2013年(全国卷II)高考理科数学

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2013年(全国卷II)高考理科数学

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试(2新课标Ⅱ卷)‎ 数学(理)试题 一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)‎ ‎1.已知集合M={x|(x-1)2<4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则M∩N=(  ).‎ A.{0,1,2} B.{-1,0,1,2} C.{-1,0,2,3} D.{0,1,2,3}‎ ‎2.设复数z满足(1-i)z=2i,则z=(  ).‎ A.-1+i B.-1-i C.1+i D.1-i ‎3.等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=(  ).‎ A. B. C. D.‎ ‎4.已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,lα,lβ,则(  ).‎ A.α∥β且l∥α ‎ ‎ B.α⊥β且l⊥β C.α与β相交,且交线垂直于l ‎ D.α与β相交,且交线平行于l ‎5.已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=(  ).‎ A.-4 B.-3 C.-2 D.-1‎ ‎6.执行下面的程序框图,如果输入的N=10,那么输出的S=(  ).‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎7.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为(  ).‎ ‎8.设a=log36,b=log510,c=log714,则(  ).‎ A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c ‎9.已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a=(  ).‎ A. B. C.1 D.2‎ ‎10.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是(  ).‎ A.x0∈R,f(x0)=0‎ B.函数y=f(x)的图像是中心对称图形 C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单调递减 D.若x0是f(x)的极值点,则f′(x0)=0‎ ‎11.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为(  ).‎ A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x ‎12.已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是(  ).‎ A.(0,1) B. C. D.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.‎ ‎13.已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则=__________.‎ ‎14.从n个正整数1,2,…,n中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为,则n=__________.‎ ‎15.设θ为第二象限角,若,则sin θ+cos θ=__________.‎ ‎16.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为__________.‎ 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17. (本小题满分12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B.‎ ‎(1)求B;‎ ‎(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.‎ ‎18. (本小题满分12分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点,AA1=AC=CB=.‎ ‎(1)证明:BC1∥平面A1CD;‎ ‎(2)求二面角D-A1C-E的正弦值.‎ ‎19. (本小题满分12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t该产品获利润500元,未售出的产品,每1 t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品.以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.‎ ‎(1)将T表示为X的函数;‎ ‎(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率;‎ ‎(3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量X∈[100,110),则取X=105,且X=105的概率等于需求量落入[100,110)的频率),求T的数学期望.‎ ‎20. (本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:(a>b>0)右焦点的直线交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.‎ ‎(1)求M的方程;‎ ‎(2)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.‎ ‎21. (本小题满分12分)已知函数f(x)=ex-ln(x+m).‎ ‎(1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;‎ ‎(2)当m≤2时,证明f(x)>0.‎ ‎22. (本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲 如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC·AE=DC·AF,B,E,F,C四点共圆.‎ ‎(1)证明:CA是△ABC外接圆的直径;‎ ‎(2)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.‎ ‎23. (本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.‎ ‎(1)求M的轨迹的参数方程;‎ ‎(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.‎ ‎24. (本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:‎ ‎(1)ab+bc+ac≤;‎ ‎(2).‎
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