高考真题文科数学解析分类汇编概率

高考真题文科数学解析分类汇编概率

‎2012高考文科试题解析分类汇编：概率 ‎1.【2012高考安徽文10】袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】1个红球，2个白球和3个黑球记为 从袋中任取两球共有15种；‎ 满足两球颜色为一白一黑有种，概率等于 ‎2.【2012高考辽宁文11】在长为‎12cm的线段AB上任取一点C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB的长，则该矩形面积大于‎20cm2的概率为 ‎:(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】C ‎ 【解析】设线段AC的长为cm，则线段CB的长为()cm,那么矩形的面积为cm2，‎ 由，解得。又，所以该矩形面积小于‎32cm2的概率为，故选C ‎【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算，以及分析问题的能力，属于中档题。‎ ‎3.【2012高考湖北文10】如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆。在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A. B. . C. D. ‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】如图，不妨设扇形的半径为‎2a,如图,记两块白色区域的面积分别为S1,S2,两块阴影部分的面积分别为S3,S4，‎ 则S1+S2+S3+S4=S扇形OAB=①,‎ 而S1+S3 与S2+S3的和恰好为一个半径为a的圆，即S1+S3 +S2+S3②.‎ ‎①-②得S3=S4,由图可知S3=,所以. .‎ 由几何概型概率公式可得，此点取自阴影部分的概率 P=.‎ ‎【点评】本题考查古典概型的应用以及观察推理的能力.本题难在如何求解阴影部分的面积，即如何巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.来年需注意几何概型在实际生活中的应用.‎ ‎4.【2102高考北京文3】设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】题目中表示的区域表示正方形区域，而动点可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此，故选D ‎【考点定位】 本小题是一道综合题，它涉及到的知识包括：线性规划，圆的概念和面积公式、概率。‎ ‎ 5.【2012高考浙江文12】‎ 从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为的概率是___________。‎ ‎【答案】‎ ‎【命题意图】本题主要了以正方形中某些点为背景的随机事件的概率问题。‎ ‎【解析】若使两点间的距离为，则为对角线一半，选择点必含中心，概率为.‎ ‎6.【2012高考重庆文15】某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率 为 （用数字作答）。‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】先排其他三门艺术课有种排法，再把语文、数学、外语三门文化课插入由三门艺术课隔开的四个空中，有种排法，所以所有的排法有。6节课共有种排法。所以相邻两节文化课至少间隔1节艺术课的概率为。‎ ‎7.【2012高考上海文11】三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】三位同学从三个项目选其中两个项目有中，若有且仅有两人选择的项目完成相同，则有，所以有且仅有两人选择的项目完成相同的概率为。‎ ‎8.【2012高考江苏6】（5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】等比数列，概率。‎ ‎【解析】∵以1为首项，为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，-27，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，‎ ‎ ∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是。‎ ‎9.【2012高考江苏25】（10分）设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，．‎ ‎ （1）求概率；‎ ‎ （2）求的分布列，并求其数学期望．‎ ‎【答案】解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，‎ ‎ ∴共有对相交棱。‎ ‎ ∴ 。‎ ‎ （2）若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，‎ ‎ ∴ ，。‎ ‎ ∴随机变量的分布列是：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎ ∴其数学期望。 ‎ ‎【考点】概率分布、数学期望等基础知识。‎ ‎【解析】（1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率。‎ ‎ （2）求出两条棱平行且距离为的共有6对，即可求出，从而求出（两条棱平行且距离为1和两条棱异面），因此得到随机变量的分布列，求出其数学期望。‎ ‎10．【2012高考新课标文18】（本小题满分12分）‎ 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.‎ ‎（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式. ‎ ‎（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：‎ 日需求量n ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 频数 ‎10‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎(1)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；‎ ‎(2)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率.‎ ‎【命题意图】本题主要考查给出样本频数分别表求样本的均值、将频率做概率求互斥事件的和概率，是简单题.‎ ‎【解析】（Ⅰ）当日需求量时，利润=85；‎ 当日需求量时，利润，‎ ‎∴关于的解析式为；‎ ‎（Ⅱ）(i)这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的平均利润为 ‎=76.4；‎ ‎(ii)利润不低于75元当且仅当日需求不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为 ‎11.【2012高考四川文17】(本小题满分12分) ‎ 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和。‎ ‎（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值；‎ ‎（Ⅱ）求系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率。‎ 命题立意：本题主要考查独立事件的概率公式、随机试验等基础知识，考查实际问题的数学建模能力，数据的分析处理能力和基本运算能力.‎ ‎[解析]（1）设：“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么 ‎1-P（C）=1-P= ，解得P=………………………………6 分 ‎ ‎（2）设“系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为 事件D,‎ 那么P(D)=‎ 答：检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为. ………………12分.‎ ‎[点评]本小题主要考查相互独立事件，独立重复试验、互斥事件等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力.‎ ‎12.