辽宁高考数学理科试题及答案

辽宁高考数学理科试题及答案

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）‎ 数 学（理）‎ 乐享玲珑，为中国数学增光添彩！‎ 免费，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用 第I卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．复数的模为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2．已知集合 A． B． C． D． ‎ ‎3．已知点 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎4．下面是关于公差的等差数列的四个命题：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其中的真命题为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是 ‎0.02‎ ‎0.015‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ 频率 组距 O 20 40 60 80 100 成绩/分 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎6．在，内角所对的边长分别为且，则 A． B． C． D． ‎ ‎7．使得 A． B． C． D． ‎ ‎8．执行如图所示的程序框图，若输入 A． B． C． D． ‎ 否 是 开始 输入 输出S 结束 ‎9．已知点 A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，，则球的半径为 A． B． C． D． ‎ ‎11．已知函数设表示中的较大值，表示中的较小值，记得最小值为得最小值为,则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎12．设函数 ‎（A）有极大值，无极小值 （B）有极小值，无极大值 ‎ ‎（C）既有极大值又有极小值 （D）既无极大值也无极小值 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .‎ ‎14．已知等比数列是递增数列，是的前项和，若是方程的两个根，则 .‎ ‎15．已知椭圆的左焦点为与过原点的直线相交于两点，连接，若，则的离心率 .‎ ‎16．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分12分）设向量 ‎（I）若 （II）设函数 ‎18．（本小题满分12分）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点。‎ ‎（I）求证：‎ ‎（II）‎ ‎19．（本小题满分12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答。‎ ‎（I）求张同学至少取到1道乙类题的概率；‎ ‎（II）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立.用表示张同学答对题的个数，求的分布列和数学期望.‎ ‎20．（本小题满分12分）如图，抛物线，点在抛物线上，过作的切线，切点为（为原点时，重合于），切线的斜率为。‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）当在上运动时，求线段中点的轨迹方程。‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（I）求证： ‎ ‎（II）若恒成立，求实数取值范围。‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，垂直于于，垂直于，连接。证明：‎ ‎（I） （II）‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中以为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系.圆，直线的极坐标方程分别为.‎ ‎（I）求与交点的极坐标；‎ ‎（II）设为的圆心，为与交点连线的中点。已知直线的参数方程为 ‎，求的值。‎ ‎24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数，其中。‎ ‎（I）当时，求不等式的解集； ‎ ‎（II）已知关于的不等式的解集为，求的值。‎ 参考答案 ‎ ‎ 一．选择题：‎ ‎1. B 由已知所以 ‎2. D解：由集合A，；所以 ‎3. A解：，所以，这样同方向的单位向量是 ‎4.D解：设，所以正确；如果则满足已知，但并非递增所以错；如果若，则满足已知，但，是递减数列，所以错；，所以是递增数列，正确 ‎5.B 解：第一、第二小组的频率分别是、，所以低于60分的频率是0.3，设班级人数为，则，。‎ ‎6.A 解：边换角后约去，得，所以，但B非最大角，所以。‎ ‎7.B解：通项，常数项满足条件，所以时最小 ‎8.A 解：的意义在于是对求和。因为，同时注意，所以所求和为=‎ ‎9.C解：显然角O不能为直角（否则得不能组成三角形）若A为直角，则根据A、B纵坐标相等，所以；若B为直角，则利用得，所以选C ‎10.C解：由球心作面ABC的垂线，则垂足为斜边BC中点M。