基本初等函数历年高考题

基本初等函数历年高考题

‎ 基本初等函数I ‎1.(2009年广东卷文)若函数是函数的反函数，且，则 ( )‎ A． B． C． D．2 ‎ 答案 A 解析 函数的反函数是,又,即,‎ 所以,,故,选A.‎ ‎2.（2009北京文）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有 点 （ ）‎ ‎ A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 ‎ B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 ‎ C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 ‎ D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 答案 C 解析 本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎3.（2009天津卷文）设，则 ( )‎ A a‎ 的是 A．= B. = ‎ C .= D.‎ 答案 A 解析 依题意可得函数应在上单调递减，故由选项可得A正确。‎ ‎9. （2009辽宁卷文）已知函数满足：x≥4,则＝；当x＜4时＝‎ ‎，则＝‎ A. B. C. D.‎ 答案 A 解析 ∵3＜2＋log23＜4,所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)且3＋log23＞4‎ ‎∴＝f(3＋log23)‎ ‎＝‎ ‎10.（2009四川卷文）函数的反函数是 ‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ 答案 C 解析 由，又因原函数的值域是，‎ ‎∴其反函数是 ‎11.（2009陕西卷文）设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,则的值为 A. B. C. D.1‎ 答案 B 解析 对,令得在点（1，1）处的切线的斜率,在点 ‎（1，1）处的切线方程为,不妨设,则, 故选 B.‎ ‎12.（2009全国卷Ⅰ文）已知函数的反函数为，则 ‎（A）0 （B）1 （C）2 （D）4‎ 答案 C 解析 由题令得，即，又，所以 ‎，故选择C。‎ ‎13.(2009湖南卷理)若a＜0，＞1，则 ( )‎ A．a＞1,b＞0 B．a＞1,b＜0 C. 0＜a＜1, b＞0 D. 0＜a＜1, b＜0‎ 答案 D 解析 由得由得，所以选D项。‎ ‎14.（2009四川卷理）已知函数连续，则常数 的值是 ( )‎ Ａ.２　　 Ｂ.３　　 　Ｃ.４　　 　Ｄ.５ ‎ ‎【考点定位】本小题考查函数的连续性，考查分段函数，基础题。‎ 答案 B 解析 由题得，故选择B。‎ 解析2：本题考查分段函数的连续性．由，，由函数的连续性在一点处的连续性的定义知 ‎，可得．故选B．‎ ‎15.（2009福建卷文）若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 则可以是 A. B. ‎ C. D. ‎ 答案 A 解析 的零点为x=,的零点为x=1, 的零点为x=0, 的零点为x=.现在我们来估算的零点，因 为g(0)= -1,g()=1,所以g(x)的零点x(0, ),又函数的零点与 的零点之差的绝对值不超过0.25，只有的零点适合，故选A。‎ 二、填空题 ‎16.（2009江苏卷）已知集合，若则实数的取值范围是，其中= . ‎ 解析 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。‎ 由得，；由知，所以4。‎ ‎17.(2009山东卷理)若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 .‎ 答案 ‎ 解析 设函数且和函数,则函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点, 就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是 ‎【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答.‎ ‎18.（2009重庆卷文）记的反函数为，则方程的解 ．‎ 答案 2‎ 解法1 由，得，即，于是由，解得 解法2因为，所以 ‎2005—2008年高考题 一、选择题 ‎1.（2008年山东文科卷）已知函数的图象如图所示，则满足的关系是 （ ）‎ O y x A． B．‎ C． D．‎ 答案 A ‎ 解析 本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。‎ 由图易得取特殊点 ‎ .‎ ‎2. (07山东)设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值 为 （ ）‎ A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 ‎ 答案 A ‎ ‎3.