全国各地高考文科数学试题分类汇编立体几何

全国各地高考文科数学试题分类汇编立体几何

‎2014年全国各地高考文科数学试题分类汇编：立体几何 一、选择填空题 ‎1．[2014·福建卷3] 以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于(　　)‎ A．2π B．π C．2 D．1 【答案】A　‎ ‎2．[2014·浙江卷3] 某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是(　　)‎ 图11‎ A．‎72 cm3 B．‎90 cm‎3 ‎ C．‎108 cm3 D．‎138 cm3 【答案】B　‎ ‎3．[2014·四川卷4] 某三棱锥的侧视图、俯视图如图11所示，则该三棱锥的体积是(锥体体积公式：V＝Sh，其中S为底面面积，h为高)(　　)‎ 图11‎ A．3 B．‎2 ‎‎ C. D．1【答案】D　‎ ‎4．[2014·辽宁卷4] 已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是(　　)‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α 【答案】B　‎ ‎5．[2014·陕西卷5] 将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是(　　)‎ A．4π B．3π C．2π D．π 【答案】C　‎ ‎6．[2014·浙江卷6] 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面(　　)‎ A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α【答案】C　‎ ‎7．[2014·全国卷4] 已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. 【答案】B　‎ ‎8．[2014·新课标全国卷Ⅱ6] 如图11，网格纸上正方形小格的边长为1(表示‎1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为‎3 cm，高为‎6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为(　　)‎ 图11‎ A. B. C. D. 【答案】C　‎ ‎9．[2014·湖北卷10] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为(　　)‎ A. B. C. D. 【答案】B　‎ ‎10．[2014·新课标全国卷Ⅱ7] 正三棱柱ABC A1B‎1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A B1DC1的体积为(　　)‎ A．3 B. C．1 D. 【答案】C　‎ ‎11．[2014·安徽卷8] 一个多面体的三视图如图12所示，则该多面体的体积是(　　)‎ 图12‎ A. B. C．6 D．7 【答案】A　‎ ‎12．[2014·湖北卷7] 在如图11所示的空间直角坐标系O xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为(　　)‎ ‎　‎ 图12‎ A．①和② B．③和①C．④和③ D．④和② 【答案】D　‎ ‎13．[2014·辽宁卷7] 某几何体三视图如图12所示，则该几何体的体积为(　　)‎ 图12‎ A．8－ B．8－ C．8－π D．8－2π 【答案】C　‎ ‎14．[2014·重庆卷7] 某几何体的三视图如图12所示，则该几何体的体积为(　　)‎ 图12‎ A．12 B．‎18 C．24 D．30 【答案】C　‎ ‎15．[2014·全国新课标卷Ⅰ8] 如图11，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是(　　)‎ A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱 【答案】B　‎ ‎16．[2014·湖南卷8] 一块石材表示的几何体的三视图如图12所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于(　　)‎ 图12‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4 【答案】B　‎ ‎17．[2014·全国卷10] 正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　)‎ A. B．16π C．9π D. 【答案】A　‎ ‎18．[2014·浙江卷10] 如图13，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)．若AB＝‎15 m，AC＝‎25 m，∠BCM＝30°，则tan θ的最大值是(　　)‎ 图13‎ A. B. C. D. 【答案】D　‎ ‎19．[2014·江苏卷8] 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________．【答案】　‎ ‎22．[2014·天津卷10] 一个几何体的三视图如图12所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3. ‎ ‎【答案】 ‎20．[2014·北京卷11] 某三棱锥的三视图如图13所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．