江苏高考函数真题汇编

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

江苏高考函数真题汇编

江苏高考数学_函数_十年汇编(2005-2017)‎ 一.基础题组 ‎1. 【2005江苏,理2】函数的反函数的解+析表达式为( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎2. 【2005江苏,理15】函数的定义域为 .‎ ‎3. 【2005江苏,理16】若‎3a=0.618,a∈,k∈Z,则k= .‎ ‎4. 【2005江苏,理17】已知a,b为常数,若则 .‎ ‎5. 【2007江苏,理6】设函数f(x)定义在实数集上,它的图像关于直线x=1对称,且当x≥1时,f(x)=3x-1,则有( )‎ A.f()<f()<f()B.f()<f()<f()‎ C.f()<f()<f()D.f()<f()<f()‎ ‎6. 【2007江苏,理8】设f(x)=lg()是奇函数,则使f(x)<0的x的取值范围是( )‎ A.(-1,0)B.(0,1)C.(-∞,0)D.(-∞,0)∪(1,+∞)‎ ‎7. 【2007江苏,理16】某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为‎5 cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数,则d= __________,其中t∈0,60].‎ ‎8. 【2009江苏,理10】.已知,函数,若实数、满足,则、的大小关系为 ▲ . ‎ ‎9. 【2010江苏,理5】设函数f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶函数,则实数a的值为__________.‎ ‎10. 【2011江苏,理2】函数的单调增区间是 .‎ ‎11. 【2011江苏,理8】在平面直角坐标系中,过坐标原点的一条直线与函数的图象交于两点,则线段长的最小值为 .‎ ‎12. 【2011江苏,理11】已知实数,函数,若 ‎,则的值为 .‎ ‎13. 【2012江苏,理5】函数的定义域为__________.‎ ‎14. 【2012江苏,理10】设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间-1,1]上,f(x)=其中a,b∈R.若,则a+3b的值为__________.‎ ‎15. 【2014江苏,理10】已知函数,若对于任意的都有,则实数的取值范围为 .‎ ‎16.【2016年高考江苏卷】函数y=的定义域是 .‎ ‎17.【2016年高考江苏卷】设 是定义在R上且周期为2的函数,在区间)上, 其中 若 ,则的值是 ▲ .‎ 二.能力题组 ‎1. 【2010江苏,理14】将边长为1的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记S=,则S的最小值是__________.‎ ‎2. 【2012江苏,理17】如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为‎1千米,某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-(1+k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.‎ ‎(1)求炮的最大射程;‎ ‎(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.‎ ‎3. 【2013江苏,理13】在平面直角坐标系xOy中,设定点A(a,a),P是函数(x>0)图象上一动点.若点P,A之间的最短距离为,则满足条件的实数a的所有值为__________.‎ ‎4. 【2014江苏,理13】已知是定义在上且周期为3的函数,当时,,若函数在区间上有10个零点(互不相同),则实数的取值范围是 .‎ ‎5. 【2015高考江苏,13】已知函数,,则方程实根的个数为 ‎ 三.拔高题组 ‎1. 【2005江苏,理22】已知函数 ‎(Ⅰ)当a=2时,求使f(x)=x成立的x的集合;‎ ‎(Ⅱ)求函数y=f (x)在区间1,2]上的最小值.‎ ‎2. 【2006江苏,理20】设a为实数,设函数的最大值为g(a).‎ ‎   (Ⅰ)设t=,求t的取值范围,并把f(x)表示为t的函数m(t)‎ ‎(Ⅱ)求g(a)‎ ‎(Ⅲ)试求满足的所有实数a ‎3. 【2007江苏,理21】已知a,b,c,d是不全为零的实数,函数f(x)=bx2+cx+d,g(x)=ax2+bx2+cx+d.方程f(x)=0有实数根,且f(x)=0的实数根都是g(f(x))=0的根;反之,g(f(x))=0的实数根都是f(x)=0的根.‎ ‎(1)求d的值;(3分)‎ ‎(2)若a=0,求c的取值范围;(6分)‎ ‎(3)若a=l,f(1)=0,求c的取值范围.(7分)‎ ‎4. 【2008江苏,理20】已知函数,(为常数).函数定义为:对每个给定的实数,‎ ‎(1)求对所有实数成立的充分必要条件(用表示);‎ ‎(2)设是两个实数,满足,且.若,求证:函数在区间上的单调增区间的长度之和为(闭区间的长度定义为)‎ ‎ ‎ ‎5. 