎ 整理得 ，所以 .……………12分 将 ，代入上式，整理得 . ………13分 由于上式对任意实数都成立，所以 .‎ ‎ 综上，存在定点，使平分. ………………14分 ‎20.（本小题满分13分）‎ ‎（Ⅰ）解：数列不能结束，各数列依次为；；；；；‎ ‎；…．从而以下重复出现，不会出现所有项均为的情形． ………………2分 数列能结束，各数列依次为；；；．‎ ‎ ………………3分 ‎（Ⅱ）解：经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是．………………4分 若，则经过一次“变换”就得到数列，从而结束． ……………5分 当数列经过有限次“变换”后能够结束时，先证命题“若数列为常数列，则为常数列”．‎ 当时，数列．‎ 由数列为常数列得，解得，从而数列也 为常数列．‎ 其它情形同理，得证．‎ 在数列经过有限次“变换”后结束时，得到数列(常数列)，由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列也为常数列． ………………8分 所以，数列经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是．‎ ‎（Ⅲ）证明：先证明引理：“数列的最大项一定不大于数列的最大项，其中”．‎ 证明：记数列中最大项为，则．‎ 令，，其中．‎ 因为， 所以，故，证毕．………………9分 现将数列分为两类．‎ 第一类是没有为的项，或者为的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，． ‎ 第二类是含有为的项，且与最大项相邻，此时．‎ 下面证明第二类数列经过有限次“变换”，一定可以得到第一类数列．‎ 不妨令数列的第一项为，第二项最大()．（其它情形同理）‎ ‎① 当数列中只有一项为时，‎ 若()，则，此数列各项均不为 或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列；‎ 若，则；‎ 此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列；‎ 若()，则，此数列各项均不为，为第一类数列；‎ 若，则；；，‎ 此数列各项均不为，为第一类数列．‎ ‎② 当数列中有两项为时，若()，则，此数列 各项均不为，为第一类数列；‎ 若()，则，，此数列 各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列．‎ ‎③ 当数列中有三项为时，只能是，则，‎ ‎，，此数列各项均不为，为第一类数列．‎ 总之，第二类数列至多经过次“变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历次“变换”，数列的最大项又开始减少．‎ 又因为各数列的最大项是非负整数，‎ 故经过有限次“变换”后，数列的最大项一定会为，此时数列的各项均为 ‎，从而结束． ………………13分 ‎2012年石景山区高三统一测试 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合,，则等于（　 　）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎2．在复平面内，复数对应的点位于（　 　）‎ A．第一象限 B． 第二象限 C．第三象限 ‎ D．第四象限 圆的圆心坐标是（ 　）‎ A． ‎ B．‎ C． ‎ D．‎ 设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ 　）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎5．执行右面的框图，若输入的是，‎ ‎ 则输出的值是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎6．若展开式中的所有二项式系数和 为512，则该展开式中的常数项为 （ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎7．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ A C B D P ‎8．如图，已知平面，、是上的两个 点，、在平面内，且 ，，在平面上有一个 动点，使得，则体积 的最大值是（ ） ‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． ‎ ‎9．设向量，且，则= ．‎ ‎10．等差数列前9项的和等于前4项的和．若，则k =________．‎ B A E D F C ‎11.如图，已知圆中两条弦与相交于点，与圆 相切交延长线上于点，若，‎ ‎，则线段的长为 ．‎ ‎12．设函数的最小值为，则实数的取值范围是 ． ‎ ‎13．如图，圆内的正弦曲线 与轴围成的区域记为 (图中阴影部分)，随机 往圆内投一个点，则点落在区域内的 概率是 ．‎ ‎14．集合 ‎ 现给出下列函数：①，②，③，④，‎ ‎ 若 时，恒有则所有满足条件的函数的编号是 ．‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ 在中，角，，所对应的边分别为，，，且．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，求的面积.‎ ‎（本小题满分13分）‎ ‎ 甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，每人分别进行三次投篮．