2017年北京市高考数学试卷(文科

2017年北京市高考数学试卷(文科

‎2017年北京市高考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题 ‎1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣2或x＞2}，则∁UA=（　　）‎ A．（﹣2，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）‎ ‎2．（5分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞）‎ ‎3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎4．（5分）若x，y满足，则x+2y的最大值为（　　）‎ A．1 B．3 C．5 D．9‎ ‎5．（5分）已知函数f（x）=3x﹣（）x，则f（x）（　　）‎ A．是偶函数，且在R上是增函数 B．是奇函数，且在R上是增函数 C．是偶函数，且在R上是减函数 D．是奇函数，且在R上是减函数 ‎6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（　　）‎ A．60 B．30 C．20 D．10‎ ‎7．（5分）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是•＜0”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（　　）‎ ‎（参考数据：lg3≈0.48）‎ A．1033 B．1053 C．1073 D．1093‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则sinβ=　 　．‎ ‎10．（5分）若双曲线x2﹣=1的离心率为，则实数m=　 　．‎ ‎11．（5分）已知x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2的取值范围是　 　．‎ ‎12．（5分）已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则•的最大值为　 　．‎ ‎13．（5分）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为　 　．‎ ‎14．（5分）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：‎ ‎（i）男学生人数多于女学生人数；‎ ‎（ii）女学生人数多于教师人数；‎ ‎（iii）教师人数的两倍多于男学生人数．‎ ‎①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为　 　．‎ ‎②该小组人数的最小值为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎15．（13分）已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．‎ ‎16．（13分）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．‎ ‎（I）求f（x）的最小正周期；‎ ‎（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．‎ ‎17．（13分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：‎ ‎（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；‎ ‎（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；‎ ‎（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．‎ ‎18．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．‎ ‎（1）求证：PA⊥BD；‎ ‎（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；‎ ‎（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．‎ ‎19．（14分）已知椭圆C的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．求证：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．‎ ‎20．（13分）已知函数f（x）=excosx﹣x．‎ ‎（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；‎ ‎（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．‎ ‎　‎ ‎2017年北京市高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题 ‎1．（5分）（2017•北京）已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣2或x＞2}，则∁UA=（　　）‎ A．（﹣2，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）‎ ‎【考点】1F：补集及其运算．菁优网版权所有 ‎【分析】根据已知中集合A和U，结合补集的定义，可得答案．‎ ‎【解答】解：∵集合A={x|x＜﹣2或x＞2}=（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），全集U=R，‎ ‎∴∁UA=[﹣2，2]，‎ 故选：C ‎　‎ ‎2．（5分）（2017•北京）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞）‎ ‎【考点】A1：虚数单位i及其性质．菁优网版权所有 ‎【分析】复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，可得，解得a范围．‎ ‎【解答】解：复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，‎ ‎∴，解得a＜﹣1．‎ 则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2017•北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 ‎【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2，‎ 当k=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S=，‎ 当k=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S=，‎ 当k=3时，不满足进行循环的条件，‎ 故输出结果为：，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2017•北京）若x，y满足，则x+2y的最大值为（　　）‎ A．1 B．3 C．5 D．9‎ ‎【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 ‎【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可．‎ ‎【解答】解：x，y满足的可行域如图：‎ 由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由，可得A（3，3），‎ 目标函数的最大值为：3+2×3=9．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2017•北京）已知函数f（x）=3x﹣（）x，则f（x）（　　）‎ A．是偶函数，且在R上是增函数 B．是奇函数，且在R上是增函数 C．是偶函数，且在R上是减函数 D．是奇函数，且在R上是减函数 ‎【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．菁优网版权所有 ‎【分析】由已知得f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，由函数y=3x为增函数，y=（）x为减函数，结合“增”﹣“减”=“增”可得答案．‎ ‎【解答】解：f（x）=3x﹣（）x=3x﹣3﹣x，‎ ‎∴f（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣f（x），‎ 即函数f（x）为奇函数，‎ 又由函数y=3x为增函数，y=（）x为减函数，‎ 故函数f（x）=3x﹣（）x为增函数，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2017•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（　　）‎ A．60 B．30 C．20 D．10‎ ‎【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 ‎【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥，如图所示．