【2009江苏,理19】按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为元,如果他卖出该产品的单价为元,则他的满意度为;如果他买进该产品的单价为元,则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和,则他对这两种交易的综合满意度为. ‎ 现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元,乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元,设产品A、B的单价分别为元和元,甲买进A与卖出B的综合满意度为,乙卖出A与买进B的综合满意度为 ‎(1)求和关于、的表达式;当时,求证:=; ‎ ‎(2)设,当、分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满意度为多少? ‎ ‎(3)记(2)中最大的综合满意度为,试问能否适当选取、的值,使得和同时成立,但等号不同时成立?试说明理由. ‎ ‎6. 【2009江苏,理20】设为实数,函数. ‎ ‎(1)若,求的取值范围; ‎ ‎(2)求的最小值; ‎ ‎(3)设函数,直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.‎ ‎7.【2016年高考江苏卷】(本小题满分16分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)设.‎ ‎①求方程=2的根;‎ ‎②若对任意,不等式恒成立,求实数m的最大值;‎ ‎(2)若,函数有且只有1个零点,求ab的值.‎ ‎2017-14.(5分)(2017•江苏)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)=,其中集合D={x|x=,n∈N*},则方程f(x)﹣lgx=0的解的个数是   .‎ ‎2017-20.(16分)(2017•江苏)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)‎ ‎(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;‎ ‎(2)证明:b2>3a;‎ ‎(3)若f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,求a的取值范围.‎ 答案 一.基础题组 ‎1. 【2005江苏,理2】函数的反函数的解+析表达式为( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎ ‎ ‎2. 【2005江苏,理15】函数的定义域为 .‎ ‎【答案】‎ 由题意得:‎ ‎ 则由对数函数性质得:‎ ‎ 即,求得函数的定义域为:.‎ ‎3. 【2005江苏,理16】若‎3a=0.618,a∈,k∈Z,则k= .‎ ‎【答案】‎ 如图观察分析指数函数y=3x的图象,函数值为0.168上,与‎3a=0.168, ‎ ‎4. 【2005江苏,理17】已知a,b为常数,若则 .‎ ‎【答案】2‎ 由f(x)=x2+4x+3, f(ax+b)=x2+10x+24, ‎ ‎ 得:(ax+b)2+4(ax+b)+3=x2+10x+24,‎ ‎ 即:a2x2+2abx+b2+4ax+4b+3=x2+10x+24,‎ ‎ 比较系数得:‎ ‎ 求得:a=-1,b=-7, 或a=1,b=3,则‎5a-b=2.‎ ‎5. 【2007江苏,理6】设函数f(x)定义在实数集上,它的图像关于直线x=1对称,且当x≥1时,f(x)=3x-1,则有( )‎ A.f()<f()<f()B.f()<f()<f()‎ C.f()<f()<f()D.f()<f()<f()‎ ‎【答案】B ‎6. 【2007江苏,理8】设f(x)=lg()是奇函数,则使f(x)<0的x的取值范围是( )‎ A.(-1,0)B.(0,1)C.(-∞,0)D.(-∞,0)∪(1,+∞)‎ ‎【答案】A ‎7. 【2007江苏,理16】某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为‎5 cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数,则d= __________,其中t∈0,60].‎ ‎【答案】10sin ‎ ‎ ‎8. 【2009江苏,理10】.已知,函数,若实数、满足,则、的大小关系为 ▲ . ‎ ‎ ‎ ‎9. 【2010江苏,理5】设函数f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶函数,则实数a的值为__________.‎ ‎【答案】-1‎ ‎∵函数f(x)=x(ex+ae-x),x∈R是偶函数,‎ ‎∴设g(x)=ex+ae-x,x∈R.由题意知g(x)应为奇函数(奇函数×奇函数=偶函数),‎ 又∵x∈R,∴g(0)=0,则1+a=0,∴a=-1. ‎ ‎10. 【2011江苏,理2】函数的单调增区间是 .‎ ‎【答案】‎ 由,得,所以函数的单调增区间是.‎ ‎11. 【2011江苏,理8】在平面直角坐标系中,过坐标原点的一条直线与函数的图象交于两点,则线段长的最小值为 .‎ ‎ 12. 【2011江苏,理11】已知实数,函数,若,则的值为 .‎ ‎【答案】‎ 本题考查了函数的概念及函数和方程的关系,是A级要求, 中档题.