2020版高考数学大二轮复习 板块二 练透基础送分小考点 第2讲 不等式与推理证明优选习题 文

2020版高考数学大二轮复习 板块二 练透基础送分小考点 第2讲 不等式与推理证明优选习题 文

第2讲　不等式与推理证明 ‎[考情考向分析]　1.利用不等式性质比较大小，利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点.2.一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数的取值范围.3.利用不等式解决实际问题.4.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现.5.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题．‎ ‎1．(2018·天津)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋5y的最大值为(　　)‎ A．6B．‎19C．21D．45‎ 答案　C 解析　画出可行域如图阴影部分所示(含边界)，‎ 由z＝3x＋5y，得y＝－x＋.‎ 设直线l0为y＝－x，平移直线l0，当直线y＝－x＋过点P(2,3)时，z取得最大值，zmax＝3×2＋5×3＝21.‎ 故选C.‎ ‎2．对于使f(x)≤M恒成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做f(x)的上确界，若a>0，b>0且a＋b＝1，则－－的上确界为(　　)‎ A.B．－C.D．－4‎ 答案　B 解析　－－＝－(a＋b)‎ ‎＝－≤－＝－，‎ 当且仅当＝，即b＝‎2a＝时取等，‎ 8‎ 所以原式的上确界为－，故选B.‎ ‎3．(2018·绵阳三诊)甲、乙、丙三人各买了一辆不同品牌的新汽车，汽车的品牌为奇瑞、传祺、吉利．甲、乙、丙让丁猜他们三人各买的什么品牌的车，丁说：“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞，丙买的不是吉利．”若丁的猜测只对了一个，则甲、乙所买汽车的品牌分别是(　　)‎ A．吉利，奇瑞 B．吉利，传祺 C．奇瑞，吉利 D．奇瑞，传祺 答案　A 解析　因为丁的猜测只对了一个，所以“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞”这两个都是错误的．否则“甲买的不是奇瑞，乙买的不是奇瑞”或“甲买的是奇瑞，乙买的是奇瑞”是正确的，这与三人各买了一辆不同品牌的新汽车矛盾，“丙买的不是吉利”是正确的，所以乙买的是奇瑞，甲买的是吉利．‎ ‎4．(2018·佛山质检)已知a>0，设x，y满足约束条件且z＝2x－y的最小值为－4，则a等于(　　)‎ A．1B．‎2C．3D．4‎ 答案　C 解析　作出可行域，如图△ABC内部(包括边界)，‎ 并作直线l：2x－y＝0，当直线l向上平移时，z减小，‎ 可见，当l过点A时，z取得最小值，‎ ‎∴2×－＝－4，解得a＝3.‎ ‎5．(2018·四平模拟)设x>0，y>0，若xlg2，lg，ylg2成等差数列，则＋的最小值为(　　)‎ A．8B．‎9C．12D．16‎ 答案　D 解析　∵xlg2，lg，ylg2成等差数列，‎ ‎∴2lg＝(x＋y)lg2，∴x＋y＝1.‎ 8‎ ‎∴＋＝(x＋y)≥10＋2 ‎＝10＋6＝16，‎ 当且仅当x＝，y＝时取等号，‎ 故＋的最小值为16.‎ ‎6．(2018·河北省衡水金卷调研卷)下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的个数是(　　)‎ ‎①“数轴内两点间距离公式为|AB|＝，平面内两点间距离公式为|AB|＝”，类比推出“空间内两点间的距离公式为|AB|＝”；‎ ‎②“代数运算中的完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b‎2”‎类比推出“向量中的运算(a＋b)2＝a2＋‎2a·b＋b2仍成立”；‎ ‎③“平面内两不重合的直线不平行就相交”类比推出“空间内两不重合的直线不平行就相交”也成立；‎ ‎④“圆x2＋y2＝1上点P(x0，y0)处的切线方程为x0x＋y0y＝‎1”‎类比推出“椭圆＋＝1(a>b>0)上点P(x0，y0)处的切线方程为＋＝‎1”‎．‎ A．1B．‎2C．3D．4‎ 答案　C 解析　对于①，根据空间内两点间距离公式可知，类比正确；对于②，(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝a2＋a·b＋b·a＋b2＝a2＋‎2a·b＋b2，类比正确；对于③，在空间内不平行的两直线，有相交和异面两种情况，类比错误；对于④，椭圆＋＝1(a>b>0)上点P(x0，y0)处的切线方程为＋＝1为真命题，综上所述，可知正确个数为3.‎ ‎7．(2018·安徽省“皖南八校”联考)已知函数f(x)＝ln，若x，y满足f(x)＋f≥0，则的取值范围是(　　)‎ A. B. C．(－1,1) D．[－1,1]‎ 答案　C 解析　根据题中所给的函数解析式，可知函数f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，从而f(x)‎ 8‎ ‎＋f≥0可以转化为f(x)≥f，并且f(x)＝ln，可以判断出函数f(x)在定义域上是减函数，从而有根据约束条件，画出对应的可行域如图所示，‎ 根据目标函数的几何意义可知，表示可行域中的点(x，y)与C(－3,0)连线的斜率，可知在点A(－1，－2)处取得最小值，在点B(－1,2)处取得最大值，而边界值取不到，故答案是(－1,1)．‎ ‎8．