‎ ‎ （Ⅰ）记甲投中的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ；‎ ‎ （Ⅱ）求乙至多投中2次的概率；‎ ‎ （Ⅲ）求乙恰好比甲多投进2次的概率．‎ ‎17 ．（本小题满分14分）‎ C1‎ A1‎ C B1‎ A B D ‎ 如图，三棱柱中，⊥面，， ，为的中点.‎ ‎ （Ⅰ）求证：；‎ ‎　 （Ⅱ）求二面角的余弦值；‎ ‎ （Ⅲ）在侧棱上是否存在点，使得 ‎？请证明你的结论.‎ ‎18．（本小题满分14分）‎ 已知函数.‎ ‎ （Ⅰ）若函数的图象在处的切线斜率为，求实数的值；‎ ‎ （Ⅱ）求函数的单调区间；‎ ‎ （Ⅲ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.‎ ‎19．（本小题满分13分）‎ ‎ 已知椭圆（）右顶点与右焦点的距离为， 短轴长为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程； ‎ ‎（Ⅱ）过左焦点的直线与椭圆分别交于、两点，若三角形的 面积为，求直线的方程．‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ ‎ 若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点()在函数的图像上，其中n 为正整数．‎ ‎ （Ⅰ）证明数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；‎ ‎（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前n项之积为，即 ，求数列的通项及关于的表达式；‎ ‎（Ⅲ）记 ，求数列的前项和，并求使 的的最小值．‎ ‎2012年石景山区高三统一测试高三数学（理科）参考答案 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． ‎ 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ 答案 ‎ ‎ ‎ ①②④‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）因为，由正弦定理，得 ‎ ． …………2分 ‎ ∴ ．……4分 ‎ ∵ , ∴， ‎ ‎ ∴ ． 又∵　 ， ∴ ． …………6分 ‎（Ⅱ）由正弦定理，得， …………8分 ‎ 由 可得，由，可得 ‎ ， …………11分 ‎ ∴． …………13分 ‎16．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）的可能取值为：0，1，2，3． …………1分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的分布列如下表：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ …………4分 ‎ ． …………5分 ‎ （Ⅱ）乙至多投中2次的概率为． …………8分 ‎ （Ⅲ）设乙比甲多投中2次为事件A，乙恰投中2次且甲恰投中0次为事件B1， 乙恰投中3次且甲恰投中1次为事件B2， 则为互斥事件． …………10分 ‎ ．‎ ‎ 所以乙恰好比甲多投中2次的概率为． …………13分 ‎17．（本小题满分14分）‎ ‎ （I）证明：连接B‎1C，与BC1相交于O，连接OD． …………1分 ‎ ∵BCC1B1是矩形，∴O是B‎1C的中点．‎ ‎ 又D是AC的中点，∴OD//AB1．‎ ‎ ∵AB1面BDC1，OD面BDC1，∴AB1//面BDC1． …………4分 A1‎ A C1‎ z x y C B1‎ B D ‎ （II）解：如图，建立空间直角坐标系，‎ ‎ 则C1（0，0，0），B（0，3，2），‎ ‎ C（0，3，0），A（2，3，0），‎ ‎ D（1，3，0）， ‎ ‎ ‎ ‎ ，， ‎ ‎…………5分 ‎ 设是面BDC1的一个法向量，则 即，取. …………7分 易知是面ABC的一个法向量. …………8分 ‎ .‎ ‎ ∴二面角C1—BD—C的余弦值为. …………9分 ‎ （III）假设侧棱AA1上存在一点P使得CP⊥面BDC1.‎ ‎ 设P（2，y，0）（0≤y≤3），则 ， …………10分 ‎ 则，即. …………12分 ‎ 解之∴方程组无解. …………13分 ‎ ∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1. …………14分 ‎18．（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ） …………1分 ‎ 由已知，解得. …………3分 ‎（II）函数的定义域为.‎ ‎（1）当时, ，的单调递增区间为； ……5分 ‎（2）当时. ‎ ‎ 当变化时，的变化情况如下：‎ ‎-‎ ‎+‎ 极小值 ‎ 由上表可知，函数的单调递减区间是；‎ ‎ 单调递增区间是. …………8分 ‎ （II）由得，…………9分 ‎ 由已知函数为上的单调减函数，‎ 则在上恒成立，‎ 即在上恒成立.‎ ‎ 即在上恒成立. …………11分 令，在上，‎ 所以在为减函数. ,‎ ‎ 所以. …………14分 ‎19．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）由题意， -------1分 ‎ 解得. ------------2分 ‎ ‎ 即：椭圆方程为 ------------3分 ‎ ‎ （Ⅱ）当直线与轴垂直时，，‎ ‎ 此时不符合题意故舍掉； -----------4分 ‎ 当直线与轴不垂直时，设直线 的方程为：，‎ ‎ 代入消去得：. ------------6分 ‎ 设 ，则， -----------7分 所以 . ------------9分 原点到直线的距离，‎ 所以三角形的面积.