‎ ‎【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥，‎ 该三棱锥的体积==10．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2017•北京）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是•＜0”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有 ‎【分析】，为非零向量，存在负数λ，使得=λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ不成立．即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：，为非零向量，存在负数λ，使得=λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．‎ 反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ不成立．‎ ‎∴，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是•＜0”的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2017•北京）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（　　）‎ ‎（参考数据：lg3≈0.48）‎ A．1033 B．1053 C．1073 D．1093‎ ‎【考点】4G：指数式与对数式的互化．菁优网版权所有 ‎【分析】根据对数的性质：T=，可得：3=10lg3≈100.48，代入M将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果．‎ ‎【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，‎ 根据对数性质有：3=10lg3≈100.48，‎ ‎∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，‎ ‎∴≈=1093，‎ 故本题选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎9．（5分）（2017•北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则sinβ=　　．‎ ‎【考点】GI：三角函数的化简求值．菁优网版权所有 ‎【分析】推导出α+β=π+2kπ，k∈Z，从而sinβ=sin（π+2kπ﹣α）=sinα，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，‎ ‎∴α+β=π+2kπ，k∈Z，‎ ‎∵sinα=，‎ ‎∴sinβ=sin（π+2kπ﹣α）=sinα=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2017•北京）若双曲线x2﹣=1的离心率为，则实数m=　2　．‎ ‎【考点】KC：双曲线的简单性质．菁优网版权所有 ‎【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可．‎ ‎【解答】解：双曲线x2﹣=1（m＞0）的离心率为，‎ 可得：，‎ 解得m=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2017•北京）已知x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2的取值范围是　[，1]　．‎ ‎【考点】3W：二次函数的性质．菁优网版权所有 ‎【分析】利用已知条件转化所求表达式，通过二次函数的性质求解即可．‎ ‎【解答】解：x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2=x2+（1﹣x）2=2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，‎ 则令f（x）=2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，函数的对称轴为：x=，开口向上，‎ 所以函数的最小值为：f（）==．‎ 最大值为：f（1）=2﹣2+1=1．‎ 则x2+y2的取值范围是：[，1]．‎ 故答案为：[，1]．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2017•北京）已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则•的最大值为　6　．‎ ‎【考点】9R：平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 ‎【分析】设P（cosα，sinα）．可得=（2，0），=（cosα+2，sinα）．利用数量积运算性质、三角函数的单调性与值域即可得出．‎ ‎【解答】解：设P（cosα，sinα）.=（2，0），=（cosα+2，sinα）．‎ 则•=2（cosα+2）≤6，当且仅当cosα=1时取等号．‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2017•北京）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为　﹣1，﹣2，﹣3　．‎ ‎【考点】FC：反证法．菁优网版权所有 ‎【分析】设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，举例即可，本题答案不唯一 ‎【解答】解：设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，‎ 则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，‎ 可设a，b，c的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一），‎ 故答案为：﹣1，﹣2，﹣3‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2017•北京）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：‎ ‎（i）男学生人数多于女学生人数；‎ ‎（ii）女学生人数多于教师人数；‎ ‎（iii）教师人数的两倍多于男学生人数．‎ ‎①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为　6　．‎ ‎②该小组人数的最小值为　12　．‎ ‎【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 ‎【分析】①设男学生女学生分别为x，y人，若教师人数为4，则，进而可得答案；‎ ‎②设男学生女学生分别为x，y人，教师人数为z，则，进而可得答案；‎ ‎【解答】解：①设男学生女学生分别为x，y人，‎ 若教师人数为4，‎ 则，即4＜y＜x＜8，‎ 即x的最大值为7，y的最大值为6，‎ 即女学生人数的最大值为6．‎ ‎②设男学生女学生分别为x，y人，教师人数为z，‎ 则，即z＜y＜x＜2z 即z最小为3才能满足条件，‎ 此时x最小为5，y最小为4，‎ 即该小组人数的最小值为12，‎ 故答案为：6，12‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎15．（13分）（2017•北京）已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．‎ ‎【考点】8E：数列的求和；8M：等差数列与等比数列的综合．菁优网版权所有 ‎【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，然后求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）利用已知条件求出公比，然后求解数列的和即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）等差数列{an}，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，‎ 所以{an}的通项公式：an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5=a1+4d=9，‎ 等比数列{bn}满足b1=1，b2b4=9．可得b3=3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．‎ ‎∴q2=3，‎ ‎{b2n﹣1}是等比数列，公比为3，首项为1．‎ b1+b3+b5+…+b2n﹣1==．‎ ‎　‎ ‎16．（13分）（2017•北京）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．‎ ‎（I）求f（x）的最小正周期；‎ ‎（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．‎ ‎【考点】‎ H1：三角函数的周期性及其求法；GA：三角函数线；GL：三角函数中的恒等变换应用．菁优网版权所有 ‎【分析】（Ⅰ）根据两角差的余弦公式和两角和正弦公式即可求出f（x）sin（2x+），根据周期的定义即可求出，‎ ‎（Ⅱ）根据正弦函数的图象和性质即可证明．