（2006年安徽卷）函数的反函数是 （ 　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 答案 D 解析 由得：x+1=lny，即x=-1+lny,所以为所求，故选D。‎ ‎4.（2006年湖北卷）设，则的定义域为 ( )‎ A． B． ‎ C． D．‎ 答案 B 解析 f（x）的定义域是（－2，2），故应有－2<<2且－2<<2解得－41，故 ‎ 上式对一切均成立，从而判别式 ‎14.（2009广东三校一模）设函数.‎ ‎(1)求的单调区间;‎ ‎(2)若当时,(其中)不等式恒成立,求实数 的取值范围;‎ ‎(3)试讨论关于的方程:在区间上的根的个数.‎ 解 （1）函数的定义域为. 1分 由得; 2分 ‎ 由得, 3分 则增区间为,减区间为. 4分 ‎(2)令得,由(1)知在上递减,在上递增, 6分 由,且, 8分 时, 的最大值为,故时,不等式恒成立. 9分 ‎(3)方程即.记,则 ‎.由得;由得.‎ 所以g(x)在[0,1]上递减，在[1，2]上递增.‎ 而g(0)=1，g(1)=2-2ln2，g(2)=3-2ln3，∴g(0)＞g(2)＞g(1) 10分 所以，当a＞1时，方程无解；‎ 当3-2ln3＜a≤1时，方程有一个解，‎ 当2-2ln2＜a≤a≤3-2ln3时，方程有两个解；‎ 当a=2-2ln2时，方程有一个解；‎ 当a＜2-2ln2时，方程无解. 13分 字上所述，a时，方程无解；‎ 或a=2-2ln2时，方程有唯一解；‎ 时，方程有两个不等的解. 14分 ‎ ‎9月份更新 一、选择题 ‎1.（2009聊城一模）已知函数上的奇函数，‎ 当x>0时，的大致图象为 （ ）‎ 答案 B ‎2.（2009临沂一模）已知函数f(x)=，若x0是方程f(x)=0的解，且00时是单调函数，则满足f(2x)=f()的所有x之和为 A、 B、 C、－8 D、8‎ 答案 C ‎4.（2009青岛一模）设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为 A． B． C． D．‎ 答案 D ‎5.（2009日照一模）（6）函数的零点一定位于区间 ‎ A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）‎ 答案 A ‎6.（2009日照一模）（函数的图象如右图所示，则函数的图象大致是 答案 C ‎7.（2009泰安一模）已知函数y=f(x)与互为反函数，函数y=g(x)的图像与y=f(x)图像关于x轴对称，若g(a)=1,则实数a值为 ‎ （A）-e (B) (C) (D) e 答案 C ‎8.（2009枣庄一模）已知则关于右图中函数图象的表述正确的是 （ ）‎ ‎ A．是的图象 ‎ ‎ B．是的图象 ‎ C．是的图象 ‎ ‎ D．以上说法都不对 答案 D ‎9.（2009枣庄一模）设函数 （ ）‎ ‎ A．3 B．4 C．7 D．9‎ 答案 C 二、填空题 ‎1.（2009青岛一模）定义：区间的长度为.已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的差为_________.‎ 答案 1‎ ‎2.（2009冠龙高级中学3月月考）已知函数，若，则实数的取值范围是 。‎ 答案 ‎ ‎3.（2009闵行三中模拟）若函数的值域是，则函数的值域是 ‎ 答案 ‎ ‎4.（2009上海普陀区）已知函数，是的反函数，若的图像过点，则 . ‎ 答案 2‎ ‎5.（2009上海十校联考）已知函数的值域是，则实数的取值范围是________________．‎ 答案 ‎ ‎6.（2009上海卢湾区4月模考）（2009上海卢湾区4月模考）设的反函数为，若函数的图像过点，且， 则 ．‎ 答案 ‎ 三、解答题 ‎1.（2009聊城一模）已知函数在区间[－1，1]上最大值为1，最小值为－2。‎ ‎ （1）求的解析式；‎ ‎ （2）若函数在区间[－2，2]上为减函数，求实数m的取值范围。‎ 解：（1）‎ [ ] [ ] ‎.‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎)‎ ‎(‎ ‎.‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎,‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎)‎ ‎1‎ ‎(‎ ‎),‎ ‎1‎ ‎(‎ ‎)‎ ‎1‎ ‎(‎ ‎,‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎)‎ ‎1‎ ‎(‎ ‎,‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎)‎ ‎1‎ ‎(‎ ‎,‎ ‎1‎ ‎)‎ ‎0‎ ‎(‎ ‎.‎ ‎1‎ ‎,‎ ‎0‎ ‎,‎ ‎0‎ ‎,‎ ‎1‎ ‎)‎ ‎(‎ ‎,‎ ‎1‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎0‎ ‎,‎ ‎0‎ ‎)‎ ‎(‎ ‎'‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ 上为减函数 在 上为增函数 在 得 令 Q Q + - = = - = - = - < - - = - = - = = - > = = = x x x f a a f f f a f a f b f x f a a x x x f ‎ （2）‎ 由，‎ 知 ‎ ‎， 即 ‎ ‎ ‎ ‎2.