导数与不等式的证明高考真题含答案

导数与不等式的证明高考真题含答案

导数与不等式的证明 ‎1.【2013湖南文科】已知函数f（x）=.‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）证明：当f（x1）=f（x2）(x1≠x2)时，x1+x2＜0.‎ ‎【解析】 (Ⅰ) ‎ ‎.‎ 所以，。‎ ‎ （Ⅱ）由(Ⅰ)知，只需要证明：当x>0时f(x) < f(-x)即可。‎ ‎。‎ ‎。‎ ‎（证毕）‎ 6‎ ‎2.【2013天津理科】已知函数. ‎ ‎(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间; ‎ ‎(Ⅱ) 证明: 对任意的t>0, 存在唯一的s, 使. ‎ ‎(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为, 证明: 当时, 有.‎ ‎(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．‎ f′(x)＝2xln x＋x＝x(2ln x＋1)，令f′(x)＝0，得.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  极小值 所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.‎ ‎(2)证明：当0＜x≤1时，f(x)≤0.‎ 设t＞0，令h(x)＝f(x)－t，x∈[1，＋∞)．‎ 由(1)知，h(x)在区间(1，＋∞)内单调递增．‎ h(1)＝－t＜0，h(et)＝e2tln et－t＝t(e2t－1)＞0.‎ 故存在唯一的s∈(1，＋∞)，使得t＝f(s)成立．‎ ‎(3)证明：因为s＝g(t)，由(2)知，t＝f(s)，且s＞1，从而 ‎，‎ 其中u＝ln s.‎ 要使成立，只需.‎ 当t＞e2时，若s＝g(t)≤e，则由f(s)的单调性，有t＝f(s)≤f(e)＝e2，矛盾．‎ 所以s＞e，即u＞1，从而ln u＞0成立．‎ 另一方面，令F(u)＝，u＞1.F′(u)＝，令F′(u)＝0，得u＝2.‎ 当1＜u＜2时，F′(u)＞0；当u＞2时，F′(u)＜0.‎ 故对u＞1，F(u)≤F(2)＜0.‎ 因此成立．‎ 综上，当t＞e2时，有.‎ 6‎ ‎3【2013天津文科】设, 已知函数 ‎ ‎(Ⅰ) 证明在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增; ‎ ‎(Ⅱ) 设曲线在点处的切线相互平行, 且 证明. ‎ ‎(1)设函数f1(x)＝x3－(a＋5)x(x≤0)，f2(x)＝(x≥0)，‎ ‎①f1′(x)＝3x2－(a＋5)，由a∈[－2,0]，从而当－1＜x＜0时，f1′(x)＝3x2－(a＋5)＜3－a－5≤0，所以函数f1(x)在区间(－1,0]内单调递减．‎ ‎②f2′(x)＝3x2－(a＋3)x＋a＝(3x－a)(x－1)，由于a∈[－2,0]，所以当0＜x＜1时，f2′(x)＜0；当x＞1时，f2′(x)＞0.即函数f2(x)在区间[0,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．‎ 综合①，②及f1(0)＝f2(0)，可知函数f(x)在区间(－1,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．‎ ‎(2)由(1)知f′(x)在区间(－∞，0)内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递增．‎ 因为曲线y＝f(x)在点Pi(xi，f(xi))(i＝1,2,3)处的切线相互平行，从而x1，x2，x3互不相等，且f′(x1)＝f′(x2)＝f′(x3)．不妨设x1＜0＜x2＜x3，由－(a＋5)＝－(a＋3)x2＋a＝－(a＋3)x3＋a，‎ 可得－(a＋3)(x2－x3)＝0，解得x2＋x3＝，从而0＜x2＜＜x3.‎ 设g(x)＝3x2－(a＋3)x＋a，则＜g(x2)＜g(0)＝a.‎ 由－(a＋5)＝g(x2)＜a，解得＜x1＜0，‎ 所以x1＋x2＋x3＞，‎ 设t＝，则a＝，‎ 因为a∈[－2,0]，所以t∈，‎ 故x1＋x2＋x3＞，即x1＋x2＋x3＞.‎ 6‎ ‎4【2014天津理科】已知函数，.已知函数有两个零点，且.‎ ‎（Ⅰ）求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）证明 随着的减小而增大；‎ ‎（Ⅲ）证明 随着的减小而增大.‎ ‎（Ⅰ）解：由，可得.‎ 下面分两种情况讨论：‎ ‎（1）时 ‎ 在上恒成立，可得在上单调递增，不合题意.‎ ‎（2）时，‎ ‎ 由，得.‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎↗‎ ‎↘‎ 这时，的单调递增区间是；单调递减区间是.‎ 于是，“函数有两个零点”等价于如下条件同时成立：‎ ‎1°；2°存在，满足；‎ ‎3°存在，满足.‎ 由，即，解得，而此时，取，满足，且；取，满足，且.所以，的取值范围是.‎ 6‎ ‎（Ⅱ）证明：由，有.‎ 设，由，知在上单调递增，在上单调递减. 并且，当时，；当时，.‎ 由已知，满足，. 由，及的单调性，可得，.‎ ‎ 对于任意的，设，，其中；，其中.‎ 因为在上单调递增，故由，即，可得；类似可得.‎ 又由，得.‎ 所以，随着的减小而增大.‎ 6‎ ‎（Ⅲ）证明：由，，可得，.‎ 故.‎ 设，则，且解得，.所以，‎ ‎. ①‎ 令，，则.‎ 令，得.‎ 当时，.因此，在上单调递增，故对于任意的，，由此可得，故在上单调递增.‎ 因此，由①可得随着的增大而增大.‎ 而由（Ⅱ），随着的减小而增大，所以随着的减小而增大 6‎