‎ 由， ------------12分 所以直线或. ---------13分 ‎20．（本小题满分13分）‎ 解：（I）因为 ‎ 所以数列是“平方递推数列” . --------2分 ‎ 由以上结论， 所以数列为首项是公比为2的等比数列. --------3分 ‎ （II），‎ ‎ . --------5分 ‎ ，‎ ‎ . --------7分 ‎（III）‎ ‎ . --------10分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ . --------13分 ‎[注：若有其它解法，请酌情给分]‎ 北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习（一）‎ 数学 （理科）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共40分）‎ 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎（1）若，，是虚数单位，且，则的值为 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）若集合，，则“”是“”的 ‎ （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎ ‎（3）若实数，满足不等式组则的最小值为 ‎ （A） （B） （C） （D） ‎ ‎（4）右图给出的是计算的一个程序框图，‎ ‎ 其中判断框内应填入的条件是 ‎ （A） （B） （C） （D） ‎ ‎（5）某小区有排成一排的个车位，现有辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的个车位连在一起， 那么不同的停放方法的种数为 ‎ （A）16 （B）18 （C）24 （D）32‎ ‎（6）已知，，，若，，，，成等比数列，则的值为 C ‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（7）在直角梯形中，已知∥，，，，，若为的中点，则的值为 （A） （B） （C） （D）‎ ‎（8）已知函数若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 第Ⅱ卷（共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎（9）命题“”的否定是 .‎ ‎（10）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为 ． ‎ ‎（11）在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是 ；若从甲、乙两组数据中 分别去掉一个最大数和一个最小数后，两组数据的平均数中较大 的一组是 组．‎ ‎（12）如图，是⊙的直径，直线切⊙于点，且与延长线交于 点，若，，则= ．‎ ‎（13）抛物线的准线方程为 ；经过此抛物线的焦点是和点，且 与准线相切的圆共有 个．‎ ‎（14）如图，在边长为的正方形中，点在上，正方形 以为轴逆时针旋转角 到的位置 ，同时点沿着从点运动到点，‎ ‎，点在上，在运动过程中点始终 满足，记点在面上的射影为，则 在运动过程中向量与夹角的正切的最大值为 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎（15）（本小题共13分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）若函数的图象是由的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当[,]时，求的最大值和最小值.‎ ‎ ‎ ‎（16）（本小题共13分）‎ ‎ 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为，二等品率为；乙产品的一等品率为，二等品率为.生产件甲产品，若是一等品，则获利万元，若是二等品，则亏损万元；生产件乙产品，若是一等品，则获利万元，若是二等品，则亏损万元.两种产品生产的质量相互独立.‎ ‎（Ⅰ）设生产件甲产品和件乙产品可获得的总利润为（单位：万元），求的分布列；‎ ‎（Ⅱ）求生产件甲产品所获得的利润不少于万元的概率.‎ ‎（17）（本小题共13分）‎ 如图1，在边长为的正三角形中，，，分别为，，上的点，且满足.将△沿折起到△的位置，使二面角成直二面角，连结，.（如图2）‎ ‎（Ⅰ）求证：⊥平面；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2 ‎ ‎(18)（本小题共14分）‎ 已知函数在处的切线斜率为零．‎ ‎（Ⅰ）求和的值；‎ ‎（Ⅱ）求证：在定义域内恒成立；‎ ‎(Ⅲ) 若函数有最小值，且，求实数的取值范围.‎ ‎（19）（本小题共13分）‎ 已知椭圆：的离心率是，其左、右顶点分别为，，为短轴的端点，△的面积为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）为椭圆的右焦点，若点是椭圆上异于，的任意一点，直线，与直线分别交于，两点，证明：以为直径的圆与直线相切于点．‎ ‎（20）（本小题共14分）‎ 若对于正整数,表示的最大奇数因数，例如，.设． ‎ ‎（Ⅰ）求,的值；（Ⅱ）求，，的值；（Ⅲ）求数列的通项公式．