（2009临沂一模）设函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.‎ （I） 当a=0时，f(x)≥h(x)在（1,+∞）上恒成立，求实数m的取值范围;‎ （II） 当m=2时，若函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同零点，求实数 a的取值范围;‎ （III） 是否存在实数m，使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由。‎ 解：（1）由a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x　即 记，则f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于.‎ 求得 ‎ 当时;;当时，‎ 故在x=e处取得极小值，也是最小值，‎ 即，故.‎ ‎（2）函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a，在［1,3］上恰有两个相异实根。‎ 令g(x)=x-2lnx,则 当时，,当时，‎ g(x)在[1,2]上是单调递减函数，在上是单调递增函数。‎ 故 又g(1)=1,g(3)=3-2ln3‎ ‎∵g(1)>g(3),∴只需g(2)0，解得x>或x<-（舍去）‎ 故时，函数的单调递增区间为(,+∞)‎ 单调递减区间为(0, )而h(x)在(0,+∞)上的单调递减区间是(0,)，单调递增区间是(，+∞)‎ 故只需=，解之得m=即当m=时，函数f(x)和函数h(x)在其公共定义域上具有相同的单调性。‎ ‎2007—2008年联考题 一、选择题 ‎1.（2008年高考数学各校月考试题）若lga+lgb=0(其中a≠1，b≠1)，则函数f（x）=ax与g(x)=bx的图象 （ ）‎ ‎ A．关于直线y=x对称 B．关于x轴对称 C．关于y轴对称 D．关于原点对称 答案 C ‎ 解析 取满足可得答案C.‎ ‎2.（2007届岳阳市一中高三数学能力题训练）已知a>1，则函数f（x）= loga x的图象与其反函数y=f-1（x）的图象 （ ）‎ A.不可能有公共点 B.不可能只有一个公共点 C. 最多只有一个公共点 D.最多只有两个公共点 答案 D ‎3.（2007届高三数学二轮复习新型题专题训练）一次研究性课堂上，老师给出函数 ‎(xR)，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：‎ ‎ 甲：函数f(x)的值域为（－1，1）；乙：若x1≠x2，则一定有f(x1)≠f(x2)；‎ 丙：若规定，对任意N*恒成立. ‎ 你认为上述三个命题中正确的个数有 （ ） ‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案 D 二、填空题 ‎4.（2008年高考数学各校月考试题）已知函数的图象与函数g（x）的图象关于直线对称，令则关于函数有下列命题: ‎ ‎①的图象关于原点对称； ②为偶函数；‎ ‎③的最小值为0； ④在（0，1）上为减函数.‎ 其中正确命题的序号为 （注：将所有正确命题的序号都填上）‎ 答案 ②③‎ ‎5.(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)幂函数的图象经过点，则 满足＝27的x的值是 .‎ 答案 三、解答题 ‎6.(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)已知函数 ‎ ‎ (1)判断函数的奇偶性。 (2)判断函数的单调性。‎ 解 （1）‎ ‎ =‎ ‎ ∴为奇函数 ‎（2）是R上的增函数，（证明略）‎ ‎7.(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，‎ （1） 求证：f(0)=1；‎ （2） 求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；‎ ‎（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。‎ 解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1‎ ‎（2）令a=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) ∴‎ 由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0‎ ‎∴又x=0时，f(0)=1>0‎ ‎∴对任意x∈R，f(x)>0‎ ‎(3)任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在R上是增函数 ‎（4）f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)，‎ f(x)在R上递增 ‎∴由f(3x-x2)>f(0)得：3x-x2>0 ∴ 0

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