由题意得,当时, ,,解之得,不合舍去;当时,,,解之得.本题只要根据题意对分类,把问题化为方程问题求解即可,而无需画图,否则较易错.要分析各类问题的特点,恰当转化是解决问题的关键,要培养相关的意识.‎ ‎13. 【2012江苏,理5】函数的定义域为__________.‎ ‎【答案】(0,]‎ 要使函数有意义,则需 解得0<x≤,故f(x)的定义域为(0,].‎ ‎14. 【2012江苏,理10】设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间-1,1]上,f(x)=其中a,b∈R.若,则a+3b 的值为__________.‎ ‎ ‎ ‎15. 【2014江苏,理10】已知函数,若对于任意的都有,则实数的取值范围为 .‎ ‎【答案】‎ 据题意解得.‎ ‎16.【2016年高考江苏卷】函数y=的定义域是 .‎ ‎【答案】‎ 试题分析:要使函数式有意义,必有,即,解得.故答案应填:‎ ‎【考点】函数定义域 ‎【名师点睛】函数定义域的考查,一般是多知识点综合考查,先“列”后“解”是常规思路.列式主要从分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零等出发,而解则与一元二次不等式、指(对)数不等式、三角不等式等联系在一起. ‎ ‎17.【2016年高考江苏卷】设 是定义在R上且周期为2的函数,在区间)上, 其中 若 ,则的值是 ▲ .‎ 二.能力题组 ‎1. 【2010江苏,理14】将边长为1的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记S=,则S的最小值是__________.‎ ‎【答案】‎ 设剪成的上一块正三角形的边长为x. ‎ 则S= (0<x<1),‎ S′=‎ ‎=-,‎ 令S′=0,得x=或3(舍去).‎ x=是S的极小值点且是最小值点.‎ ‎∴Smin=. ‎ ‎2. 【2012江苏,理17】如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为‎1千米,某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-(1+k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.‎ ‎(1)求炮的最大射程;‎ ‎(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.‎ ‎ 3. 【2013江苏,理13】在平面直角坐标系xOy中,设定点A(a,a),P是函数(x>0)图象上一动点.若点P,A之间的最短距离为,则满足条件的实数a的所有值为__________.‎ ‎ 4. 【2014江苏,理13】已知是定义在上且周期为3的函数,当时,,若函数在区间上有10个零点(互不相同),则实数的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ 作出函数的图象,可见,当时,,,方程在上有10个零点,即函数和图象与直线在上有10个交点,由于函数的周期为3,因此直线与函数的应该是4个交点,则有.‎ ‎5. 【2015高考江苏,13】已知函数,,则方程实根的个数为 ‎ 三.拔高题组 ‎1. 【2005江苏,理22】已知函数 ‎(Ⅰ)当a=2时,求使f(x)=x成立的x的集合;‎ ‎(Ⅱ)求函数y=f (x)在区间1,2]上的最小值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)‎ ‎(Ⅰ)由题意,f(x)=x2‎ 当x<2时,f(x)=x2(2-x)=x,解得x=0,或x=1;‎ 当x 综上所述,所求解集为.‎ ‎(Ⅱ)设此最小值为m.‎ ‎①当 ‎ 因为:‎ ‎ 则f(x)是区间1,2]上的增函数,所以m=f(1)=1-a..‎ ‎ ‎ ‎2. 【2006江苏,理20】设a为实数,设函数的最大值为g(a).‎ ‎   (Ⅰ)设t=,求t的取值范围,并把f(x)表示为t的函数m(t)‎ ‎(Ⅱ)求g(a)‎ ‎(Ⅲ)试求满足的所有实数a ‎【答案】(Ⅰ)m(t)=‎ ‎(Ⅱ) ‎ ‎(Ⅲ)或a=1‎ 综上有 ‎ ‎ 矛盾.‎ 情形5:当时,,此时g(a)=a+2, ‎ 由解得矛盾.‎ 情形6:当a>0时,,此时g(a)=a+2, ‎ 由,由a>0得a=1.‎ 综上知,满足的所有实数a为或a=1. ‎ ‎3. 【2007江苏,理21】已知a,b,c,d是不全为零的实数,函数f(x)=bx2+cx+d,g(x)=ax2+bx2+cx+d.方程f(x)=0有实数根,且f(x)=0的实数根都是g(f(x))=0的根;反之,g(f(x))=0的实数根都是f(x)=0的根.‎ ‎(1)求d的值;(3分)‎ ‎(2)若a=0,求c的取值范围;(6分)‎ ‎(3)若a=l,f(1)=0,求c的取值范围.(7分)‎ ‎【答案】(1)d=0.(2)0,4).(3)0, )‎ ‎(3)由a=1,f(1)=0得b= -c,f(x)=bx2+cx=cx(-x+1),‎ g(f(x))=f(x)f2(x)-cf(x)+c].   ③‎ 由f(x)=0可以推得g(f(x))=0,知方程f(x) =0的根一定是方程g(f(x))=0的根.‎ 当c=0时,符合题意.