【答案】2 图13　‎ ‎21．[2014·山东卷13] 一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．【答案】12‎ 三、解答题 ‎1． [2014·安徽卷19] 如图15所示，四棱锥P ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.‎ 图15‎ ‎(1)证明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．‎ 解： (1)证明：因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.‎ 同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.‎ ‎(2)连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.‎ 因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在平面ABCD内，所以PO⊥平面ABCD.‎ 又因为平面GEFH⊥平面ABCD，且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.‎ 因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，所以PO∥GK，所以GK⊥平面ABCD.‎ 又EF⊂平面ABCD，所以GK⊥EF，所以GK是梯形GEFH的高．‎ 由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，‎ 从而KB＝DB＝OB，即K是OB的中点．再由PO∥GK得GK＝PO，‎ 所以G是PB的中点，且GH＝BC＝4.由已知可得OB＝4，PO＝＝＝6，‎ 所以GK＝3，故四边形GEFH的面积S＝·GK＝×3＝18.‎ ‎2．[2014·重庆卷20] 如图14所示四棱锥PABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝，M为BC上一点，且BM＝.‎ ‎(1)证明：BC⊥平面POM；(2)若MP⊥AP，求四棱锥PABMO的体积．‎ 图14‎ 解：(1)证明：如图所示，因为四边形ABCD为菱形，O为菱形的中心，连接OB，则AO⊥OB.因为∠BAD＝，所以OB＝AB·sin∠OAB＝2sin＝1.‎ 又因为BM＝，且∠OBM＝，在△OBM中，OM2＝OB2＋BM2－2OB·BM·cos∠OBM＝12＋－2×1××cos＝，所以OB2＝OM2＋BM2，故OM⊥BM.‎ 又PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BC.从而BC与平面POM内的两条相交直线OM，PO都垂直，所以BC⊥平面POM.‎ ‎(2)由(1)可得，OA＝AB·cos∠OAB＝2×cos＝.‎ 设PO＝a，由PO⊥底面ABCD，知△POA为直角三角形，故PA2＝PO2＋OA2＝a2＋3.‎ 又△POM也是直角三角形，故PM2＝PO2＋OM2＝a2＋.连接AM，在△ABM中，AM2＝AB2＋BM2－2AB·BM·cos∠ABM＝22＋－2×2××cos＝.‎ 由已知MP⊥AP，故△APM为直角三角形，则PA2＋PM2＝AM2，即a2＋3＋a2＋＝，‎ 解得a＝或a＝－(舍去)，即PO＝.‎ 此时S四边形ABMO＝S△AOB＋S△OMB＝·AO·OB＋·BM·OM＝××1＋××＝.‎ 所以四棱锥PABMO的体积V四棱锥PABMO＝·S四边形ABMO·PO＝××＝.‎ ‎3．[2014·陕西卷17] 四面体ABCD及其三视图如图14所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.‎ 图14‎ ‎(1)求四面体ABCD的体积；(2)证明：四边形EFGH是矩形．‎ 解：(1)由该四面体的三视图可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1，‎ ‎∴AD⊥平面BDC，∴四面体ABCD的体积V＝××2×2×1＝.‎ ‎(2)证明：∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩ 平面ABC＝EH，‎ ‎∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH. 同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形．‎ 又∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．‎ ‎4．[2014·湖南卷18] 如图13所示，已知二面角αMNβ的大小为60°，菱形ABCD在面β内，A，B两点在棱MN上，∠BAD＝60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O.‎ 图13‎ ‎(1)证明：AB⊥平面ODE；(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值．‎ 解：(1)证明：如图，因为DO⊥α，AB⊂α，所以DO⊥AB.‎ 连接BD，由题设知，△ABD 是正三角形，又E是AB的中点，所以DE⊥AB.而DO∩DE＝D，故AB⊥平面ODE.‎ ‎(2)因为BC∥AD，所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即∠ADO是BC与OD所成的角．