高考数学中数学思想方法的研究与启示 以分类整合为例 1

高考数学中数学思想方法的研究与启示 以分类整合为例 1

高考数学中数学思想方法的研究及启示 ‎——以分类整合为例 摘要 数学思想方法是数学的灵魂，通过表述数学思想方法的意义，揭示了研究其的必要性．为了研究高中典型数学思想方法在高考数学题中体现的类型、形式、方式、程度等，在理论分析的基础上，做了实证研究．本文主要对高中典型数学思想方法加以分析，了解近10年来数学思想方法在高考数学试卷中的应用体现情况，并对其作大致的划分．通过以上研究，对教学产生启示作用．‎ 关键词 数学思想 数学高考 分类与整合 启示 引言 在新课改的浪潮中，注重能力考查已成为高考命题中的核心课题．数学教育要立足于人的潜能和综合素质的提高，立足于人的终身发展的需要，不再是仅限于数学知识的获得、解题技巧的掌握，更重要的是数学能力、思想观念的形成和健全人格的养成．但如何才能提高学生的数学能力、思想观念又成为一大难题．‎ 近几年来高考数学题目日渐新颖，提高了对解决问题的能力要求，增加思考量，控制计算量．这样的试题，不同于知识型的试题，没有现成方法可借鉴，会使一些考生感到难以入手，但这样的试题有利于考查学生进入高校进一步学习的潜能．只有在牢固掌握数学知识、数学概念的基础上，进一步深刻领会数学的本质及内涵即抽象程度更高的数学思想方法才能解决，这些数学思想和方法就蕴藏在教材和习题中，需要仔细发掘．因此，本文在这种背景下，对从2010年以来的高考数学试卷中所蕴含的数学思想方法进行研究，显得十分必要．‎ 一、数学思想方法简介 ‎1．数学学习与数学方法 数学的发展过程大体上可概括为三个阶段：创新过程阶段、理论建立阶段、应用阶段．数学学科的发展过程决定了数学学习活动应该是始于对具体问题或具体素材的观察、实验，并在此基础上进一步通过比较、分析、综合和归纳、类比，去探索研究对象的本质特征，再经过抽象、概括、逻辑论证，得出一类事物的一般规律，给出解决问题的一般方法．在这个过程中，除了学习观察、实验、比较、分析、归纳、类比等一般的科学方法外，还在学习符号化、功理化、模型化、划归、数形结合等数学特有的思想方法，以及各科的思想方法，如极限的思想方法、用变化群划分几何学的思想方法、统计的思想方法等．‎ 数学思想方法是对数学知识的进一步提炼概括，是对数学内容的本质认识，是数学的指导思想和一般方式、手段和途径．因此，数学思想方法的学习和领悟会使学生所学的知识不再是零散的知识点，也不再是解决问题的刻板套路和一招一式，它能帮助学生形成有序的知识链，为学生构建良好的认知结构起到十分重要的基础作用．‎ ‎2．研究数学思想方法的目的意义 数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂．因此，引导学生理解和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是使学生提高思维水平，正真懂得数学的价值，建立科学的数学观念，从而发展数学、运用数学的重要保证，也是现代教学思想与传统教学思想根本区别之一．‎ 可以说，数学上的发现、发明主要是方法上的创新．典型的例子是伽罗瓦开创了置换群的研究，用群论方法确立了代数方程的可解性理论，彻底解决了一般形式代数方程根式解得难题．另外，解析几何的创立解决了数形沟通和数形结合及其互相转换的问题．对应的思想方法解决了无穷集元素“多少”的比较问题，可把无穷集按“势”（或基数）分成不同的“层次”，等等．从中可以体会到，有了方法才是获得了“钥匙”‎ ‎，数学的发展绝不仅近是材料、事实、知识的积累和增加，必须有新的思想方法的产生，才能有创新，才会有发现和发明．因此，从宏观意义上来说，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力．从微观意义上来说，在数学教学和数学学习中，要再现数学的发展过程，揭示数学思维活动的一般规律和方法．只有从知识和思想方法两个层面上去教和学，使学生从整体上、从内部规律上掌握系统化的知识，以及蕴含于知识中以知识为载体的思想方法，才能形成良好的认知结构，才能有助于学生的主动建构，才能提高学生洞察事物、寻求联系、解决问题的思维品质和各种能力，最终达到培养现代社会需要的创新型人才的目的．‎ 二、数学思想方法在福建高考中的体现程度 近年来，在课改的深入发展中，高考数学试题对数学思想方法的考查越来越重视，目的在于考查学生运用数学思想方法解题的意识．