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx，‎ ‎=（co2x+sin2x）﹣sin2x，‎ ‎=cos2x+sin2x，‎ ‎=sin（2x+），‎ ‎∴T==π，‎ ‎∴f（x）的最小正周期为π，‎ ‎（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，‎ ‎∴2x+∈[﹣，]，‎ ‎∴﹣≤sin（2x+）≤1，‎ ‎∴f（x）≥﹣‎ ‎　‎ ‎17．（13分）（2017•北京）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：‎ ‎（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；‎ ‎（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；‎ ‎（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．‎ ‎【考点】B8：频率分布直方图；CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 ‎【分析】（Ⅰ）根据频率=组距×高，可得分数小于70的概率为：1﹣（0.04+0.02）×10；‎ ‎（Ⅱ）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40，50）内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；‎ ‎（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．进而得到答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1﹣（0.04+0.02）×10=0.4‎ 故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4；‎ ‎（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，‎ 故样本中分数小于40的频率为：0.05，‎ 则分数在区间[40，50）内的频率为：1﹣（0.04+0.02+0.02+0.01）×10﹣0.05=0.05，‎ 估计总体中分数在区间[40，50）内的人数为400×0.05=20人，‎ ‎（Ⅲ）样本中分数不小于70的频率为：0.6，‎ 由于样本中分数不小于70的男女生人数相等．‎ 故分数不小于70的男生的频率为：0.3，‎ 由样本中有一半男生的分数不小于70，‎ 故男生的频率为：0.6，‎ 即女生的频率为：0.4，‎ 即总体中男生和女生人数的比例约为：3：2．‎ ‎　‎ ‎18．（14分）（2017•北京）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．‎ ‎（1）求证：PA⊥BD；‎ ‎（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；‎ ‎（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．‎ ‎【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LX：直线与平面垂直的性质；LY：平面与平面垂直的判定．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）运用线面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABC，再由性质定理即可得证；‎ ‎（2）要证平面BDE⊥平面PAC，可证BD⊥平面PAC，由（1）运用面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面ABC，再由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，运用面面垂直的性质定理，即可得证；‎ ‎（3）由线面平行的性质定理可得PA∥DE，运用中位线定理，可得DE的长，以及DE⊥平面ABC，求得三角形BCD的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：（1）证明：由PA⊥AB，PA⊥BC，‎ AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，且AB∩BC=B，‎ 可得PA⊥平面ABC，‎ 由BD⊂平面ABC，‎ 可得PA⊥BD；‎ ‎（2）证明：由AB=BC，D为线段AC的中点，‎ 可得BD⊥AC，‎ 由PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，‎ 可得平面PAC⊥平面ABC，‎ 又平面ABC∩平面ABC=AC，‎ BD⊂平面ABC，且BD⊥AC，‎ 即有BD⊥平面PAC，‎ BD⊂平面BDE，‎ 可得平面BDE⊥平面PAC；‎ ‎（3）PA∥平面BDE，PA⊂平面PAC，‎ 且平面PAC∩平面BDE=DE，‎ 可得PA∥DE，‎ 又D为AC的中点，‎ 可得E为PC的中点，且DE=PA=1，‎ 由PA⊥平面ABC，‎ 可得DE⊥平面ABC，‎ 可得S△BDC=S△ABC=××2×2=1，‎ 则三棱锥E﹣BCD的体积为DE•S△BDC=×1×1=．‎ ‎　‎ ‎19．（14分）（2017•北京）已知椭圆C的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．求证：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．‎ ‎【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程．菁优网版权所有 ‎【分析】（Ⅰ）由题意设椭圆方程，由a=2，根据椭圆的离心率公式，即可求得c，则b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）由题意分别求得DE和BN的斜率及方程，联立即可求得E点坐标，根据三角形的相似关系，即可求得=，因此可得△BDE与△BDN的面积之比为4：5．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程：（a＞b＞0），‎ 则a=2，e==，则c=，‎ b2=a2﹣c2=1，‎ ‎∴椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）证明：设D（x0，0），（﹣2＜x0＜2），M（x0，y0），N（x0，﹣y0），y0＞0，‎ 由M，N在椭圆上，则，则x02=4﹣4y02，‎ 则直线AM的斜率kAM==，直线DE的斜率kDE=﹣，‎ 直线DE的方程：y=﹣（x﹣x0），‎ 直线BN的斜率kBN=，直线BN的方程y=（x﹣2），‎ ‎，解得：，‎ 过E做EH⊥x轴，△BHE∽△BDN，‎ 则丨EH丨=，‎ 则=，‎ ‎∴：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．‎ ‎　‎ ‎20．（13分）（2017•北京）已知函数f（x）=excosx﹣x．‎ ‎（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；‎ ‎（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．‎ ‎【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；‎ ‎（2）求出f（x）的导数，再令g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，可得g（x）在区间[0，]的单调性，即可得到f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值．‎ ‎【解答】解：（1）函数f（x）=excosx﹣x的导数为f′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1，‎ 可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=e0（cos0﹣sin0）﹣1=0，‎ 切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），‎ 曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；‎ ‎（2）函数f（x）=excosx﹣x的导数为f′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1，‎ 令g（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1，‎ 则g（x）的导数为g′（x）=ex（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）=﹣2ex•sinx，‎ 当x∈[0，]，可得g′（x）=﹣2ex•sinx≤0，‎ 即有g（x）在[0，]递减，可得g（x）≤g（0）=0，‎ 则f（x）在[0，]递减，‎ 即有函数f（x）在区间[0，]上的最大值为f（0）=e0cos0﹣0=1；‎ 最小值为f（）=ecos﹣=﹣．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：豫汝王世崇；沂蒙松；qiss；于东；zlzhan；whgcn；双曲线；铭灏2016（排名不分先后）‎ 菁优网 ‎2017年6月11日