‎ 北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习（一）‎ 数学参考答案及评分标准 （理科）‎ 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎（1）D （2）A （3）A（4）B （5）C （6）C （7）D （8）A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎（9） （10） （11）84 乙（12） （13） （14）‎ 注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80分）‎ ‎（15）解：（Ⅰ）因为 , 所以函数的最小正周期为. ‎ ‎（Ⅱ）依题意,[]. 因为，所以. 当，即时，取最大值；当，即时， 取最小值. ‎ ‎（16）解：（Ⅰ）由题设知，的可能取值为，，，. ， ‎ ‎ ，， . ‎ ‎ 由此得的分布列为：‎ ‎（Ⅱ）设生产的件甲产品中一等品有件，则二等品有件.由题设知，解得，‎ 又，得，或. 所求概率为.（或写成）‎ 答：生产件甲产品所获得的利润不少于万元的概率为.‎ ‎（17）（共13分）‎ ‎（Ⅰ）证明：取中点，连结.‎ 因为，，‎ 所以，而，即△是正三角形.‎ 又因为, 所以. …………2分 所以在图2中有，.…………3分 所以为二面角的平面角. 又二面角为直二面角，　所以.又因为,　所以⊥平面,即⊥平面. ‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知⊥平面，，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，‎ 则，，，.‎ 在图１中，连结.因为，‎ 所以∥，且.‎ 所以四边形为平行四边形.所以∥，且.‎ 故点的坐标为（1，，0）. 所以， ，. ‎ 不妨设平面的法向量，则即令，得.　 ‎ 所以. 故直线与平面所成角的大小为. ‎ ‎（18）（Ⅰ）解：. 由题意有即，解得或（舍去）．‎ 得即，解得．‎ ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知， ．‎ 在区间上，有；在区间上，有． 故在单调递减，在单调递增，‎ 于是函数在上的最小值是．故当时，有恒成立．‎ ‎(Ⅲ)解： ．‎ 当时，则，当且仅当时等号成立，‎ 故的最小值，符合题意； ‎ 当时，函数在区间上是增函数，不存在最小值，不合题意；‎ 当时，函数在区间上是增函数，不存在最小值，不合题意．‎ 综上，实数的取值范围是． ‎ ‎（19）（Ⅰ）解：由已知 ‎ ‎ 解得，．故所求椭圆方程为．‎ ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，，．‎ 设，则．于是直线方程为 ，令，得；‎ 所以，同理． 所以，.‎ 所以 ‎ ‎ 所以 ，点在以为直径的圆上． ‎ ‎ 设的中点为，则．又，‎ 所以 ‎．所以 ．‎ 因为是以为直径的圆的半径，为圆心，，故以为直径的圆与直线相切于右焦点． ‎ ‎（20）解：（Ⅰ），． （Ⅱ）； ‎ ‎；‎ ‎．‎ ‎ (Ⅲ)由（Ⅰ）（Ⅱ）不难发现对， 有．所以当时，‎ ‎ 于是，．‎ 所以 ‎ ‎，． 又，满足上式， 所以对，． ‎ 海淀区高三年级第二学期期中练习 ‎ 数 学（理科）‎ ‎2012.04‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎（1）已知集合，，且，那么的值可以是 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）在等比数列中，，则=‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）在极坐标系中，过点且平行于极轴的直线的极坐标方程是 ‎（A） （B）‎ 开始 n=5，k=0‎ n为偶数 n=1‎ 输出k 结束 k=k+1‎ 是 否 是 否 ‎（C） （D）‎ ‎（4）已知向量，若与垂直，则 ‎（A） （B） ‎ ‎（C）2 （D）4‎ ‎（5）执行如图所示的程序框图，输出的值是 ‎（A）4 （B）5 ‎ ‎（C）6 （D）7 ‎ ‎（6）从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是 ‎ ‎（A）12 （B）24 ‎ ‎（C）36 （D）48‎ ‎（7）已知函数 若，使得成立，则实数的取值范围是 ‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）或 ‎（8）在正方体中，若点（异于点）是棱上一点，则满足与所成的角为的点的个数为 ‎ ‎（A）0 （B）3 ‎ ‎（C）4 （D）6‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.‎ ‎（9）复数在复平面内所对应的点在虚轴上，那么实数= . ‎ ‎（10）过双曲线的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 . ‎ ‎（11）若，则= . ‎ ‎（12）设某商品的需求函数为，其中分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性大于1（其中，是的导数），则商品价格的取值范围是 . ‎ ‎（13）如图，以的边为直径的半圆交于点，交于点，于点，，，那么= ，= . ‎ ‎（14）已知函数则 ‎（ⅰ）= ；‎ ‎（ⅱ）给出下列三个命题：‎ ‎①函数是偶函数；‎ ‎②存在，使得以点为顶点的三角形是等腰直角三角形；‎ ‎③存在，使得以点为顶点的四边形为菱形. ‎ 其中，所有真命题的序号是 . ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎（15）（本小题满分13分）‎ 在中，角，，的对边分别为，且，， 成等差数列.‎ ‎（Ⅰ）若，，求的值；‎ ‎（Ⅱ）设，求的最大值.‎ ‎ (16)（本小题满分14分）‎ 在四棱锥中，//，，，平面，. ‎ ‎（Ⅰ）设平面平面，求证：//； ‎ ‎（Ⅱ）求证：平面；‎ ‎（Ⅲ）设点为线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．‎ ‎ (17)（本小题满分13分）‎ 某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，.‎ ‎（Ⅰ）求直方图中的值；‎ ‎（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；‎ ‎（Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为，求的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）‎ ‎(18)（本小题满分13分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数，使得函数的极大值等于？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎(19)（本小题满分13分）‎ 在平面直角坐标系中，椭圆的中心为坐标原点，左焦点为， 为椭圆的上顶点，且.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）已知直线：与椭圆交于，两点，直线：（）与椭圆交于，两点，且，如图所示.‎ ‎（ⅰ）证明：;‎ ‎（ⅱ）求四边形的面积的最大值.‎ ‎ (20)（本小题满分14分）‎ 对于集合M，定义函数对于两个集合M，N，定义集合. 已知，.‎ ‎（Ⅰ）写出和的值，并用列举法写出集合；‎ ‎（Ⅱ）用Card(M)表示有限集合M所含元素的个数，求的最小值；‎ ‎（Ⅲ）有多少个集合对（P，Q），满足，且？‎ ‎ 海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学（理科）‎ 参考答案及评分标准 2012．04‎ 一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.‎ 题号 ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ ‎（5）‎ ‎（6）‎ ‎（7）‎ ‎（8）‎ 答案 D B A C B D ‎ A B 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎（9） （10） （11） （12） ‎ ‎（13）60° （14） ①③‎ 三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎（15）（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）因为成等差数列，‎ ‎ 所以.‎ ‎ 因为，‎ ‎ 所以. ………………………………………2分 ‎ 因为，，，‎ ‎ 所以. ………………………………………5分 所以或（舍去）. ………………………………………6分 ‎ （Ⅱ）因为，‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ . ………………………………………10分 ‎ 因为，‎ ‎ 所以.‎ ‎ 所以当，即时，有最大值.‎ ‎………………………………………13分 ‎ (16)（本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）证明： 因为//，平面，平面，‎ 所以//平面. ………………………………………2分 因为平面，平面平面，‎ 所以//. ………………………………………4分 ‎（Ⅱ）证明：因为平面，，所以以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，‎ 则，，，. ‎ ‎………………………………………5分 所以 ，，‎ ‎，‎ 所以，‎ ‎.‎ 所以 ，. ‎ 因为 ，平面，‎ 平面，‎ 所以 平面. ‎ ‎………………………………………9分 ‎（Ⅲ）解：设（其中），，直线与平面所成角为.‎ 所以 .‎ 所以 .‎ 所以 即. ‎ 所以 . ………………………………………11分 由（Ⅱ）知平面的一个法向量为.‎ ‎………………………………………12分 因为 ，‎ 所以 .‎ 解得 .‎ 所以 . ………………………………………14分 ‎(17)（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）由直方图可得：‎ ‎.‎ 所以 . ………………………………………2分 ‎（Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：‎ ‎， ………………………………………4分 因为，‎ 所以600名新生中有72名学生可以申请住宿. ‎ ‎………………………………………6分 ‎（Ⅲ）的可能取值为0，1，2，3，4. ………………………………………7分 由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为，‎ ‎, ,‎ ‎,,‎ ‎. ‎ 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎………………………………………12分 ‎.