第六讲:2013年高考导数与积分命题热点研讨(3)

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第六讲:2013年高考导数与积分命题热点研讨(3)

第六讲:2013年高考导数与积分命题热点研讨(3)‎ 本讲接第五讲,讲座时间为1到2个小时,希望同学们能集中精力的听讲,完成学习任务 孟老师大胆预测点7定积分 ‎1(2011·福建)‎ (ex+2x)dx等于 A.1     B.e-‎1‎C.e D.e+1‎ 解析:本题主要考查积分的基本运算.‎ (ex+2x)dx=(ex+x2)|=e+1-1=e,故选C.答案:C ‎2(2011·湖南)‎ 由直线x=-,x=,y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为 A. B.‎1‎C.D. 解析:S=cosxdx=sinx=sin-sin=.答案:D ‎3(孟老师模拟举例)‎ 如图,设点P从原点沿曲线y=x2向点A(2,4)移动,直线OP、曲线y=x2及直线x=2所围成图形的面积分别记为S1、S2,若S1=S2,求点P的坐标.‎ 解:设直线OP的方程为y=kx,点P的坐标为(x,y),则(kx-x2)dx=(x2-kx)dx,‎ 即(kx2-=(x3-,解得kx2-x3=-2k-(x3-kx2),‎ 解得k=,即直线OP的方程为y=x,所以点P的坐标为(,).‎ ‎4(2012·山东省寿光市高三第一学期抽测)‎ 如图,由函数y=x2-2x的图像和直线x=1,x=3及x轴围成封闭图形的面积为(  )‎ A.2 B.C.2 D. 解析:所求面积为(2x-x2)dx+(x2-2x)dx=+=2.答案:C 孟老师大胆预测点8:最值问题 ‎(2009年广东)‎ 已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在处取得极小值.设.‎ ‎(1)若曲线上的点到点的距离的最小值为,求的值;‎ ‎(2)如何取值时,函数存在零点,并求出零点. ‎ 解:(1)依题可设 (),则;‎ 又的图像与直线平行 , , ‎ 设,则 当且仅当时,取得最小值,即取得最小值 当时, 解得 当时, 解得 ‎(2)由(),得 当时,方程有一解,函数有一零点;‎ 当时,方程有二解,‎ 若,,‎ 函数有两个零点,即;‎ 若,,‎ 函数有两个零点,即;‎ 当时,方程有一解, , ‎ 函数有一零点 综上,当时, 函数有一零点;‎ 当(),或()时,‎ 函数有两个零点;‎ 当时,函数有一零点.‎ 孟老师大胆预测点9函数的实际应用问题 ‎1(2010年湖北卷) (满分12分)‎ 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.‎ ‎(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式.‎ ‎(Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.‎ 本题主要考察函数、导数等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.‎ 解:(Ⅰ)设隔热层厚度为,由题设,每年能源消耗费用为.‎ 再由,得, 因此.‎ 而建造费用为 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 ‎(Ⅱ),令,即.‎ 解得 ,(舍去). ‎ 当 时,, 当时, , 故是 的最小值点,对应的最小值为.‎ 当隔热层修建厚时, 总费用达到最小值为70万元.‎ ‎2(2009年湖南卷)‎ 某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其它因素.记余下工程的费用为万元.‎ ‎(Ⅰ)试写出关于的函数关系式;‎ ‎(Ⅱ)当=‎640米时,需新建多少个桥墩才能使最小.‎ 解:(Ⅰ)设需新建个桥墩,则,‎ 所以 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,‎ 令,得,所以=64.‎ 当0<<64时,<0,在区间(0,64)内为减函数;‎ 当时,>0. 在区间(64,640)内为增函数.‎ 所以在=64处取得最小值,此时 故需新建9个桥墩才能使最小.‎
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