高考理科数学全国卷Ⅰ试题及答案

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高考理科数学全国卷Ⅰ试题及答案

‎2009年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷I理科数学(必修+选修Ⅱ)‎ ‎ 本试卷分第。卷(选择题)和第。卷(非选择题)两部分.第。卷1至2页,第。卷3至4页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.‎ 第Ⅰ卷 考生注意:‎ ‎ 1.答题前,考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.‎ ‎ 2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.‎ ‎ 3.本卷共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ 参考公式:‎ ‎ 如果事件互斥,那么 球的表面积公式 ‎ ‎ ‎ 如果事件相互独立,那么 其中表示球的半径 ‎ 球的体积公式 ‎ 如果事件在一次试验中发生的概率是,那么 ‎ ‎ 次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径 一、选择题 ‎【2009/理/1】 设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AB,则集合中的元素共有(A)‎ ‎(A)3个 (B)4个 (C)5个 (D)6个 ‎ 解:,故选A。也可用摩根律:‎ ‎【2009/理/2】已知=2+i,则复数z=(B ) ‎ ‎(A)-1+3i (B)1-3i(C)3+i(D)3-i 解: 故选B。 ‎ ‎【2009/理/3】不等式<1的解集为( D )‎ ‎(A){x (B)‎ ‎(C) (D) ‎ 解:验x=-1即可。 ‎ ‎【2009/理/4】设双曲线(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2 +1相切,则该双曲线的离心率等于( C )‎ ‎(A)(B)2(C) (D) ‎ 解:设切点,则切线的斜率为.由题意有又 解得: . ‎ ‎【2009/理/5】甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D )‎ ‎(A)150种 (B)180种 (C)300种 (D)345种 ‎ 解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有种选法; ‎ ‎ (2) 乙组中选出一名女生有种选法.故共有345种选法.选D ‎【2009/理/6】设、、是单位向量,且·=0,则的最小值为 ( D )‎ ‎(A)(B) (C) (D)‎ 解: 是单位向量 ‎ 故选D.‎ ‎【2009/理/7】已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,‎ 在底面上的射影为的中点,则异面直线与所成的角的余弦值为( D )‎ ‎(A)(B)(C) (D) ‎ 解:设的中点为D,连结D,AD,易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理,易知.故选D ‎ ‎【2009/理/8】如果函数的图像关于点中心对称,那么的最小值为(A)(A) (B) (C) (D) ‎ 解: 函数的图像关于点中心对称 ‎ 由此易得.故选A ‎【2009/理/9】已知直线y=x+1与曲线相切,则α的值为( B ) ‎ ‎(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2‎ 解:设切点,则,又 ‎.故答案选B ‎ ‎【2009/理/10】已知二面角α-l-β为 ,动点P、Q分别在面α、β内,P到β的距离为,Q到α的距离为,则P、Q两点之间距离的最小值为( C )‎ ‎(A) (B)2 (C) (D)4 ‎ 解:如图分别作 ‎ ‎,连 ‎,‎ 又 当且仅当,即重合时取最小值。故答案选C。 ‎ ‎【2009/理/11】函数的定义域为R,若与都是奇函数,则( D ) ‎ ‎(A) 是偶函数 (B) 是奇函数 (C) (D) 是奇函数 解: 与都是奇函数,,‎ 函数关于点,及点对称,函数是周期的周期函数.,,即是奇函数。故选D ‎【2009/理/12】已知椭圆的右焦点为,右准线为,点,线段交于点,若,则=‎ ‎(A). (B). 2 (C). (D). 3 ‎ 解:过点B作于M,并设右准线与X轴的交点为N,易知FN=1.由题意,故.又由椭圆的第二定义,得.故选A ‎ 第II卷 二、填空题: ‎ ‎【2009/理/13】的展开式中,的系数与的系数之和等于 。‎ 解: ‎ ‎【2009/理/14】设等差数列的前项和为,若,则= 。‎ 解: 是等差数列,由,得 ‎. ‎ ‎【2009/理/15】直三棱柱的各顶点都在同一球面上,若,,则此球的表面积等于 。 ‎ 解:在中,,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为,球心为,在中,易得球半径 ‎,故此球的表面积为. ‎ ‎【2009/理/16】若,则函数的最大值为 。‎ 解:令, ‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。‎ ‎【2009/理/17】(本小题满分10分)(注意:在试题卷上作答无效)‎ 在中,内角A、B、C的对边长分别为、、,已知,且 求b ‎ 分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.‎ 解法一:在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得:.又由已知.解得. ‎ 解法二:由余弦定理得: .又,。‎ 所以…………………………………①‎ 又,‎ ‎,即 由正弦定理得,故………………………②‎ 由①,②解得。