最近九年北京高考数学理压轴题含答案

最近九年北京高考数学理压轴题含答案

‎1(北京17)设{an}和{bn}是两个等差数列，记 cn=max{b1–a1n,b2–a2n,…,bn–ann}(n=1,2,3,…)，‎ 其中max{x1,x2,…,xs}表示x1,x2,…,xs这s个数中最大的数．‎ ‎（Ⅰ）若an=n，bn=2n–1，求c1,c2,c3的值，并证明{cn}是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，；或者存在正整数m，使得cm,cm+1,cm+2,…是等差数列．‎ ‎2（北京16）设数列A： ， ,… (N≥2)。如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有＜，则称n是数列A的一个“G时刻”。记“G（A）是数列A 的所有“G时刻”组成的集合。‎ ‎（I）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出G（A）的所有元素；‎ ‎(II)证明：若数列A中存在使得>，则G（A）；‎ ‎(III）证明：若数列A满足- ≤1（n=2,3, …,N）,则G（A）的元素个数不小于-。‎ ‎3（北京15）已知数列满足：，，且．‎ 记集合．‎ ‎（Ⅰ）若，写出集合的所有元素；‎ ‎（Ⅱ）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；‎ ‎（Ⅲ）求集合的元素个数的最大值．‎ ‎4（北京14）对于数对序列，记，‎ ‎，其中 表示和两个数中最大的数，‎ （1） 对于数对序列 P(2,5),(4,1)，求的值.‎ （2） 记为四个数中最小值，对于由两个数对组成的数对序列g 和，试分别对和的两种情况比较和的大小.‎ ‎（3）在由5个数对组成的所有数对序列中，写出一个数对序列 使最小，并写出的值.（只需写出结论）.‎ ‎5（北京13）已知是由非负整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，第项之后的各项，，的最小值记为，‎ ‎（1）若为，，，，，，，，，是一个周期为4的数列（即对任意，）写出，，，的值。‎ ‎（2）设为非负整数，证明：（）的充分必要条件为是公差为的等差数列。‎ ‎（3）证明：若，（）则的项只能是1或2，且有无穷多项为1.‎ ‎6（北京12）设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记S(m，n)为所有这样的数表构成的集合。‎ 对于A∈S(m,n),记ri(A)为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），Cj(A)为A的第j列各数之和（1≤j≤n）：‎ 记K(A)为∣r1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。‎ （1） 对如下数表A，求K（A）的值；‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎-0.8‎ ‎0.1‎ ‎-0.3‎ ‎-1‎ ‎（2）设数表A∈S（2,3）形如 ‎1‎ ‎1‎ C A B ‎-1‎ 求K（A）的最大值；‎ ‎（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2,2t+1），求K（A）的最大值。‎ ‎7（北京11）若数列（）满足，则称为数列，记。‎ ‎（Ⅰ）写出一个满足，且的数列；‎ ‎（Ⅱ）若，证明数列是递增数列的充要条件是；‎ ‎8（北京10）已知集合对于，，定义A与B的差为 A与B之间的距离为 ‎（Ⅰ）证明：，且;‎ ‎（Ⅱ）证明：三个数中至少有一个是偶数 ‎(Ⅲ) 设P，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为(P).‎ ‎ 证明：（P）≤.‎ ‎9（北京09）已知数集具有性质；对任意的，与两数中至少有一个属于. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）证明：，且；‎ ‎（Ⅲ）证明：当时，成等比数列..k.s.5. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎1(北京17) 【解析】（1）易知，，且，，．‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎．‎ 下面我们证明，对且，都有．‎ 当且时，‎ ‎∵且，∴．‎ 因此，对且，，则．‎ 又∵，故对均成立，从而为等差数列．‎ ‎（2）设数列与的公差分别为，，下面我们考虑的取值．‎ 对，，…，，‎ 考虑其中任意项（且），‎ 下面我们分，，三种情况进行讨论．‎ ‎（1）若，则 ‎①若，则 则对于给定的正整数而言，‎ 此时，故为等差数列．‎ ‎②若，则 则对于给定的正整数而言，．‎ 此时，故为等差数列．‎ 此时取，则是等差数列，命题成立．‎ ‎（2）若，则此时为一个关于的一次项系数为负数的一次函数．‎ 故必存在，使得当时，‎ 则当时，（，）．‎ 因此，当时，．‎ 此时，故从第项开始为等差数列，命题成立．‎ ‎（3）若，则此时为一个关于的一次项系数为正数的一次函数．‎ 故必存在，使得当时，‎ 则当时，（，）‎ 因此，当时，．‎ 此时 令，，‎ 下面证明对任意正数，存在正整数，使得当时，．‎ ‎①若，则取（表示不大于的最大整数）‎ 当时，‎ ‎，‎ 此时命题成立．‎ ‎②若，则取 当时，‎ ‎．‎ 此时命题也成立．‎ 因此，对任意正数，存在正整数，使得当时，．‎ 综合以上三种情况，命题得证．‎ ‎2（北京16）解：（Ⅰ）根据题干可得，a1=﹣2，a2=2，a3=﹣1，a4=1，a5=3，a1＜a2满足条件，2满足条件，a2＞a3不满足条件，3不满足条件，‎ a2＞a4不满足条件，4不满足条件，a1，a2，a3，a4，均小于a5，因此5满足条件，因此G（A）={2，5}．‎ ‎（Ⅱ）因为存在an＞a1，设数列A中第一个大于a1的项为ak，则ak＞a1≥ai，其中2≤i≤k﹣1，所以k∈G（A），G（A）≠∅；‎ ‎（Ⅲ）设A数列的所有“G时刻”为i1＜i2＜L＜ik，‎ 对于第一个“G时刻”i1，有＞a1≥ai（i=2，3，L，i1﹣1），则 ‎﹣ai≤﹣≤1．‎ 对于第二个“G时刻”i1，有＞≥ai（i=2，3，L，i1﹣1），则 ‎﹣≤﹣≤1．‎ 类似的﹣≤1，…，﹣≤1．‎ 于是，k≥（﹣）+（﹣）+L+（﹣）+（﹣a1）=﹣a1．‎ 对于aN，若N∈G（A），则=aN．‎ 若N∉G（A），则aN≤，否则由（2）知，，L，aN，中存在“G时刻”与只有k个“G时刻”矛盾．‎ 从而k≥﹣a1≥aN﹣a1．‎ ‎3（北京15）解：（Ⅰ） ‎ ‎（Ⅱ）因为集合存在一个元素是3的倍数，所以不妨设是3的倍数。‎ ‎ 由 ‎ 当时，都是3的倍数。‎ ‎ 如果，则集合的所有元素都是3的倍数。‎ ‎ 如果，因为或， 所以是3的倍数， 于是是3的倍数。‎ ‎ 类似可得，都是3的倍数。‎ 综上，若集合存在一个元素是3的倍数，则的所有元素都是3的倍数。‎ ‎（Ⅲ）若，由，‎ 可归纳证明， ‎ ‎ 因为是正整数，由， 所以是2的倍数。‎ ‎ 从而当时，时4的倍数。‎ ‎ 如果是3的倍数，由（Ⅱ）知对所有正整数，是3的倍数。‎ ‎ 因此当时，.这时的元素个数不超过5.‎ ‎ 如果不是3的倍数，由（Ⅱ）知对所有正整数，不是3的倍数。‎ 因此当时，这时的元素个数不超过8.‎ ‎ 当时，由8个元素。‎ ‎ 综上可知：集合的元素个数的最大值为8.‎ ‎4（北京14）解：（I）‎ ‎=8‎ ‎（Ⅱ） .‎ 当m=a时，==‎ 因为，且，所以≤‎ 当m=d时，‎ 因为≤，且所以≤。‎ 所以无论m=a还是m=d，≤都成立。‎ ‎（Ⅲ）数对序列（4,6），（11,11），（16,11），（11,8），（5,2）的值最小，‎ ‎=10，=26，=42，=50，=52‎ ‎5（北京13）解：（1），，，‎ ‎ （2）充分性：‎ 若是公差为的等差数列，则 于是，‎ 必要性：‎ 若（），假设是第一个使得的项，则 ‎，，与矛盾 因此是不减的数列 进而，，即 因此是公差为的等差数列。‎ ‎（3）首先，中的项不能是，否则，矛盾 ‎ 其次，中的项不能超过，用反证法证明如下：‎ ‎ 若中有超过的项，设是第一个大于的项，‎ 中一定存在某项为，否则与矛盾。