‎ 由(1)知，AB⊥平面ODE，所以AB⊥OE.又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角αMNβ的平面角，从而∠DEO＝60°.‎ 不妨设AB＝2，则AD＝2，易知DE＝.‎ 在Rt△DOE中，DO＝DE·sin 60°＝.‎ 连接AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO＝＝＝.‎ 故异面直线BC与OD所成角的余弦值为.‎ ‎5．[2014·北京卷17] 如图15，在三棱柱ABC A1B‎1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A‎1C1，BC的中点．‎ 图15‎ ‎(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C‎1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E ABC的体积．‎ 解：(1)证明：在三棱柱ABC A1B‎1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.‎ 又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面B1BCC1，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.‎ ‎(2)证明：取AB的中点G，连接EG，FG.‎ 因为E，F，G分别是A‎1C1，BC，AB的中点，所以FG∥AC，且FG＝AC，EC1＝A‎1C1.‎ 因为AC∥A‎1C1，且AC＝A‎1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C‎1F∥EG.‎ 又因为EG⊂平面ABE，C‎1F⊄平面ABE，所以C‎1F∥平面ABE.‎ ‎(3)因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝＝.‎ 所以三棱锥E ABC的体积V＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝.‎ ‎6．[2014·湖北卷20] 如图15，在正方体ABCD A1B‎1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：(1)直线BC1∥平面EFPQ；(2)直线AC1⊥平面PQMN.‎ 图15‎ 证明：(1)连接AD1，由ABCD A1B‎1C1D1是正方体，知AD1∥BC1.‎ 因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1，从而BC1∥FP.‎ 而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.‎ ‎(2)如图，连接AC，BD，A‎1C1，则AC⊥BD.‎ 由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD.‎ 又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC‎1A1，而AC1⊂平面ACC‎1A1，所以BD⊥AC1.‎ 因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MN∥BD，从而MN⊥AC1，同理可证PN⊥AC1.‎ 又PN∩MN＝N，所以直线AC1⊥平面PQMN.‎ ‎7．[2014·江苏卷16] 如图14所示，在三棱锥P ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.‎ 求证：(1)直线PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.‎ 图14‎ 解：（1）∵为中点 ∴DE∥PA ‎∵平面DEF，DE平面DEF ∴PA∥平面DEF ‎（2）∵为中点 ∴‎ ‎∵为中点 ∴‎ ‎∴ ∴，∴DE⊥EF ‎∵，∴‎ ‎∵ ∴DE⊥平面ABC ‎∵DE平面BDE， ∴平面BDE⊥平面ABC．‎ ‎8．[2014·福建卷19] 如图16所示，三棱锥A BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.‎ ‎(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥A MBC的体积．‎ 图16‎ 解：方法一：(1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.‎ 又∵CD⊥BD，AB∩BD＝B，AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，∴CD⊥平面ABD.‎ ‎(2)由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD.‎ ‎∵AB＝BD＝1，∴S△ABD＝. ∵M是AD的中点，∴S△ABM＝S△ABD＝.‎ 由(1)知，CD⊥平面ABD，∴三棱锥C ABM的高h＝CD＝1，‎ 因此三棱锥A MBC的体积VA MBC＝VC ABM＝S△ABM·h＝.‎ 方法二：(1)同方法一．‎ ‎(2)由AB⊥平面BCD，得平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD.‎ 如图所示，过点M作MN⊥BD交BD于点N，则MN⊥平面BCD，且MN＝AB＝.