下面结合2013年高考数学福建理科卷对其数学思想方法的考查试作分析．‎ 1. 函数与方程思想 函数思想体现的是变量运动的观点，用来研究数量关系；方程思想体现变量之间的等量关系．因为函数问题与方程问题是相通的，因此我们往往通过函数与方程的思想来处理变量之间的关系)高考对学生素养考查有以下三个层面． 一是知识层面：学生能将函数方程思想看做知识； 二是能力层面：学生能运用函数方程思想相关能力解题； 三是素质层面：学生能在情境中，通过函数与方程思想解决问题．‎ 表1 2013年高考数学福建卷理科试题对函数与方程思想的考查 思想方法 类型 选择填空题 解答题 方程思想 列方程，解方程 ‎3、4、5、6、13‎ ‎20‎ 设变量，列方程，解方程 ‎14、15‎ ‎17、18‎ 函数思想 利用函数思想 ‎8‎ ‎17‎ 构造函数 ‎10‎ ‎20‎ 表1说明，全卷21道题中，有一半以上考查函数与方程思想，第8、10、15、17、20题重点考查函数与方程思想．‎ 例1. (2013年福建理10)设,是的两个非空子集,如果存在一个从到的函数满足①；对任意，当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 分析：立足于函数的三要素：定义域，值域，对应法则．同时考查函数的单调性，利用函数思想构造函数．选项：构造函数；选项：构造函数选项：构造函数．故选．‎ 2. 数形结合思想 数形结合思想体现以“形”辅“数”以“数”解“形”,“数”与“形”的转化．通过数与形的转化，达到把复杂问题简单化，抽象问题具体化，“以形辅数”，通过图形的直观解决问题．“以数解形”‎ ‎，通过数量关系，刻画图形的位置和性质．‎ 表2 2013年高考数学福建卷理科试题对属性结合思想的考查 思想方法 类型 选择填空题 解答题 数形结合思想 以行辅数 ‎7、8、11、14‎ ‎17、20、21‎ 以数解行 ‎12、13‎ ‎18、19‎ 经统计，全卷有12道题考查数形结合思想．“以行辅数”充分发挥图形的直观作用，“以数解行”运用严密的逻辑推理，得到精确的数量关系．‎ 例2.（2013年福建理8）：设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）‎ ‎ 是的极小值点 是的极小值点 是的极小值点 分析：观察与的对称关系，与的图像关于轴对称；与关于轴对称；与的图像关于原点对称．因此，由是的极大值点可知错，是的极大值点可知错，是的极小值点，与无确定关系可知错，是的极小值点故正确．‎ 本题对数形结合思想考查有相当的深度和广度，对于抽象函数，利用图像的对称性，起到直观的作用，使问题的处理一目了然，充分体现了运用数形结合思想解题的效果．‎ ‎3.转化与划归思想 ‎“数学处处要转化”，化归与转化体现在化难为易，化生为熟，化繁为简，化抽象为具体，从而及解决问题．包含正与反的转化，一般与特殊的转化，空间与平面的转化，繁与简的转化，数与形的转化．有句俗话说得好：解题不可怕，只要会转化．‎ 表3 2013年高考数学福建卷理科试题中化归与转化思想的考查 数学思想 选择填空题 解答题1‎ 化归与转化思想 ‎1、2、3、5、6、8、9、10、11、15‎ ‎17、18、19、20、21‎ 表3说明全卷中的每一道试题都离不开化归与转化，名副其实的数学处处是转化．‎ 例3.（2013年福建理18）在正方形OABC中，O为坐标原点，点A坐标为．点C的坐标为，分别将线段OA和OB十等分，分点分别记为和，连结；过做轴的垂现与交于点（）‎ ‎（Ⅰ）求证：（）都在同一条抛物线上，并求该抛物线E的方程．‎ ‎（Ⅱ）过点作直线与抛物线交于不同的两点，，若与的面积比为，求直线的方程．‎ 分析：这道解析结合体现了“形”的问题转化为“数”的问题，“点”转化为坐标，“直线”转化为方程，曲线转化为方程，“点在曲线上”转化为“点的坐标满足曲线方程”，第（Ⅱ）问，把与的面积比为转化为，的横坐标之间的关系：．‎ 本道题充分体现了化归与转化思想，也涉及到数形结合思想、函数与方程思想、充分体现了运用数学思想方法解题的素养．‎ ‎4．分类与整合思想 分类与整合思想体现，体现“合—分—合”的解题策略．‎ 表4 2013高考数学福建卷理科试题中对分类与整合思想的考查 数学思想 选择填空题 解答题 分类与整合思想 ‎5‎ ‎17、19、20‎ ‎5．