（或）‎ 所以的数学期望为1. ………………………………………13分 ‎ (18)（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）的定义域为.‎ ‎ ，‎ 即 . ………………………………………2分 令，解得：或. ‎ 当时，，故的单调递增区间是.‎ ‎ ………………………………………3分 当时，‎ ‎，随的变化情况如下：‎ 极大值 极小值 所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.‎ ‎………………………………………5分 当时，‎ ‎，随的变化情况如下：‎ 极大值 极小值 所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.‎ ‎………………………………………7分 ‎（Ⅱ）当时，的极大值等于. 理由如下：‎ ‎ 当时，无极大值.‎ 当时，的极大值为， ‎ ‎………………………………………8分 令，即 解得 或（舍）.‎ ‎ ………………………………………9分 ‎ 当时，的极大值为. ‎ ‎………………………………………10分 因为 ，， ‎ 所以 .‎ 因为 ，‎ 所以 的极大值不可能等于. ………………………………………12分 综上所述，当时，的极大值等于.‎ ‎………………………………………13分 ‎ (19)（本小题满分13分）‎ ‎（Ⅰ）解：设椭圆的标准方程为.‎ ‎ 因为，，‎ 所以.‎ 所以 . ………………………………………2分 所以 椭圆的标准方程为. ………………………………………3分 ‎（Ⅱ）设，，，.‎ ‎（ⅰ）证明：由消去得：.‎ 则，‎ ‎ ………………………………………5分 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ 同理 . ………………………………………7分 因为 ,‎ 所以 .‎ 因为 ，‎ 所以 . ………………………………………9分 ‎（ⅱ）解：由题意得四边形是平行四边形，设两平行线间的距离为,则 .‎ 因为 ，‎ 所以 . ………………………………………10分 所以 ‎ ‎.‎ ‎（或）‎ 所以 当时， 四边形的面积取得最大值为. ‎ ‎ ………………………………………13分 ‎ (20)（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ），，. ‎ ‎………………………………………3分 ‎（Ⅱ）根据题意可知：对于集合，①若且，则；②若且，则.‎ 所以 要使的值最小，2，4，8一定属于集合；1，6，10，16是否属于不影响的值；集合不能含有之外的元素.‎ 所以 当为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时，取到最小值4. ………………………………………8分 ‎（Ⅲ）因为 ，‎ 所以 .‎ 由定义可知：.‎ 所以 对任意元素，，‎ ‎ .‎ 所以 .‎ 所以 . ‎ 由 知：.‎ 所以 .‎ 所以 .‎ 所以 ，即.‎ 因为 ，‎ 所以 满足题意的集合对（P，Q）的个数为.‎ ‎………………………………………14分 北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习（一）‎ 数学 （理科）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共40分）‎ 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎（1）若，，是虚数单位，且，则的值为 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）若集合，，则“”是“”的 ‎ （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎ ‎（3）若实数，满足不等式组则的最小值为 ‎ （A） （B） （C） （D） ‎ ‎（4）右图给出的是计算的一个程序框图，‎ ‎ 其中判断框内应填入的条件是 ‎ （A） （B） （C） （D） ‎ ‎（5）某小区有排成一排的个车位，现有辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的个车位连在一起， 那么不同的停放方法的种数为 ‎ （A）16 （B）18 （C）24 （D）32‎ ‎（6）已知，，，若，，，，成等比数列，则的值为 C ‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（7）在直角梯形中，已知∥，，，，，若为的中点，则的值为 （A） （B） （C） （D）‎ ‎（8）已知函数若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 第Ⅱ卷（共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎（9）命题“”的否定是 .‎ ‎（10）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为 ． ‎ ‎（11）在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是 ；若从甲、乙两组数据中 分别去掉一个最大数和一个最小数后，两组数据的平均数中较大 的一组是 组．‎ ‎（12）如图，是⊙的直径，直线切⊙于点，且与延长线交于 点，若，，则= ．‎ ‎（13）抛物线的准线方程为 ；经过此抛物线的焦点是和点，且 与准线相切的圆共有 个．