‎ 当c≠0时,b≠0,方程f(x)=0的根不是方程f2(x)-cf(x)+c=0  ④‎ 的根,因此,根据题意,方程④应无实数根,那么 当(-c)2‎-4c<0,即0<c<4时,f2(x)-cf(x)+c>0,符合题意.‎ 当(-c)2‎-4c≥0,即c<0或c≥4时,由方程④得 f(x)=-cx2+cx=,即cx2–cx+=0,   ⑤‎ 则方程⑤应无实数根,所以有 ‎(-c)2‎-4c<0且(-c)2‎-4c<0.‎ 当c<0时,只需-c2‎-2c<0,解得0<c<,矛盾,舍去.‎ 当c≥4时,只需-c2+‎2c<0,解得0<c<.‎ 因此,4≤c<.‎ 综上所述,所示c的取值范围为0, ). ‎ ‎4. 【2008江苏,理20】已知函数,(为常数).函数定义为:对每个给定的实数,‎ ‎(1)求对所有实数成立的充分必要条件(用表示);‎ ‎(2)设是两个实数,满足,且.若,求证:函数在区间上的单调增区间的长度之和为(闭区间的长度定义为)‎ ‎【答案】(1);(2)‎ 再由的单调性可知,‎ 函数在区间上的单调增区间的长度 为(参见示意图1)‎ O y x ‎(a,f(a))‎ ‎(b,f(b))‎ 图1‎ ‎ ‎ 解得图象交点的横坐标为 ‎ ⑴‎ 显然,‎ 这表明在与之间.由⑴易知 ‎ ‎ 综上可知,在区间上, (参见示意图2)‎ O y x ‎(a,f(a))‎ ‎(b,f(b))‎ ‎(x0,y0)‎ ‎(p2,2)‎ ‎(p1,1)‎ 图2‎ ‎ ‎ ‎5. 【2009江苏,理19】按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为元,如果他卖出该产品的单价为元,则他的满意度为;如果他买进该产品的单价为元,则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和,则他对这两种交易的综合满意度为. ‎ 现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元,乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元,设产品A、B的单价分别为元和元,甲买进A与卖出B的综合满意度为,乙卖出A与买进B的综合满意度为 ‎(1)求和关于、的表达式;当时,求证:=; ‎ ‎(2)设,当、分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满意度为多少? ‎ ‎(3)记(2)中最大的综合满意度为,试问能否适当选取、的值,使得和同时成立,但等号不同时成立?试说明理由. ‎ ‎【答案】(1)详见解+析; (2) 时,甲乙两人同时取到最大的综合满意度为 (3) 不能 ‎ 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识,考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力.满分16分.‎ ‎(1) ‎ 当时,,‎ ‎, =‎ ‎(3)由(2)知:=‎ 由得:,‎ 令则,即:.‎ 同理,由得:‎ 另一方面,‎ 当且仅当,即=时,取等号.‎ 所以不能否适当选取、的值,使得和同时成立,但等号不同时成立.‎ ‎6. 【2009江苏,理20】设为实数,函数. ‎ ‎(1)若,求的取值范围; ‎ ‎(2)求的最小值; ‎ ‎(3)设函数,直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.‎ ‎(1)若,则 ‎(2)当时,‎ ‎ 当时,‎ ‎ 综上 ‎(3)时,得,‎ 当时,;‎ 当时,△>0,得:‎ 讨论得:当时,解集为;‎ 当时,解集为;‎ 当时,解集为.‎ ‎7.【2016年高考江苏卷】(本小题满分16分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)设.‎ ‎①求方程=2的根;‎ ‎②若对任意,不等式恒成立,求实数m的最大值;‎ ‎(2)若,函数有且只有1个零点,求ab的值.‎ 所以对于恒成立.‎ 而,且,‎ 所以,故实数的最大值为4.‎ 间断,所以在和之间存在的零点,记为. 因为,所以,又,所以与“0是函数的唯一零点”矛盾.‎ 若,同理可得,在和之间存在的非0的零点,矛盾.‎ 因此,.‎ 于是,故,所以.‎ ‎【考点】指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点 ‎【名师点睛】对于函数零点个数问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图等确定其中参数的范围.从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等.但需注意探求与论证之间区别,论证是充要关系,要充 ‎14.(5分)(2017•江苏)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)=,其中集合D={x|x=,n∈N*}‎ ‎,则方程f(x)﹣lgx=0的解的个数是 8 .‎ ‎【分析】由已知中f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)=,其中集合D={x|x=,n∈N*},分析f(x)的图象与y=lgx图象交点的个数,进而可得答案.