高考数学基本不等式复习好题精选

高考数学基本不等式复习好题精选

基本不等式：≤ 题组一 利用基本不等式求最值 ‎1.设x、y均为正实数，且＋＝1，则xy的最小值为 (　　)‎ A．4 B．‎4 ‎ C．9 D．16‎ 解析：由＋＝1可得xy＝8＋x＋y.‎ ‎∵x，y均为正实数，‎ ‎∴xy＝8＋x＋y≥8＋2(当且仅当x＝y时等号成立)，‎ 即xy－2－8≥0，‎ 可解得≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.‎ 答案：D ‎2．(2009·天津高考)设a>0，b>0.若是‎3a与3b的等比中项，则＋的最小值为 (　　)‎ A．8 B．‎4 ‎‎ C．1 D. 解析：∵是‎3a与3b的等比中项，∴()2＝‎3a·3b.‎ 即3＝‎3a＋b，∴a＋b＝1.‎ 此时＋＝＋＝2＋(＋)≥2＋2＝4(当且仅当a＝b＝取等号)．‎ 答案：B ‎3．已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为 (　　)‎ A．8 B．‎6 C．4 D．2‎ 解析：(x＋y)(＋)＝1＋a·＋＋a ‎≥a＋1＋2 ＝a＋2 ＋1，‎ 当且仅当a·＝等号成立，‎ 所以()2＋2＋1≥9，‎ 即()2＋2－8≥0，得≥2或≤－4(舍)，‎ 所以a≥4，即a的最小值为4.‎ 答案：C ‎4．(2010·太原模拟)若直线ax－by＋2＝0(a>0，b>0)和函数f(x)＝ax＋1＋1(a>0且a≠‎ ‎1)的图象恒过同一个定点，则当＋取最小值时，函数f(x)的解析式是________．‎ 解析：函数f(x)＝ax＋1＋1的图象恒过(－1,2)，故a＋b＝1，＋＝(a＋b)(＋)＝＋＋≥＋.当且仅当b＝a时取等号，将b＝a代入a＋b＝1得a＝2－2，故f(x)＝(2－2)x＋1＋1.‎ 答案：f(x)＝(2－2)x＋1＋1‎ 题组二 利用基本不等式证明不等式 ‎5.已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则 (　　)‎ A．ab≤ B．ab≥ C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3‎ 解析：法一：由≥得ab≤()2＝1，又a2＋b2≥2ab⇒2(a2＋b2)≥(a＋b)2⇒a2＋b2≥2.‎ 法二：(特值法)取a＝0，b＝2满足a＋b＝2，代入选项可排除B、D.又取a＝b＝1满足a＋b＝2.但ab＝1，可排除A.‎ 答案：C ‎6．设a、b是正实数， 以下不等式 ‎①>；②a>|a－b|－b；③a2＋b2>4ab－3b2；④ab＋>2恒成立的 序号为 (　　)‎ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④‎ 解析：∵a、b是正实数，∴①a＋b≥2⇒1≥⇒≥.当且仅当a＝b时 ‎ 取等号，∴①不恒成立；②a＋b>|a－b|⇒a>|a－b|－b恒成立；③a2＋b2－4ab＋3b2＝(a－2b)2≥0，当a＝2b时，取等号，∴③不恒成立；④ab＋≥2 ＝2 >2恒成立．‎ 答案：D ‎7．已知a、b、c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，‎ 求证：(－1)(－1)(－1)≥8.‎ 证明：∵a、b、c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，‎ ‎∴(－1)(－1)(－1)＝ ‎＝≥＝8.‎ 当且仅当a＝b＝c＝时取等号．‎ 题组三 基本不等式的实际应用 ‎8.(2010·惠州模拟)某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(00)，‎ 即x＝10时取等号．‎ ‎∴当长为‎16.2米，宽为‎10米时总造价最低，最低总造价为38 880元．‎ ‎(2)由限制条件知，∴10≤x≤16.‎ 设g(x)＝x＋(10≤x≤16)，‎ 由函数性质易知g(x)在上是增函数，‎ ‎∴当x＝10时(此时＝16)，‎ g(x)有最小值，即f(x)有最小值 ‎1 296×(10＋)＋12 960＝38 882(元)．‎ ‎∴当长为‎16米，宽为‎10‎米时，总造价最低，为38 882元．‎ ‎(理)为了提高产品的年产量，某企业拟在2010年进行技术改革．经调查测算，产品当年的产量x万件与投入技术改革费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金)．‎ ‎(1)将2010年该产品的利润y万元(利润＝销售金额－生产成本－技术改革费用)表示为技术改革费用m万元的函数；‎ ‎(2)该企业2010年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？‎ 解：(1)由题意可知，当m＝0时，x＝1(万件)，‎ ‎∴1＝3－k，∴k＝2，∴x＝3－，‎ 每件产品的销售价格为1.5×(元)，‎ ‎∴2010年的利润 y＝x·－(8＋16x)－m ‎＝－[＋(m＋1)]＋29(元)(m≥0)．‎ ‎(2)∵m≥0，∴＋(m＋1)≥2＝8，‎ ‎∴y≤29－8＝21，‎ 当＝m＋1，即m＝3，ymax＝21.‎ ‎∴该企业2010年的技术改革费用投入3万元时，厂家的利润最大．‎ 题组四 基本不等式的综合应用 ‎11.若a是－b与＋b的等比中项，则的最大值为 (　　)‎ A. B．‎1 ‎‎ C. D. 解析：∵a是－b与＋b的等比中项，‎ ‎∴a2＝2－b2⇒a2＋b2＝2.‎ 根据基本不等式知≤≤ ＝1.‎ 即的最大值为1.‎ 答案：B ‎12．若a，b是正常数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，则＋≥，当且仅当＝时取等号．利用以上结论，函数f(x)＝＋(x∈(0，))取得最小值时x的值为 (　　)‎ A．1 B. C．2 D. 解析：由＋≥得，f(x)＝＋≥＝25.当且仅当＝时取等号，即当x＝时f(x)取得最小值25.‎ 答案：B ‎13．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．‎ 解析：因为x>a，所以2x＋＝2(x－a)＋＋‎2a≥2 ＋‎2a＝‎2a＋4，即‎2a＋4≥7，所以a≥，即a的最小值为.‎ 答案：