‎ 又CD⊥BD，BD＝CD＝1，∴S△BCD＝.‎ ‎∴三棱锥A MBC的体积VA MBC＝VA BCD－VM BCD＝AB·S△BCD－MN·S△BCD＝.‎ ‎9．[2014·新课标全国卷Ⅱ18] 如图13，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．‎ ‎(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝，三棱锥P ABD的体积V＝，求A到平面PBC的距离．‎ 图13‎ 解：(1)证明：设BD与AC的交点为O，连接EO.‎ 因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．‎ 又E为PD的中点，所以EO∥PB，EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，‎ 所以PB∥平面AEC.‎ ‎(2)V＝××PA×AB×AD＝AB，由V＝，可得AB＝.‎ 作AH⊥PB交PB于点H，由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，‎ 因为PB∩BC＝B，所以AH⊥平面PBC，又AH＝＝，‎ 所以点A到平面PBC的距离为.‎ ‎10．[2014·广东卷18] 如图12所示，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如图13折叠：折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.‎ ‎(1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥M CDE的体积．‎ ‎　　　　 　图12　　　　　　　　图13‎ ‎11．[2014·山东卷18] 如图14所示，四棱锥PABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．‎ 图14‎ ‎(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：BE⊥平面PAC.‎ 证明：(1)设AC∩BE＝O，连接OF，EC.由于E为AD的中点，‎ AB＝BC＝AD，AD∥BC，所以AE∥BC，AE＝AB＝BC，所以O为AC的中点．‎ 又在△PAC中，F为PC的中点，所以AP∥OF，又OF⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，‎ 所以AP∥平面BEF.‎ ‎(2)由题意知，ED∥BC，ED＝BC，所以四边形BCDE为平行四边形，所以BE∥CD.‎ 又AP⊥平面PCD，所以AP⊥CD，所以AP⊥BE.‎ 因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC.‎ 又AP∩AC＝A，AP，AC⊂平面PAC，所以BE⊥平面PAC.‎ ‎12．[2014·江西卷19] 如图11所示，三棱柱ABC A1B‎1C1中，AA1⊥BC，A1B⊥BB1.‎ ‎(1)求证：A‎1C⊥CC1；‎ ‎(2)若AB＝2，AC＝，BC＝，问AA1为何值时，三棱柱ABC A1B‎1C1体积最大，并求此最大值．‎ 图11‎ 解：(1)证明：由AA1⊥BC知BB1⊥BC.又BB1⊥A1B，故BB1⊥平面BCA1，所以BB1⊥A‎1C.‎ 又BB1∥CC1，所以A‎1C⊥CC1.‎ ‎(2)方法一：设AA1＝x.在Rt△A1BB1中，A1B＝＝.‎ 同理，A‎1C＝＝.‎ 在△A1BC中，cos∠BA‎1C＝＝－，‎ sin∠BA‎1C＝，‎ 所以S△A1BC＝A1B·A‎1C·sin∠BA‎1C＝.‎ 从而三棱柱ABC A1B‎1C1的体积V＝S直·l＝S△A1BC·AA1＝.‎ 因为x＝＝，‎ 所以当x＝＝，即AA1＝时，体积V取到最大值.‎ ‎(2)方法二：过A1作BC的垂线，垂足为D，连接AD.‎ 由AA1⊥BC，A1D⊥BC，得BC⊥平面AA1D，故BC⊥AD.又∠BAC＝90°，‎ 所以S△ABC＝AD·BC＝AB·AC，得AD＝.‎ 设AA1＝x.在Rt△AA1D中，‎ A1D＝＝，‎ S△A1BC＝A1D·BC＝.‎ 从而三棱柱ABC A1B‎1C1的体积V＝S直·l＝S△A1BC·AA1＝.因为x＝＝ ‎，‎ 所以当x＝＝，即AA1＝时，体积V取到最大值.‎ ‎13．[2014·辽宁卷19] 如图14所示，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．‎ 图14‎ ‎(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D BCG的体积．‎ ‎ 附：锥体的体积公式V＝Sh，其中S为底面面积，h为高．‎ 解：(1)证明：由已知得△ABC≌△DBC，因此AC＝DC.‎ 又G为AD的中点，所以CG⊥AD，‎ 同理BG⊥AD.又BG∩CG＝G，所以AD⊥平面BGC.‎ 又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.‎ ‎(2)在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB延长线于点O.‎ 由平面ABC⊥平面BCD，知AO⊥平面BDC.‎ 又G为AD的中点，所以G到平面BDC的距离h是AO长度的一半．‎ 在△AOB中，AO＝AB·sin 60°＝，所以 V三棱锥D BCG＝V三棱锥G BCD＝·S△DBC·h＝×·BD·BC·sin 120°·＝.