‎ ‎【解答】解:∵在区间[0,1)上,f(x)=,‎ 第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数,‎ 又f(x)是定义在R上且周期为1的函数,‎ ‎∴在区间[1,2)上,f(x)=,此时f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;‎ 同理:‎ 区间[2,3)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;‎ 区间[3,4)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;‎ 区间[4,5)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;‎ 区间[5,6)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;‎ 区间[6,7)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;‎ 区间[7,8)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;‎ 区间[8,9)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;‎ 在区间[9,+∞)上,f(x)的图象与y=lgx无交点;‎ 故f(x)的图象与y=lgx有8个交点;‎ 即方程f(x)﹣lgx=0的解的个数是8,‎ 故答案为:8‎ ‎【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,函数的图象和性质,转化思想,难度中档.‎ ‎20.(16分)(2017•江苏)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)‎ ‎(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;‎ ‎(2)证明:b2>3a;‎ ‎(3)若f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,求a的取值范围.‎ ‎【分析】(1)通过对f(x)=x3+ax2+bx+1求导可知g(x)=f′(x)=3x2+2ax+b,进而再求导可知g′(x)=6x+2a,通过令g′(x)=0进而可知f′(x)的极小值点为x=﹣,从而f(﹣)=0,整理可知b=+(a>0),结合f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值可知f′(x)=0有两个不等的实根,进而可知a>3.‎ ‎(2)通过(1)构造函数h(a)=b2﹣3a=﹣+=(4a3﹣27)(a3﹣27),结合a>3可知h(a)>0,从而可得结论;‎ ‎(3)通过(1)可知f′(x)的极小值为f′(﹣)=b﹣,利用韦达定理及完全平方关系可知y=f(x)的两个极值之和为﹣+2,进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣,因式分解即得结论.‎ ‎【解答】(1)解:因为f(x)=x3+ax2+bx+1,‎ 所以g(x)=f′(x)=3x2+2ax+b,g′(x)=6x+2a,‎ 令g′(x)=0,解得x=﹣.‎ 由于当x>﹣时g′(x)>0,g(x)=f′(x)单调递增;当x<﹣时g′(x)<0,g(x)=f′(x)单调递减;‎ 所以f′(x)的极小值点为x=﹣,‎ 由于导函数f′(x)的极值点是原函数f(x)的零点,‎ 所以f(﹣)=0,即﹣+﹣+1=0,‎ 所以b=+(a>0).‎ 因为f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,‎ 所以f′(x)=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根,‎ 所以4a2﹣12b>0,即a2﹣+>0,解得a>3,‎ 所以b=+(a>3).‎ ‎(2)证明:由(1)可知h(a)=b2﹣3a=﹣+=(4a3﹣27)(a3﹣27),‎ 由于a>3,所以h(a)>0,即b2>3a;‎ ‎(3)解:由(1)可知f′(x)的极小值为f′(﹣)=b﹣,‎ 设x1,x2是y=f(x)的两个极值点,则x1+x2=,x1x2=,‎ 所以f(x1)+f(x2)=++a(+)+b(x1+x2)+2‎ ‎=(x1+x2)[(x1+x2)2﹣3x1x2]+a[(x1+x2)2﹣2x1x2]+b(x1+x2)+2‎ ‎=﹣+2,‎ 又因为f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,‎ 所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣,‎ 因为a>3,所以2a3﹣63a﹣54≤0,‎ 所以2a(a2﹣36)+9(a﹣6)≤0,‎ 所以(a﹣6)(2a2+12a+9)≤0,‎ 由于a>3时2a2+12a+9>0,‎ 所以a﹣6≤0,解得a≤6,‎ 所以a的取值范围是(3,6].‎ ‎【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值,考查运算求解能力,考查转化思想,注意解题方法的积累,属于难题.‎ ‎ ‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档