2012高考数学分类汇编数列带详细答案

2012高考数学分类汇编数列带详细答案

‎2012高考数学《数列》部分汇总 ‎1. 安徽 4.公比为等比数列的各项都是正数，且，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎【解析】选 ‎2. （安徽21）（本小题满分13分）‎ ‎ 数列满足：‎ ‎ （I）证明：数列是单调递减数列的充分必要条件是 ‎ （II）求的取值范围，使数列是单调递增数列。‎ ‎【解析】（I）必要条件 ‎ 当时，数列是单调递减数列 ‎ 充分条件 ‎ 数列是单调递减数列 ‎ 得：数列是单调递减数列的充分必要条件是 ‎ （II）由（I）得：‎ ‎ ①当时，，不合题意 ‎ ②当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时，与同号，‎ 由 ‎ ‎ ‎ 当时，存在，使与异号 与数列是单调递减数列矛盾 得：当时，数列是单调递增数列 ‎3.北京8.某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高。m值为（ ）‎ A.5 B.7 C.9 D.11‎ ‎【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C。‎ ‎【答案】C ‎4.北京10．已知等差数列为其前n项和。若，，则=_______。‎ ‎【解析】因为，‎ 所以，。‎ ‎【答案】，‎ ‎5.北京20．（本小题共13分）‎ 设是由个实数组成的行列的数表，满足：每个数的绝对值不大于，且所有数的和为零. 记为所有这样的数表组成的集合. 对于，记为的第行各数之和（），为的第列各数之和（）；记为，，…，，，，…，中的最小值.‎ ‎（1）对如下数表，求的值；‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）设数表形如 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 求的最大值；‎ ‎（3）给定正整数，对于所有的，求的最大值.‎ 解：（1）由题意可知，，，，‎ ‎∴‎ ‎（2）先用反证法证明：‎ 若 则，∴‎ 同理可知，∴ ，由题目所有数和为 即 ∴ 与题目条件矛盾 ∴．‎ 易知当时，存在 ∴的最大值为1‎ ‎（3）的最大值为.‎ 首先构造满足的：‎ ‎，‎ ‎.‎ 经计算知，中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且 ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 下面证明是最大值. 若不然，则存在一个数表，使得.‎ 由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中. 由于，故的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于.‎ 设中有列的列和为正，有列的列和为负，由对称性不妨设，则. 另外，由对称性不妨设的第一行行和为正，第二行行和为负.‎ 考虑的第一行，由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于（即每个负数均不超过）. 因此，‎ 故的第一行行和的绝对值小于，与假设矛盾. 因此的最大值为。‎ ‎6.福建2等差数列中，，则数列的公差为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 考点：等差数列的定义。‎ 难度：易。‎ 分析：本题考查的知识点为复等差数列的通项公式。‎ 解答：。‎ ‎7.福建14.数列的通项公式，前项和为，则 ___________。【3018】‎ 考点：数列和三角函数的周期性。‎ 难度：中。‎ 分析：本题考查的知识点为三角函数的周期性和数列求和，所以先要找出周期，然后分组计算和。‎ 解答： ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ 所以。‎ 即。‎ ‎8.广东11. 已知递增的等差数列满足，则 ‎【解析】‎ ‎9.广东19.(本小题满分14分)‎ 设数列的前项和为，满足，且成等差数列。‎ ‎ （1）求的值；（2）求数列的通项公式。‎ ‎（3）证明：对一切正整数，有 ‎【解析】（1） 相减得：‎ ‎ ‎ ‎ 成等差数列 ‎ （2）得对均成立 ‎ ‎ ‎ 得：‎ ‎ （3）当时，‎ 当时，‎ ‎ 由上式得：对一切正整数，有 ‎10.湖北7．定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列， 仍 是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函 数：‎ ‎①； ②； ③； ④.‎ 则其中是“保等比数列函数”的的序号为 ‎ A． ‎① ② B．③ ④ C．① ③ D．② ④ ‎ 考点分析：本题考察等比数列性质及函数计算.‎ 难易度：★‎ 解析：等比数列性质，，①； ②；③；④.选C ‎11.湖北18．（本小题满分12分）‎ 已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.‎ ‎（Ⅰ）求等差数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，，成等比数列，求数列的前项和.‎ ‎18．解：‎ ‎（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，‎ 由题意得 解得或 ‎ 所以由等差数列通项公式可得 ‎，或.‎ 故，或. ‎ ‎（Ⅱ）当时，，，分别为，，，不成等比数列；‎ 当时，，，分别为，，，成等比数列，满足条件.‎ 故 ‎ 记数列的前项和为.