【2102高考北京文17】（本小题共13分）‎ 近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：‎ ‎“厨余垃圾”箱 ‎“可回收物”箱 ‎“其他垃圾”箱 厨余垃圾 ‎400‎ ‎100‎ ‎100‎ 可回收物 ‎30‎ ‎240‎ ‎30‎ 其他垃圾 ‎20‎ ‎20‎ ‎60‎ ‎（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率；‎ ‎（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误额概率；‎ ‎（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为其中a＞0，=600。当数据的方差最大时，写出的值（结论不要求证明），并求此时的值。‎ ‎（注：，其中为数据的平均数）‎ 考点定位】此题的难度集中在第三问，基他两问难度不大，第三问是对能力的考查，不要求证明，即不要求说明理由，但是要求学生对方差意义的理解非常深刻。‎ ‎（1）厨余垃圾投放正确的概率约为 ‎=‎ ‎（2）设生活垃圾投放错误为事件A,则事件表示生活垃圾投放正确。‎ 事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P(),约为。所以P(A)约为1－0.7=0,3。‎ ‎（3）当，时，取得最大值.因为，‎ 所以．‎ ‎13.【2012高考湖南文17】（本小题满分12分）‎ 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.‎ 一次购物量 ‎1至4件 ‎5至8件 ‎9至12件 ‎13至16件 ‎17件及以上 顾客数（人）‎ ‎30‎ ‎25‎ ‎10‎ 结算时间（分钟/人）‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.‎ ‎（Ⅰ）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；‎ ‎（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.（将频率视为概率）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知得，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为:‎ ‎(分钟).‎ ‎（Ⅱ）记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率，得 ‎.‎ 是互斥事件，‎ ‎.‎ 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.‎ ‎【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％，知从而解得，再用样本估计总体，得出顾客一次购物的结算时间的平均值的估计值；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得 一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.‎ ‎14.【2012高考山东文18】(本小题满分12分)‎ 袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.‎ ‎(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；‎ ‎(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.‎ ‎【答案】(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为.‎ ‎(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为.‎ ‎15.【2012高考全国文20】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在平前，一方连续发球 次后，对方再连续发球次，依次轮换。每次发球，胜方得分，负方得分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得分的概率为，各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。‎ ‎（Ⅰ）求开始第次发球时，甲、乙的比分为比的概率；‎ ‎（Ⅱ）求开始第次发球时，甲得分领先的概率。‎ ‎【命题意图】本试题主要是考查了关于独立事件的概率的求解。首先要理解发球的具体情况，然后对于事件的情况分析，讨论，并结合独立事件的概率求解结论。‎ 解：记为事件“第i次发球，甲胜”，i=1,2,3，则。‎ ‎（Ⅰ）事件“开始第次发球时，甲、乙的比分为比”为，由互斥事件有一个发生的概率加法公式得 ‎。‎ 即开始第次发球时，甲、乙的比分为比的概率为0.352‎ ‎（Ⅱ）五次发球甲领先时的比分有：这两种情况 开始第5次发球时比分为的概率为：‎ 开始第5次发球时比分为的概率为：‎ 故求开始第5次发球时，甲得分领先的概率为。‎ ‎【点评】首先从试题的选材上来源于生活，同学们比较熟悉的背景，同时建立在该基础上求解进行分类讨论的思想的运用。情景比较亲切，容易入手，但是在讨论情况的时间，容易丢情况。‎ ‎16.【2012高考重庆文18】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）‎ 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响。（Ⅰ）求乙获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时乙只投了2个球的概率。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 独立事件同时发生的概率计算公式知 ‎17.【2012高考天津文科15】（本小题满分13分）‎ 某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查。‎ ‎（I）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目。‎ ‎（II）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，‎ ‎ （1）列出所有可能的抽取结果；‎ ‎（2）求抽取的2所学校均为小学的概率。‎ ‎【解析】（1）从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目之比为 ‎ 得：从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为 ‎ （2）（i）设抽取的6所学校中小学为，中学为，大学为；‎ ‎ 抽取2所学校的结果为：，‎ ‎ 共种；‎ ‎ （ii）抽取的2所学校均为小学的结果为：共种 ‎ 抽取的2所学校均为小学的概率为 ‎18.【2012高考陕西文19】（本小题满分12分）‎ 假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：‎ ‎（Ⅰ）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；‎ ‎（Ⅱ）这两种品牌产品中，，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率。‎ ‎【解析】（Ⅰ）甲品牌产品寿命小于200小时的频率为，用频率估计概率，所以，‎ ‎ 甲品牌产品寿命小于200小时的概率为．‎ ‎ （Ⅱ）根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有75+70=145个，其中甲品牌产品 ‎ ‎ 是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是，‎ ‎ 用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为．‎ ‎19.【2012高考江西文18】（本小题满分12分）‎ 如图，从A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0,1,0,）B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点。‎ （1） 求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；‎ （2） 求这3点与原点O共面的概率。‎ ‎ 【解析】（1）总的结果数为20种，则满足条件的种数为2种所以所求概率为 ‎（2）满足条件的情况为,,,,,‎ ‎,所以所求概率为.‎