‎ ‎14．[2014·全国新课标卷Ⅰ19] 如图14，三棱柱ABC A1B‎1C1中，侧面BB‎1C1C为菱形，B‎1C的中点为O，且AO⊥平面BB‎1C1C.‎ 图14‎ ‎(1)证明：B‎1C⊥AB；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC A1B‎1C1的高．‎ 解：(1)证明：连接BC1，则O为B‎1C与BC1的交点．‎ 因为侧面BB‎1C1C为菱形，所以B‎1C⊥BC1.‎ 又AO⊥平面BB‎1C1C，所以B‎1C⊥AO，‎ 由于BC1∩AO＝O，故B‎1C⊥平面ABO.‎ 由于AB⊂平面ABO，故B‎1C⊥AB.‎ ‎(2)作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.作OH⊥AD，垂足为H.‎ 由于BC⊥AO，BC⊥OD，且AO∩OD＝O，故BC⊥平面AOD，所以OH⊥BC.‎ 又OH⊥AD，且AD∩BC＝D，所以OH⊥平面ABC.‎ 因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形，又BC＝1，可得OD＝.‎ 因为AC⊥AB1，所以OA＝B‎1C＝.‎ 由OH·AD＝OD·OA，且AD＝＝，得OH＝.‎ 又O为B‎1C的中点，所以点B1到平面ABC的距离为.故三棱柱ABC A1B‎1C1的高为.‎ ‎15．[2014·四川卷18] 在如图14所示的多面体中，四边形ABB‎1A1和ACC‎1A1都为矩形．‎ ‎(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC‎1A1.‎ ‎(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．‎ 图14‎ 解：(1)证明：因为四边形ABB‎1A1和ACC‎1A1都是矩形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.‎ 因为AB，AC为平面ABC内的两条相交直线，所以AA1⊥平面ABC.‎ 因为直线BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC.又由已知，AC⊥BC，AA1，AC为平面ACC‎1A1内的两条相交直线，‎ 所以BC⊥平面ACC‎1A1.‎ ‎(2)取线段AB的中点M，连接A‎1M，MC，A‎1C，AC1，设O为A‎1C，AC1的交点．‎ 图14‎ 由已知，O为AC1的中点．‎ 连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，所以MD綊AC，OE綊AC，因此MD綊OE.‎ 连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，所以DE∥MO.‎ 因为直线DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，所以直线DE∥平面A1MC.‎ 即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC.‎ ‎16．[2014·天津卷17] 如图14所示，四棱锥P ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA＝BD＝，AD＝2，PA＝PD＝，E，F分别是棱AD，PC的中点．‎ ‎ (1)证明：EF∥平面PAB；‎ ‎(2)若二面角PADB为60°.‎ ‎(i)证明：平面PBC⊥平面ABCD；‎ ‎(ii)求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．‎ 解：(1)证明：如图所示，取PB中点M，连接MF，AM.因为F为PC中点，所以MF∥BC，且MF＝BC.由已知有BC∥AD，BC＝AD，又由于E为AD中点，因而MF∥AE且MF＝AE，故四边形AMFE为平行四边形，所以EF∥AM.又AM⊂平面PAB，而EF⊄平面PAB，所以EF∥平面PAB.‎ ‎(2)(i)证明：连接PE，BE.因为PA＝PD，BA＝BD，而E为AD中点，所以PE⊥AD，BE⊥AD，所以∠PEB为二面角P AD B的平面角．在△PAD中，由PA＝PD＝，AD＝2，可解得PE＝2.在△ABD中，由BA＝BD＝，AD＝2，可解得BE＝1.在△PEB中，PE＝2，BE＝1，∠PEB＝60˚，由余弦定理，可解得PB＝，从而∠PBE＝90˚，即BE⊥PB.又BC∥AD，BE⊥AD，从而BE⊥BC，因此BE⊥平面PBC.又BE⊂平面ABCD，所以平面PBC⊥平面ABCD.‎ ‎(ii)连接BF，由(i)知，BE⊥平面PBC，所以∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角．由PB＝及已知，得∠ABP为直角，而MB＝PB＝，可得AM＝，故EF＝.又BE＝1，故在直角三角形EBF中，sin∠EFB＝＝.所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为.‎ ‎17．[2014·浙江卷20] 如图15，在四棱锥A BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝.‎ 图15‎ ‎(1)证明：AC⊥平面BCDE；(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值．‎ 解：(1)证明：连接BD，在直角梯形BCDE中，由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC＝，由AC＝，AB＝2，得AB2＝AC2＋BC2，即AC⊥BC.