‎ 当时，；当时，；‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎. 当时，满足此式.‎ 综上， ‎ ‎12湖南19.（本小题满分12分）‎ 已知数列{an}的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+……+an，B（n）=a2+a3+……+an+1，C（n）=a3+a4+……+an+2，n=1,2，…… [来^&源:中教网@~%]‎ （1） 若a1=1，a2=5，且对任意n∈N﹡，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{ an }的通项公式.‎ （2） 证明：数列{ an }是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列.‎ ‎【解析】‎ 解（１）对任意,三个数是等差数列，所以 ‎　　　　　　　　　　　　‎ 即亦即 故数列是首项为１，公差为４的等差数列.于是 ‎（Ⅱ）（１）必要性：若数列是公比为ｑ的等比数列，则对任意，有 由知，均大于０，于是 ‎　　　　‎ ‎　　　　‎ 即＝＝，所以三个数组成公比为的等比数列.‎ ‎（２）充分性：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，‎ 则　，‎ 于是得即 由有即，从而.‎ 因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，‎ 综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数组成公比为的等比数列.‎ ‎【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证.‎ ‎13.江苏6．（2012年江苏省5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ．【答案】。‎ ‎【考点】等比数列，概率。‎ ‎【解析】∵以1为首项，为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，-27，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8， ∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是。‎ ‎14.江苏20．（16分）已知各项均为正数的两个数列和满足：，，‎ ‎（1）设，，求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）设，，且是等比数列，求和的值．‎ ‎【答案】解：（1）∵，∴。 ∴ 。‎ ‎∴ 。∴数列是以1 为公差的等差数列。‎ ‎（2）∵，∴。‎ ‎ ∴。（﹡）‎ ‎ 设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明 ‎ 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。‎ ‎ 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。‎ ‎ ∴综上所述，。∴，∴。‎ ‎ 又∵，∴是公比是的等比数列。‎ ‎ 若，则，于是。‎ ‎ 又由即，得。‎ ‎ ∴中至少有两项相同，与矛盾。∴。‎ ‎ ∴。 ∴ 。‎ ‎【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。‎ ‎【解析】（1）根据题设和，求出，从而证明而得证。‎ ‎ （2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比。‎ 从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。‎ ‎15江西 12.设数列{an},{bn}都是等差数列，若a1+b1=7，a3+b3=21，则a5+b5=___________‎ ‎12. 35【解析】本题考查等差中项的性质及整体代换的数学思想 ‎ ‎（解法一）因为数列都是等差数列，所以数列也是等差数列.‎ 故由等差中项的性质，得，即，解得 ‎.‎ ‎（解法二）设数列的公差分别为,‎ 因为,‎ 所以.所以.‎ ‎【点评】对于等差数列的计算问题，要注意掌握基本量法这一通法，同时要注意合理使用等差数列的性质进行巧解. 体现考纲中要求理解等差数列的概念.来年需要等差数列的通项公式，前项和，等差中项的性质等.‎ ‎16.江西16.（本小题满分12分）‎ 已知数列{an}的前n项和,且Sn的最大值为8.‎ ‎（1）确定常数k，求an；‎ ‎（2）求数列的前n项和Tn。‎ ‎ 16.(本小题满分12分)‎ 解: （1）当时，取最大值，即，故，从而，又，所以 （1） 因为，‎ 所以 ‎17辽宁6. 在等差数列中，已知，则该数列前11项和 A．58 B．88 C．143 D．176‎ ‎【命题意图】本题主要考查等差数列通项公式和前项和公式，是简单题.‎ ‎【解析】，而，故选B.‎ ‎18辽宁14.已知等比数列为递增数列，且，则数列的通项公式____________．‎ ‎【命题意图】本题主要考查等比数列的通项公式及方程思想，是简单题.‎ ‎【解析】设等比数列的公比为，则由得，，解得，又由知，，所以，因为为递增数列，所以，‎ ‎19全国卷大纲版5．已知等差数列的前项和为，则数列的前100项和为 （ ） A． B． C． D．‎ 答案A ‎ ‎【命题意图】本试题主要考查等差数列的通项公式和前 项和的公式的运用，以及裂项求和的综合运用，通过已知中两项，得到公差与首项，得到数列的通项公式，并进一步裂项求和。‎ ‎【解析】由可得 ‎20全国卷大纲版22（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）‎ 函数。