(2018·河北省衡水金卷模拟)已知点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上运动，且＝(，)，设|CE|＝x，|CF|＝y，若|－|＝||，则x＋y的最大值为(　　)‎ A．2B．‎4C．2D．4 答案　C 解析　∵||＝＝2，|－|＝||，‎ 又∵|－|＝||＝＝2，‎ ‎∴x2＋y2＝4.‎ ‎∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2(x2＋y2)＝8，‎ 当且仅当x＝y时取等号，∴x＋y≤2，‎ 即x＋y的最大值为2.‎ ‎9．(2018·嘉兴模拟)已知x＋y＝＋＋8(x>0，y>0)，则x＋y的最小值为(　　)‎ A．5B．‎9C．4＋D．10‎ 答案　B 解析　由x＋y＝＋＋8，得x＋y－8＝＋，‎ 两边同时乘以“x＋y”，得 ‎(x＋y－8)(x＋y)＝(x＋y)，‎ 所以(x＋y－8)(x＋y)＝≥9，‎ 当且仅当y＝2x时等号成立，令t＝x＋y，‎ 所以(t－8)·t≥9，解得t≤－1或t≥9，‎ 8‎ 因为x>0，y>0，所以x＋y≥9，即(x＋y)min＝9.‎ ‎10．(2018·湖南省长沙市雅礼中学、河南省实验中学联考)如图，将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，以此类推，则标签20172的格点的坐标为(　　)‎ A．(2017,2016) B．(2016,2015)‎ C．(1009,1008) D．(1008,1007)‎ 答案　C 解析　由图形规律可知，由0(记为第0圈)开始，‎ 第n圈的正方形右上角标签为(2n＋1)2－1，坐标为(n，n)，‎ 所以标签为20172的数字是标签为20172－1的右边一格，‎ 标签为20172－1的坐标为(1008,1008)，‎ 所以标签为20172的坐标为(1009,1008)．‎ ‎11．(2018·衡水金卷信息卷)已知不等式组表示的平面区域为M，若m是整数，且平面区域M内的整点(x，y)恰有3个(其中整点是指横、纵坐标都是整数的点)，则m的值是(　　)‎ A．1B．‎2C．3D．4‎ 答案　B 解析　根据题意可知m>0，又m是整数，‎ 所以当m＝1时，平面区域M为 此时平面区域M内只有整点(0,0)，(1,0)，共2个，‎ 不符合题意；‎ 当m＝2时，平面区域M为 此时平面区域M内只有整点(0,0)，(1,0)，(2,0)，‎ 共3个，符合题意；‎ 当m＝3时，平面区域M为 此时平面区域M内只有整点(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，共5个，不符合题意；‎ 依次类推，当m>3时，平面区域M内的整点一定大于3个，不符合题意．‎ 综上，整数m的值为2.‎ 8‎ ‎12．(2018·上海普陀区模拟)已知k∈N*，x，y，z都是正实数，若k(xy＋yz＋zx)>5(x2＋y2＋z2)，则对此不等式描述正确的是(　　)‎ A．若k＝5，则至少存在一个以x，y，z为边长的等边三角形 B．若k＝6，则对任意满足不等式的x，y，z都存在以x，y，z为边长的三角形 C．若k＝7，则对任意满足不等式的x，y，z都存在以x，y，z为边长的三角形 D．若k＝8，则对满足不等式的x，y，z不存在以x，y，z为边长的直角三角形 答案　B 解析　本题可用排除法，由x2＋y2＋z2＝＋＋≥xy＋yz＋zx，‎ 对于A，若k＝5，可得xy＋yz＋zx>x2＋y2＋z2，‎ 故不存在这样的x，y，z，A错误，排除A；‎ 对于C，当x＝1，y＝1，z＝2时，7(xy＋yz＋zx)>5(x2＋y2＋z2)成立，而以x，y，z为边的三角形不存在，C错误，排除C；‎ 对于D，当x＝1，y＝1，z＝时，8(xy＋yz＋zx)>5(x2＋y2＋z2)成立，存在以x，y，z为边的三角形为直角三角形，故D错误，排除D，故选B.‎ ‎13．(2018·荆州质检)已知x，y满足不等式组若不等式ax＋y≤7恒成立，则实数a的取值范围是________．‎ 答案　[－4,3]‎ 解析　画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由题意可得点A，B的坐标为A(－2，－1)，B(2,1)．‎ 又直线ax＋y－7＝0过定点M(0,7)，‎ 故得kMA＝4，kMB＝－3.‎ 由图形得，若不等式ax＋y≤7恒成立，‎ 则解得－4≤a≤3.‎ 故实数a的取值范围是[－4,3]．‎ ‎14．(2018·衡水金卷调研卷)观察三角形数组，可以推测：该数组第八行的和为________．‎ 8‎ 答案　1296‎ 解析　第一行的和为12，第二行的和为32＝(1＋2)2，‎ 第三行的和为62＝(1＋2＋3)2，‎ 第四行的和为(1＋2＋3＋4)2＝102，…，‎ 第八行的和为(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8)2＝1296.‎ ‎15．(2018·河北省衡水金卷模拟)已知实数x，y满足不等式组则目标函数z＝4x2＋y2的最大值与最小值之和为________．‎ 答案　 解析　令t＝2x，则x＝，‎ 原可行域等价于作出可行域如图(阴影部分含边界)所示，‎ 经计算得C.z＝4x2＋y2＝t2＋y2的几何意义是点P(t，y)到原点O的距离d的平方，由图可知，当点P与点C重合时，d取最大值；d的最小值为点O到直线AB：t－y－1＝0的距离，故zmax＝＋1＝，zmin＝2＝，所以z＝4x2＋y2的最大值与最小值之和为.‎ ‎16．(2018·滨海新区七所重点学校联考)若正实数x，y满足x＋2y＝5，则＋的最大值是________．‎ 答案　 解析　＋＝＋2y－ ‎＝x＋1－2＋2y－ ‎＝x＋2y－1－(x＋1＋2y)‎ 8‎ ‎＝4－ ‎≤4－ ‎＝4－(4＋2)＝.‎ 当且仅当＝，x＋2y＝5，‎ 即x＝2，y＝时，等号成立．‎ 8‎