‎ 评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒:两纲中明确不再考的知识和方法了解就行,不必强化训练。www.ks5u.com ‎【2009/理/18】(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)‎ 如图,四棱锥中,底面为矩形,底面, ,点M在侧棱上,=60°‎ ‎(I)证明:M在侧棱的中点 ‎(II)求二面角的大小。‎ ‎(I)解法一:作∥交于N,作交于E,‎ 连ME、NB,则面,,‎ 设,则,‎ 在中,。‎ 在中由 解得,从而 M为侧棱的中点M. ‎ 解法二:过作的平行线.‎ 解法三:利用向量处理. 详细可见09年高考参考答案. ‎ ‎(II)分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。‎ 过作∥交于,作交于,作交于,则∥,面,面面,面即为所求二面角的补角.‎ 分析二:利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点,则点为AM的中点,取SA的中点G,连GF,易证,则即为所求二面角.‎ 分析三:利用空间向量求。在两个半平面内分别与交线AM垂直的两个向量的夹角即可。‎ 另外:利用射影面积或利用等体积法求点到面的距离等等,这些方法也能奏效。‎ 总之在目前,立体几何中的两种主要的处理方法:传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会照顾双方的利益。‎ ‎【2009/理/19】(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)‎ ‎ 甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,比赛结束,假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立,已知前2局中,甲、乙各胜1局。‎ ‎ (I)求甲获得这次比赛胜利的概率;‎ ‎ (II)设表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数,求得分布列及数学期望。‎ 分析:本题较常规,比08年的概率统计题要容易。‎ 需提醒的是:认真审题是前提,部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分,这是很可惜的,主要原因在于没读懂题。‎ 另外,还要注意表述,这也是考生较薄弱的环节。‎ ‎【2009/理/20】(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)‎ 在数列中,‎ ‎ (I)设,求数列的通项公式 ‎ (II)求数列的前项和 分析:(I)由已知有 ‎ 利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()‎ ‎(II)由(I)知,‎ ‎=‎ 而,又是一个典型的错位相减法模型,‎ 易得 =‎ 评析:09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n项和,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。‎ ‎【2009/理/21】(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)‎ ‎ 如图,已知抛物线与圆相交于、、、四个点。‎ ‎ (I)求得取值范围;‎ ‎ (II)当四边形的面积最大时,求对角线、的交点坐标 分析:(I)这一问学生易下手。将抛物线与圆的方程联立,消去,整理得.............(*)‎ 抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是:方程(*)有两个不相等的正根即可.易得.考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以.‎ ‎(II)考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的 方法处理本小题是一个较好的切入点.‎ ‎ 设四个交点的坐标分别为、、、。‎ 则由(I)根据韦达定理有,‎ 则 ‎ ‎ 令,则 下面求的最大值。‎ 方法一:利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求,但在处理一些最值问题有时很方便。它的主要手段是配凑系数或常数,但要注意取等号的条件,这和二次均值类似。‎ ‎ ‎ ‎ 当且仅当,即时取最大值。经检验此时满足题意。‎ 方法二:利用求导处理,这是命题人的意图。具体解法略。‎ 下面来处理点的坐标。设点的坐标为:‎ 由三点共线,则得。‎ 以下略。‎ ‎【2009/理/22】本小题满分12分。(注意:在试题卷上作答无效)‎ 设函数在两个极值点,且 ‎(I)求满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些条件的点的区域;‎ ‎(II)证明:‎ 分析(I)这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。‎ 大部分考生有思路并能够得分。由题意知方程有两个根 则有 故有 ‎ 右图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。‎ ‎(II)这一问考生不易得分,有一定的区分度。主要原因是含字母较多,不易找到突破口。此题主要利用消元的手段,消去目标中的,(如果消会较繁琐)再利用的范围,并借助(I)中的约束条件得进而求解,有较强的技巧性。‎ 解: 由题意有............①‎ 又.....................②‎ ‎   消去可得.‎ 又,且 ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ www.ks5u.com
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