必然与或然思想 必然与或然思想体现在以概率统计为主线，如：抽样思想，统计推断思想，随机思想等．‎ 表5 2013高考数学福建卷理科试题中对必然或或然思想的考查 数学思想 选择填空题 解答题 必然与或然 ‎6、8、9、10、15‎ ‎18‎ ‎6.一般与特殊思想 在解决问题时可以由特殊问题一般化，也可以由一般问题特殊化．如构造特殊函数，特殊数列，特殊方程，图形中的特殊点，特殊位置，参数的特殊值，等等．‎ 在合情推理与演绎推理中也体现一般与特殊的思想．‎ 表6 2013高考数学福建卷理科试题中对一般与特殊思想的考查 数学思想 选择填空题 解答题 一般与特殊思想 ‎6、8、9、10、15‎ ‎18‎ 高考对数学思想的考查贯穿全卷，以主干知识为主线，以数学思想为灵魂．对考生进行全方位的考查，重点考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想、分类与整合思想，数学思想方法的掌握情况能很好地体现学生的能力层次．题型多样化，有涉及选择题，填空题，解答题．难度有大有小，大部分压轴题都综合考查多个数学思想，可以说从头到尾整套试卷都渗透着数学思想方法的考查．‎ 三、分类整合思想方法 ‎1.分类整合方法的含义 在解题时，我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法，统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在多个子区域内进行解题，这就是分类整合的思想方法．分类思想是以概念的划分，集合的分类为基础的思想方法，这里集中体现的是由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解决问题的方法，其研究方向基本是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们总合在一起，这种“合-分-合”的解决问题的过程，就是分类整合的思想方法. ‎ 分类也叫划分，是根据对象的相同和差异点将对象区分为不同种类的基本的逻辑方法，数学中的分类，是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的一种思想方法．分类以比较为基础，通过比较识别出数学对象之间的异同点，然后根据相同点将数学对象归并为较大的类，根据差异点将数学对象划分为较小的类，从而将数学对象区分为具有一定从属关系的等级系统．分类具有三个要素：①母项，即被划分的对象；②子项，即划分后所得的类概念；③根据，即划分的标准．‎ 分类整合方法一般遵循以下基本原则： ‎ ‎（1）不重复：对母项进行分类后得到的所有子项必须互相排斥，各个子项概念的外延之间是不相容的关系．从集合的角度看，被分成的任何两类之间不相交，即无公共元素．不重复，即要求分类应是纯粹的． ‎ ‎（2）无遗漏：经分类所得的各子项之和必须与被分类的母项正好相等．从几何的角度来看，分类后所得各概念(子项)的并集应等于被分概念(母项)外延的全集．否则会出现过宽或过窄的逻辑错误．无遗漏，即要求分类应是完备的，从量的方面要求一个不能少． ‎ ‎（3）标准统一：在一次分类中只能根据同一标准．否则就会出现划分的结果重复或过宽的逻辑错误，使划分后的结果混淆不清．‎ ‎2．用分类整合思想方法解题 解决这类问题的关键是找到分类的动机，即为什么分类？分类的对策如何，即怎么分类？一般来说，引起分类整合的原因大致可归为以下几种：‎ ‎（1）由数学概念引起的分类整合：如函数值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角、向量的共线等，这类问题应该以所定义的概念来进行分类整合，并且要注意概念所受的限制．‎ 例4.（2008广东卷，理）已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是______.‎ 解析：本题有两个绝对值符号和，为去掉绝对值符号，就要把全体实数分为5种情形讨论：‎ ‎①当时，方程为，此时，方程无解；‎ ‎②当时，方程为，有实根；‎ ‎③当时，方程为，有实根；‎ ‎④当时，方程为，有实根；‎ ‎⑤当时，方程为，此时，方程无解．