‎ 又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE.‎ ‎(2)在直角梯形BCDE中，由BD＝BC＝，DC＝2，得BD⊥BC.‎ 又平面ABC⊥平面BCDE，所以BD⊥平面ABC.‎ 作EF∥BD，与CB的延长线交于点F，连接AF，则EF⊥平面ABC.‎ 所以∠EAF是直线AE与平面ABC所成的角．‎ 在Rt△BEF中，由EB＝1，∠EBF＝，得EF＝，BF＝；‎ 在Rt△ACF中，由AC＝，CF＝，得AF＝.‎ 在Rt△AEF中，由EF＝，AF＝，得tan∠EAF＝.‎ 所以，直线AE与平面ABC所成的角的正切值是.‎ ‎18．[2014·重庆卷20] 如图14所示四棱锥PABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝，M为BC上一点，且BM＝.‎ ‎(1)证明：BC⊥平面POM；(2)若MP⊥AP，求四棱锥PABMO的体积．‎ 图14‎ 解：(1)证明：如图所示，因为四边形ABCD为菱形，O为菱形的中心，连接OB，则AO⊥OB.因为∠BAD＝，所以OB＝AB·sin∠OAB＝2sin＝1.‎ 又因为BM＝，且∠OBM＝，在△OBM中，OM2＝OB2＋BM2－2OB·BM·cos∠OBM＝12＋－2×1××cos＝，所以OB2＝OM2＋BM2，故OM⊥BM.‎ 又PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BC.从而BC与平面POM内的两条相交直线OM，PO都垂直，所以BC⊥平面POM.‎ ‎(2)由(1)可得，OA＝AB·cos∠OAB＝2×cos＝.‎ 设PO＝a，由PO⊥底面ABCD，知△POA为直角三角形，故PA2＝PO2＋OA2＝a2＋3.‎ 又△POM也是直角三角形，故PM2＝PO2＋OM2＝a2＋.连接AM，在△ABM中，AM2＝AB2＋BM2－2AB·BM·cos∠ABM＝22＋－2×2××cos＝.‎ 由已知MP⊥AP，故△APM为直角三角形，则PA2＋PM2＝AM2，即a2＋3＋a2＋＝，‎ 解得a＝或a＝－(舍去)，即PO＝.‎ 此时S四边形ABMO＝S△AOB＋S△OMB＝·AO·OB＋·BM·OM＝××1＋××＝.‎ 所以四棱锥PABMO的体积V四棱锥PABMO＝·S四边形ABMO·PO＝××＝.‎ ‎19．[2014·全国卷19] 如图11所示，三棱柱ABC A1B‎1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，‎ ‎∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2.‎ ‎(1)证明：AC1⊥A1B；(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1 AB C的大小．‎ ‎ 图11‎ 解：方法一：(1)证明：因为A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA‎1C1C，故平面AA‎1C1C⊥平面ABC.又BC⊥AC，平面AA‎1C1C∩平面ABC＝AC，所以BC⊥平面AA‎1C1C.‎ 连接A‎1C，因为侧面AA‎1C1C为菱形，故AC1⊥A‎1C.‎ 由三垂线定理得AC1⊥A1B.‎ ‎(2)BC⊥平面AA‎1C1C，BC⊂平面BCC1B1，‎ 故平面AA‎1C1C⊥平面BCC1B1.‎ 作A1E⊥CC1，E为垂足，则A1E⊥平面BCC1B1.‎ 又直线AA1∥平面BCC1B1，因而A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E＝.‎ 因为A‎1C为∠ACC1的平分线，故A1D＝A1E＝.‎ 作DF⊥AB，F为垂足，连接A‎1F.由三垂线定理得A‎1F⊥AB，‎ 故∠A1FD为二面角A1 AB C的平面角．‎ 由AD＝＝1，得D为AC中点，‎ 所以DF＝，tan∠A1FD＝＝，‎ 所以cos∠A1FD＝.‎ 所以二面角A1 AB C的大小为arccos.‎ 方法二：以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB的长为单位长，建立如图所示的空间直线坐标系C xyz.由题设知A1D与z轴平行，z轴在平面AA‎1C1C内．‎ ‎(1)证明：设A1(a，0，c)，由题设有a≤2，A(2，0，0)，B(0，1，0)，则＝(－2，1，0)，＝(－2，0，0)，＝(a－2，0，c)，＝＋＝(a－4，0，c)，＝(a，－1，c)．‎ 由||＝2，得＝2，即 a2－‎4a＋c2＝0.　　①‎ 又·＝a2－‎4a＋c2＝0，所以AC1⊥A1B.‎ ‎(2)设平面BCC1B1的法向量m＝(x，y，z)，‎ 则m⊥，m⊥，即m·CB＝0，m·＝0.‎ 因为＝(0，1，0)，＝＝(a－2，0，c)，所以y＝0，且(a－2)x＋cz＝0.‎ 令x＝c，则z＝2－a，所以m＝(c，0，2－a)，故点A到平面BCC1B1的距离为||·|cos〈m，〉|＝＝＝c.‎ 又依题设，A到平面BCC1B1的距离为，所以c＝，‎ 代入①，解得a＝3(舍去)或a＝1，于是＝(－1，0，)．‎ 设平面ABA1 的法向量n＝(p，q，r)，则n⊥，n⊥，即n·＝0，n·＝0，‎ 所以－p＋r＝0，且－2p＋q＝0.令p＝，则q＝2 ，r＝1，所以n＝(，2 ，1)．‎ 又p＝(0，0，1)为平面ABC的法向量，故 cos〈n，p〉＝＝，所以二面角A1 AB C的大小为arccos.‎