定义数列如下：是过两点的直线与轴交点的横坐标。‎ ‎（1）证明：；（2）求数列的通项公式。‎ 解：（1）为，故点在函数的图像上，故由所给出的两点，可知，直线斜率一定存在。故有 直线的直线方程为，令，可求得 所以下面用数学归纳法证明 当时，，满足 假设时，成立，则当时，，‎ 由即也成立 综上可知对任意正整数恒成立。‎ 下面证明 由 由，故有即 综上可知恒成立。‎ ‎（2）由得到该数列的一个特征方程即，解得或 ‎ ① ②‎ 两式相除可得,而 故数列是以为首项以为公比的等比数列[来源:Z.xx.k.Com]‎ ‎,故。‎ ‎【命题意图】本试题主要考查了数列的通项公式以及函数与数列相结全的综合运用。先从函数入手，表示直线方程，从而得到交点坐标，再运用数学归纳法进行证明，根据递推公式构造等比数列进而求得数列的通基。‎ ‎【点评】以函数为背景，引出点的坐标，并通过直线与坐标轴的交点得到数列的递推公式。既考查了直线方程，又考查了函数解析式，以及不等式的证明，试题比较综合，有一定的难度。做这类试题那就是根据已知条件，一步一步的翻译为代数式，化简得到要找的关系式即可。‎ ‎21山东（20）（本小题满分12分）‎ ‎ 在等差数列中，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列 的前项和．‎ ‎（20）解：（Ⅰ）因为是一个等差数列，‎ 所以，即．‎ 所以，数列的公差，‎ 所以，‎ ‎ （Ⅱ）对，若 ，‎ 则 ，因此 ，‎ 故得 （lb ylfx）‎ 于是 ‎ ‎22陕西17.（本小题满分12分）‎ 设的公比不为1的等比数列，其前项和为，且成等差数列．‎ ‎（1）求数列的公比； （2）证明：对任意，成等差数列．‎ ‎【解析】（1）设数列的公比为（）。‎ 由成等差数列，得，即。‎ 由得，解得，（舍去），所以。‎ ‎（2）证法一：对任意， ‎ ‎ ，‎ 所以，对任意，成等差数列。‎ 证法二：对任意，，‎ ‎，‎ ‎ ，‎ 因此，对任意，成等差数列。‎ ‎23上海 6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由正方体的棱长组成以为首项，为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，为公比的等比数列，因此， .‎ ‎【点评】‎ 本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.，属于中低档题.‎ ‎24上海18．设，，在中，正数的个数是（ ）‎ A．25 B．50 C．75 D．100‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.‎ ‎【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.‎ ‎25上海23．对于数集，其中，，定义向量集 ‎. 若对于任意，存在，使得，则称X 具有性质P. 例如具有性质P.‎ ‎ （1）若x＞2，且，求x的值；（4分）‎ ‎ （2）若X具有性质P，求证：1ÎX，且当xn＞1时，x1=1；（6分）‎ ‎ （3）若X具有性质P，且x1=1，x2=q（q为常数），求有穷数列的通 项公式.（8分）‎ ‎[解]（1）选取，Y中与垂直的元素必有形式. ……2分 ‎ 所以x=2b，从而x=4. ……4分 ‎ （2）证明：取.设满足.‎ ‎ 由得，所以、异号.‎ ‎ 因为-1是X中唯一的负数，所以、中之一为-1，另一为1，‎ 故1ÎX. ……7分 假设，其中，则.‎ 选取，并设满足，即，‎ 则、异号，从而、之中恰有一个为-1.‎ 若=-1，则2，矛盾；‎ 若=-1，则，矛盾.‎ 所以x1=1. ……10分 ‎ （3）[解法一]猜测，i=1, 2, …, n. ……12分 ‎ 记，k=2, 3, …, n.‎ ‎ 先证明：若具有性质P，则也具有性质P.‎ ‎ 任取，、Î.当、中出现-1时，显然有满足；‎ ‎ 当且时，、≥1.‎ ‎ 因为具有性质P，所以有，、Î，使得，‎ 从而和中有一个是-1，不妨设=-1.‎ 假设Î且Ï，则.由，得，与 Î矛盾.所以Î.从而也具有性质P. ……15分 现用数学归纳法证明：，i=1, 2, …, n.‎ 当n=2时，结论显然成立；‎ ‎ 假设n=k时，有性质P，则，i=1, 2, …, k；‎ ‎ 当n=k+1时，若有性质P，则 ‎ 也有性质P，所以.‎ ‎ 取，并设满足，即.由此可得s与t中有且只有一个为-1.‎ ‎ 若，则1，不可能；‎ ‎ 所以，，又，所以.‎ ‎ 综上所述，，i=1, 2, …, n. ……18分 ‎ [解法二]设，，则等价于.‎ ‎ 记，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于 原点对称. ……14分 注意到-1是X中的唯一负数，共有n-1个数，‎ 所以也只有n-1个数.‎ 由于，已有n-1个数，对以下三角数阵 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ……‎ ‎ ‎ ‎ 注意到，所以，从而数列的通项公式为 ‎ ，k=1, 2, …, n. ……18分 ‎【点评】本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“具有性质”这一概念，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查集合的基本运算，集合问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．