‎ ‎（2）由数学运算要求引起的分类整合如除数运算中除式不为零、在实数集内偶次方根的被开放数为非负数、对数中真数与底数的要求、指数运算中底数的要求、不等式的两边同乘以一个正数还是负数、三角函数的定义域等．‎ ‎（3）由函数的性质、定理、公式的限制引发的分类整合如有些数学性质、定理、公式在不同的条件下有不同的结论，或者在一定的限制条件下才能成立．例如，指数函数和对数函数的单调性、均值定理、等比数列的求和公式等．‎ 例5.(2005全国卷1，理)设等比数列的公比为，前项和.‎ ‎(Ⅰ)求的取值范围；‎ ‎(Ⅱ)设，记前项和为，试比较和和的大小.‎ 解析：(Ⅰ)因为是等比数列，由，可得，.，首先对分类，分为和整合，‎ 当时，；‎ 当时，，即 上式等价于不等式组： 　　　　①‎ 或　　　　　　　　　　　　 　②‎ 解①式得；解②，对要分为奇数和偶数研究，由于可为奇数、可为偶数，得．再把上述分类整合结果进行整合，整合是要注意等比数列公比．综上，的取值范围是．‎ ‎(Ⅱ)由得，.‎ 于是.‎ 即注意，且或，于是 当或时，，即；‎ 当且时，，即；‎ 当，或时，，即．‎ ‎（4）由图形位置的不确定性引发的分类整合：当已知条件不能确定图形的位置时，在求解或证明的过程中， 则需根据可能出现的图形位置进行分类整合．此类问题在立体几何和解析几何中较为常见．‎ 例6.若二次函数，在区间上的最小值为，最大值为，求．‎ 解析：因为二次函数的图像对称轴为，所以，要对区间相对于对称轴的不同位置，即在区间的左边，中间和右边进行分类．‎ ‎①当时（图1），在上递减，则 解得，，.‎ ‎②当时(图2)， 在上递增，在上递减，所以最大，有，.此时有，而最小值，所以，应有 ‎，解，得.于是.‎ ‎③当时(图3)，在上递增，‎ 此时，，与矛盾，无解.‎ 综上可得，， .‎ ‎（5）由参数的变化引起的分类整合：某些含有参数的问题由于参数的取值不同要运用不同的求解或证明方法，如含参数的方程或不等式、直线的点斜式或斜截式方程等，这时需要进行分类整合．‎ 例7.（2013福建，理17）已知函数 ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数的极值．‎ 解析：（Ⅰ）略；‎ ‎（Ⅱ）由，知：‎ ‎①当时，由，函数为上的增函数，函数无极值；‎ ‎②当时，由，解得，又当时，；当时，，从而函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值．综上，当时，函数无极值；当时，函数在处取得极小值，无极大值．‎ ‎（6）其他，根据实际问题的具体分析进行分类整合．如排列、组合问题，应用问题等．‎ 例8.（2013 福建，理5）满足，且关于的方程有实数解得有序对的个数为（ ）‎ ‎.14 .13 .12 .10‎ 解析：当时，方程一元一次方程，则可取-1，0，1，2；‎ 当时，若方程有实数解，则，即．当时，可取-1，0，1，2.当时，可取-1，0，1．当时可取-1，0.故满足条件的有序对的个数为4+4+3+2=13.‎ 虽然分类的原因多种多样，甚至在一题中往往出现两次或更多次的分类讨论但也也解决这类问题的一般步骤．‎ 分类整合的一般步骤：‎ ① 明确整合对象，确定对象的范围；‎ ② 确定统一的分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；‎ ③ 逐段分类整合，获得阶段性结果；‎ ④ 归纳总结，得出结论．‎ 四、高考数学命题展望 随着时代的发展，能力的重要性日渐体现，当今国际之间的竞争日趋激烈，竞争的实质是科技和人才的竞争，科技的发展有赖于人才的培养"而能力的大小，是衡量人才的重要标准；同时，识和能力之间是既对立又统一的"知识是提高能力的基础和前提，离开知识，能力就成了无源之水、无本之木；能力又是学习知识的目的，没有能力，知识也就丧失了其应有的作用"同时，能力的提高又有助于对知识的全面掌握、深刻理解和创新．‎ 近年来，在坚持“既有利于高校选拔合格的新生，又有利于推进中学素质教育”，在实现教育部关于高考改革、提倡培养学生的创新精神和实践能力等方面的原则下，形成了高考数学卷命题的基本思路命题理念从知识立意向能力立意进一步深化，能力立意的试卷框架逐步形成：即以能力为主线、方法为核心、知识为基础的福建高考数学试卷的框架．‎ 因此，高考数学卷的命题把具有发展能力价值的、富有发展潜力的、再生性强的能力、方法和知识作为考查的切入点，从测量学生的发展性学力和创造性学力着手，突出能力的要求，淡化知识结构的完整性和系统性，全面评价学生的素质．