计算AM=，由垂径定理，OM=，所以半径R=‎ ‎11.B解： 顶点坐标为，顶点坐标，并且每个函数顶点都在另一个函数的图象上，图象如图， A、B分别为两个二次函数顶点的纵坐标，所以A-B=‎ ‎12.D解：由已知，。在已知中令，并将 代入，得；因为，两边乘以后令。求导并将（1）式代入，，显然时，，减；时，，增；并且由（2）式知，所以为的最小值，即，所以，在时得，所以为增函数，故没有极大值也没有极小值。‎ ‎13. 解：直观图是圆柱中抽出正四棱柱。‎ ‎14. 63解：由递增，，所以，代入等比求和公式得 ‎15. 解： 由余弦定理，，解得，所以A到右焦点的距离也是8，，由椭圆定义：，又，所以 ‎16. 10 解：设五个班级的数据分别为。由平均数方差的公式得，，显然各个括号为整数。设分别为，，则。设=‎ ‎=，因为数据互不相同，分析的构成，得恒成立，因此判别式，得，所以，即。‎ ‎17．解：（I）由，‎ ‎，及 又，所以.‎ ‎（II）=.‎ 当所以 ‎ ‎18．解：（I）由AB式圆的直径，得AC⊥BC、‎ ‎ 由PA⊥平面ABC、BC⊂平面ABC、得PA⊥BC.‎ ‎ 又PA⋂AC=A,PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，‎ ‎ 所以BC⊥平面PAC.‎ ‎ 因为BC⊂平面PBC.‎ ‎ 所以平面PBC⊥平面PAC.‎ ‎（II）（解法一）过C作CM//AP,则CM⊥平面ABC.，如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB、CA、CM为x轴，y轴，z轴建立空间直角标系 因为AB=2、AC=1、所以A(0、1、0）、B（、P（0、1、1）‎ 故=.设平面BCP的法向量为.‎ ‎ ‎ 不妨令y=1.则n=（0、1、-1）.因为 设平面ABP的法向量为. 则,所以 不妨令x=1、则.‎ 于是cos<>=,‎ 所以由题意可知二面角C-PB-A的余弦值为.‎ 过C作CM⊥AB于M、因为PA⊥平面ABC、CM⊂平面ABC，所以PA⊥CM.‎ 故CM⊥平面PAB，过M作MN⊥PB于N，链接NC，由三垂线定理得CN⊥PB.‎ 所以∠CNM为二面角C-PB-A的平面角.‎ 在RtΔABC中，由AB=2、AC=1、得 在RtΔPAB中,由AB=2、PA=1、得PB=.‎ 因为RtΔBNM∽RtΔBAP,所以 又在RtΔCNM中，CN=，故cos∠CNM=.‎ 所以二面角C-PB-A的余弦值为。‎ ‎19．解：（I)设事件A=“张同学所取的3道题至少有1道乙类题，则有=”张同学所取的3道题都是甲类题“.‎ ‎，所以 ‎ .‎ ‎(II)X所有的可能取值为0、1、2、3.‎ ‎ ;‎ ‎ ;‎ ‎ ;‎ ‎ .‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以E（X)=0×+1×+2×。‎ ‎20．解：因为抛物线上任意一点（x,y)的切线斜率为，且切线MA的斜率为-，所以A点坐标为（-1，）。故切线MA的方程为 ‎ .‎ 因为点M在切线MA及抛物线上，于是 ‎ ， ①‎ ‎ . ②‎ 由①②得p=2.‎ ‎（II）设N（x,y),A由N为线AB中点知 ‎ ③‎ ‎ . ④‎ 切线MA、MB的方程为 ‎ ⑤‎ ‎ ⑥‎ 由⑤⑥得MA，MB的交点M的坐标为 ‎ . ‎ ‎ 原M（‎ ‎ . ⑦‎ 由③④⑦得 ‎ ‎ ‎ 当时，A,B重合与原点O,AB 中点N为O，坐标满足.‎ 因此AB中点N的轨迹方程为 ‎ .‎ ‎21．(I)证明：要证x[0,1]时，≧1-,需证明≧.‎ 当x∈（0,1）时 ‎ ‎(x)>0,因此h(x)在【0,1】上市增函数，故h(x)≧h(0)=0.所以 ‎ ‎ ‎ ‎ 记>0，因此 K（x）在[0,1]上试增函数，故K（x）≥K(0)=0.所以 ‎ .‎ 综上，.‎ ‎（II）（解法一）‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎.‎ 记H（x）=x-2sin x,则H（x）=1-2cos x,当x<0，于是G（x）在[0,1]上试减函数，从而当xϵ（0,1）时，<(0)=0,故在[0,1]上是减函数，于是，从而 ‎ A+1+G(x)≤a+3,‎ 所以，当上恒成立，‎ 下面证明，当a>-3时， 在[0,1]上不恒成立.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎<0，故上试减函数，于是在[0,1]上的值域为[a+1+2cos 1,a+3].‎ ‎ 因为当a>-3时，a+3>0,所以存在，使得>0，此时0，于是在[0,1]上试增函数，因此当xϵ(0,1)时，G(x)>G(0)=0,从而F(x)在[0,1]上是增函数，因此F(x)≥F(0)=0,所以 ‎ 当xϵ[0,1]时，‎ ‎ 同理可证，当 所以x.‎ 因为当xϵ[0,1]时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ 所以当a≤-3时，在[0,1]上不恒成立.因为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以存在（例如中的较小值）满足

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