‎ ‎（14）如图，在边长为的正方形中，点在上，正方形 以为轴逆时针旋转角 到的位置 ，同时点沿着从点运动到点，‎ ‎，点在上，在运动过程中点始终 满足，记点在面上的射影为，则 在运动过程中向量与夹角的正切的最大值为 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎（15）（本小题共13分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）若函数的图象是由的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当[,]时，求的最大值和最小值.‎ ‎ ‎ ‎（16）（本小题共13分）‎ ‎ 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为，二等品率为；乙产品的一等品率为，二等品率为.生产件甲产品，若是一等品，则获利万元，若是二等品，则亏损万元；生产件乙产品，若是一等品，则获利万元，若是二等品，则亏损万元.两种产品生产的质量相互独立.‎ ‎（Ⅰ）设生产件甲产品和件乙产品可获得的总利润为（单位：万元），求的分布列；‎ ‎（Ⅱ）求生产件甲产品所获得的利润不少于万元的概率.‎ ‎（17）（本小题共13分）‎ 如图1，在边长为的正三角形中，，，分别为，，上的点，且满足.将△沿折起到△的位置，使二面角成直二面角，连结，.（如图2）‎ ‎（Ⅰ）求证：⊥平面；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2 ‎ ‎(18)（本小题共14分）‎ 已知函数在处的切线斜率为零．‎ ‎（Ⅰ）求和的值；‎ ‎（Ⅱ）求证：在定义域内恒成立；‎ ‎(Ⅲ) 若函数有最小值，且，求实数的取值范围.‎ ‎（19）（本小题共13分）‎ 已知椭圆：的离心率是，其左、右顶点分别为，，为短轴的端点，△的面积为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）为椭圆的右焦点，若点是椭圆上异于，的任意一点，直线，与直线分别交于，两点，证明：以为直径的圆与直线相切于点．‎ ‎（20）（本小题共14分）‎ 若对于正整数,表示的最大奇数因数，例如，.设． ‎ ‎（Ⅰ）求,的值；（Ⅱ）求，，的值；（Ⅲ）求数列的通项公式．‎ 北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习（一）‎ 数学参考答案及评分标准 （理科）‎ 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎（1）D （2）A （3）A（4）B （5）C （6）C （7）D （8）A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎（9） （10） （11）84 乙（12） （13） （14）‎ 注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80分）‎ ‎（15）解：（Ⅰ）因为 , 所以函数的最小正周期为. ‎ ‎（Ⅱ）依题意,[]. 因为，所以. 当，即时，取最大值；当，即时， 取最小值. ‎ ‎（16）解：（Ⅰ）由题设知，的可能取值为，，，. ， ‎ ‎ ，， . ‎ ‎ 由此得的分布列为：‎ ‎（Ⅱ）设生产的件甲产品中一等品有件，则二等品有件.由题设知，解得，‎ 又，得，或. 所求概率为.（或写成）‎ 答：生产件甲产品所获得的利润不少于万元的概率为.‎ ‎（17）（共13分）‎ ‎（Ⅰ）证明：取中点，连结.‎ 因为，，‎ 所以，而，即△是正三角形.‎ 又因为, 所以. …………2分 所以在图2中有，.…………3分 所以为二面角的平面角. 又二面角为直二面角，　所以.又因为,　所以⊥平面,即⊥平面. ‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知⊥平面，，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，‎ 则，，，.‎ 在图１中，连结.因为，‎ 所以∥，且.‎ 所以四边形为平行四边形.所以∥，且.‎ 故点的坐标为（1，，0）. 所以， ，. ‎ 不妨设平面的法向量，则即令，得.　 ‎ 所以. 故直线与平面所成角的大小为. ‎ ‎（18）（Ⅰ）解：. 由题意有即，解得或（舍去）．‎ 得即，解得．‎ ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知， ．‎ 在区间上，有；在区间上，有． 故在单调递减，在单调递增，‎ 于是函数在上的最小值是．故当时，有恒成立．‎ ‎(Ⅲ)解： ．‎ 当时，则，当且仅当时等号成立，‎ 故的最小值，符合题意； ‎ 当时，函数在区间上是增函数，不存在最小值，不合题意；‎ 当时，函数在区间上是增函数，不存在最小值，不合题意．‎ 综上，实数的取值范围是． ‎ ‎（19）（Ⅰ）解：由已知 ‎ ‎ 解得，．故所求椭圆方程为．‎ ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，，．‎ 设，则．于是直线方程为 ，令，得；‎ 所以，同理． 所以，.‎ 所以 ‎ ‎ 所以 ，点在以为直径的圆上． ‎ ‎ 设的中点为，则．又，‎ 所以 ‎．所以 ．‎ 因为是以为直径的圆的半径，为圆心，，故以为直径的圆与直线相切于右焦点． ‎ ‎（20）解：（Ⅰ），． （Ⅱ）； ‎ ‎；‎ ‎．‎ ‎ (Ⅲ)由（Ⅰ）（Ⅱ）不难发现对， 有．所以当时，‎ ‎ 于是，．‎ 所以 ‎ ‎，． 又，满足上式， 所以对，． ‎ 祝各位童鞋取得理想成绩！‎