‎ ‎26四川 12、设函数，是公差为的等差数列，，则（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎[答案]D ‎[解析]∵数列{an}是公差为的等差数列，且 ‎∴‎ ‎∴ 即 ‎ 得 ‎∴‎ ‎[点评]‎ 本题难度较大，综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用，需考生加强知识系统、网络化学习. 另外，隐蔽性较强，需要考生具备一定的观察能力.‎ ‎27四川16、记为不超过实数的最大整数，例如，，，。设为正整数，数列满足，，现有下列命题：‎ ‎①当时，数列的前3项依次为5,3,2；‎ ‎②对数列都存在正整数，当时总有；‎ ‎③当时，；④对某个正整数，若，则。‎ 其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号）‎ ‎[答案]①③④（lby lfx）‎ ‎[解析]若，根据 ‎ 当n=1时，x2=[]=3, 同理x3=, 故①对.‎ 对于②③④可以采用特殊值列举法：‎ 当a=1时，x1=1, x2=1, x3=1, ……xn=1, …… 此时②③④均对.‎ 当a=2时，x1=2, x2=1, x3=1, ……xn=1, …… 此时②③④均对 当a=3时，x1=3, x2=2, x3=1, x4=2……xn=1, ……此时③④均对 综上，真命题有 ①③④ .‎ ‎[点评]此题难度较大，不容易寻找其解题的切入点，特殊值列举是很有效的解决办法.‎ ‎28四川20、(本小题满分12分) 已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。‎ ‎（Ⅰ）求，的值；‎ ‎（Ⅱ）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值。‎ ‎[解析]取n=1,得 ①‎ ‎ 取n=2,得 ② 又②-①，得 ③‎ ‎（1）若a2=0, 由①知a1=0, ‎ ‎ (2)若a2, ④‎ 由①④得：…………………5分 ‎（2）当a1>0时,由（I）知，‎ 当 , (2+)an-1=S2+Sn-1‎ 所以，an=‎ 所以令 所以，数列{bn}是以为公差，且单调递减的等差数列.‎ 则 b1>b2>b3>…>b7=当n≥8时，bn≤b8=‎ 所以，n=7时，Tn取得最大值，且Tn的最大值为 T7=…………………………12分 ‎[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一，知识层面：考查等差数列、等比数列、对数等基础知识；第二，能力层面：考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力；第三，数学思想：考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.‎ ‎29天津（18）(本小题满分13分）已知{}是等差数列，其前项和为，{}是等比数列,且=，‎ ‎ ，.‎ ‎(Ⅰ)求数列{}与{}的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)记；证明：.‎ ‎【命题意图】本试题主要考查了 ‎【参考答案】‎ （1） 设数列的公差为，数列的公比为；‎ 则 ‎ ‎ 得：‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点评】该试题命制比较直接，没有什么隐含的条件，就是等比与等差数列的综合应用，但方法多样，第二问可以用错位相减法求解证明，也可用数学归纳法证明，给学生思维空间留有余地，符合高考命题选拔性的原则.‎ ‎30新课标（5）已知为等比数列，，，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎【解析】选 ‎，或 ‎31新课标（16）数列满足，则的前项和为 ‎ ‎【解析】的前项和为 ‎ ‎ 可证明：‎ ‎ ‎ ‎31浙江7．设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是 A．若d＜0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项，则d＜0‎ C．若数列{S n}是递增数列，则对任意的nN*，均有S n＞0‎ D．若对任意的nN*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列 ‎【解析】选项C显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S n}是递增数列，但是S n＞0不成立．‎ ‎【答案】C ‎32浙江13．设公比为q(q＞0)的等比数列{a n}的前n项和为{S n}．若 ‎ ‎，，则q＝______________．‎ ‎【解析】将，两个式子全部转化成用，q表示的式子．‎ 即，两式作差得：，即：，解之得：(舍去)．【答案】‎ ‎33重庆 1.在等差数列中，,则的前5项和=‎ ‎ A.7 B.15 C.20 D.25 ‎ ‎【解析】选 ‎ ‎ ‎34重庆12、 。‎ ‎【解析】‎ ‎35重庆21、（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分。）‎ ‎ 设数列的前项和满足，其中。‎ ‎ （I）求证：是首项为1的等比数列；‎ ‎（II）若，求证：，并给出等号成立的充要条件。‎ 21、 ‎（1）证明：由，得，即。‎ ‎ 因，故，得， 又由题设条件知，‎ ‎ 两式相减得，即，‎ ‎ 由，知，因此 ‎ 综上，对所有成立，从而是首项为1，公比为的等比数列。‎ （2） 当或时，显然，等号成立。‎ ‎ 设，且，由（1）知，，，所以要证的不等式化为：‎ ‎ 即证：‎ 当时，上面不等式的等号成立。‎ 当时，与，（）同为负；‎ 当时， 与，（）同为正； ‎ 因此当且时，总有 （）（）>0,即 ‎，（）。‎ 上面不等式对从1到求和得，‎ 由此得 综上，当且时，有，当且仅当或时等号成立。‎