‎ 当时，，否则与矛盾；‎ 因此存在最大的在到之间，使得，此时 综上，中没有超过的项 所以中的项只能是或 下面证明有无数个，用反证法证明如下：‎ 若为最后一个，则，矛盾 因此有无数个 ‎6（北京12）解：（1）由题意可知，，，，∴‎ ‎（2）先用反证法证明：‎ 若，则，∴‎ 同理可知，∴‎ 由题目所有数和为即∴‎ 与题目条件矛盾∴．‎ 易知当时，存在∴的最大值为1‎ ‎（3）的最大值为.‎ 首先构造满足的：‎ ‎，‎ ‎.‎ 经计算知，中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且 ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 下面证明是最大值. 若不然，则存在一个数表，使得.‎ 由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中. 由于，故的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于.‎ 设中有列的列和为正，有列的列和为负，由对称性不妨设，则. 另外，由对称性不妨设的第一行行和为正，第二行行和为负.‎ 考虑的第一行，由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于（即每个负数均不超过）. 因此 ‎，‎ 故的第一行行和的绝对值小于，与假设矛盾. 因此的 ‎7（北京11）解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。‎ ‎（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）‎ ‎（Ⅱ）必要性：因为E数列A5是递增数列，‎ 所以.‎ 所以A5是首项为12，公差为1的等差数列.‎ 所以a2000=12+（2000—1）×1=2011.‎ 充分性，由于a2000—a1000≤1，‎ a2000—a1000≤1‎ ‎……‎ a2—a1≤1‎ ‎ 所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999.‎ ‎ 又因为a1=12，a2000=2011, 所以a2000=a1+1999.‎ ‎ 故是递增数列.‎ ‎ 综上，结论得证。‎ ‎ （Ⅲ）令 ‎ 因为 ‎ ……‎ ‎ ‎ 所以 因为 所以为偶数,‎ 所以要使为偶数,‎ ‎8（北京10）证明：（I）设，，‎ ‎ 因为，，所以, ‎ ‎ 从而 ‎ 又 由题意知，，.‎ 当时，;‎ ‎ 当时，‎ 所以 ‎(II)设，，‎ ‎ ，，.‎ ‎ 记，由（I）可知 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以中1的个数为，的1的 个数为。‎ ‎ 设是使成立的的个数，则 ‎ 由此可知，三个数不可能都是奇数，‎ ‎ 即,,三个数中至少有一个是偶数。‎ ‎（III）,其中表示中所有两个元素间距离的总和，‎ 设种所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0‎ 则=‎ 由于 所以 从而 ‎9（北京09）（Ⅰ）由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质P.‎ ‎ 由于都属于数集，‎ ‎ ∴该数集具有性质P.‎ ‎ （Ⅱ）∵具有性质P，∴与中至少有一个属于A，‎ 由于，∴，故. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 从而，∴. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎∵， ∴，故.‎ ‎ 由A具有性质P可知.‎ 又∵，‎ ‎∴，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 从而，‎ ‎∴. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，有，即，‎ ‎ ∵，∴，∴，‎ 由A具有性质P可知. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 由，得，且，∴，‎ ‎∴，即是首项为1，公比为成等比数列..k.s.5.‎