具体来说：‎ ‎1．重点考查主干知识，从学科整体意义上设计试题 考查考生对基础知识的掌握程度，是数学高考的重要目标之一．对数学基础知识的考查，要求全面，但不刻意追求知识点的百分比，对支撑数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要的深度．即重点知识重点考查，如函数关系及性质，空间线、面关系，坐标方法的运用等内容的考查都保持较高的比例，并达到必要的深度．显示出重点知识在试卷中的突出位置．‎ 知识的整体性，是切实掌握数学知识的重要标志．高考命题总是从学科整体意义的高度去考虑问题，以检验考生能否形成一个有序的网络化的知识体系，并从中提取相关的信息，有效地、灵活地解决问题．命题中很重视知识的整体性和综合性，在知识网络的交汇点上设计试题．目的是考查学生对所学内容能否融会贯通，理论联系实际，防止单纯机械记忆"强调知识之间的交叉、渗透和综合．否则，不能将教科书中的有关内容视为一个发展的过程和有机的整体，抓不住知识之间的内在联系，导致相关知识之间相互割裂，就会影响学生思维过程和思维能力的培养和训练，展示给学生的，只是不同观点和结论的碰撞、叠加，而没有多种思想和方法的交锋、交融，学生也就很难举一反三、融会贯通了．‎ ‎2．淡化特殊技巧，强调数学思想和方法 数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程中．因此，对它的考查是考查考生能力的必由之路，在考查知识的同时，考查数学思想方法是必然之举．数学思想方法蕴含于数学基础知识中，表现为数学观念，它们与数学知识的形成过程同步发展，同时又贯穿于数学知识的学习、理解和应用过程．试题淡化特殊技巧立足基本方法 ‎ ，突出考查常规方法和通性通法，淡化知识覆盖率，不求知识点面面俱到，但求能力要求逐步到位；不追求试题的知识容量和解题技巧，而强调试题的思维质量和所用的基本方法．同时在知识的应用上又有一定的灵活性， 较好地体现了以知识为载体，以方法为依托，以能力为考查目的的命题导向．‎ 试卷重思想方法，强化考查函数与方程的思想、数形结合的思想、分类整合思想、化归与转化的思想、特殊与一般思想、以及类比思想．体现了高考命题重实质、重内涵的指导思想，注重通性通法、淡化特殊技巧，对中学数学教学有较好的导向作用．很多试题注意在具体的情景中、在解决问题的过程中突出考查学生数学思想方法．从本论文的研究可以看出，对数学思想方法的考查，基本稳定在 40%至 50%左右的占分比例．‎ ‎3．深化能力立意，突出考查能力与素质的导向 数学考试的重点是考查运用知识分析问题的方法和解决问题的能力，因此命题中尽量避免刻板、繁难和偏怪的试题，避免死记硬背的内容和繁琐的计算．不但能考查出考生数学知识的积累是否达到进入高校学习的基本水平，而且要以数学知识为载体，测量出考生将知识迁移到不同情境的能力，从而检测出考生已有的和潜在的学习能力．近年的高考表明，技巧性很强的题目决不是考察的主体，高考要考查的是考生对教材的领悟和把握，是考生真正的知识体系和能力结构，高考所考查的能力是基于知识的能力，是以知识为载体的，能力依赖于知识，夯实基础方能提高能力．‎ 对能力考核的强化离不开对基础知识和技能的考查，高中阶段仍属于基础教育．高中教学的目的之一，就是引导学生建构符合他们年龄特征和身心状况的知识结构和知识体系．强调能力考核，并不意味着要削弱对基础知识和基本理论的要求．不能借口能力考核或理论联系实际而弱化、淡化基础知识、基本理论．相反，学生是否具有较为扎实的基础知识和基本理论，是数学命题贯彻理论和实际相结合的原则的前提，也是教学中培养、提高学生分析问题和解决问题的能力的基础．近几年来，许多考生在解题中的一些失误，并非是缺乏灵活的思维和敏锐的感觉，而恰恰是因对大纲中规定的基础知识、基本理论的掌握还存在某些欠缺，甚至有所偏废所致．考生对所学知识的掌握缺乏整体性、条理性是较为普遍的现象．‎ 总之，改革中的数学高考命题，继承和发扬历次高考改革的成果和经验，在保持整体稳定的前提下，加大了改革创新的力度，形成了“立意鲜明，背景新颖，设问灵活，层次清晰”的新特色，即立足基础知识，突出能力考查；淡化运算技巧，强调通性通法；数学思想方法，贯穿试卷始终；关注思维过程，强化理性思维；重视探究实践，培养创新意识，把握纵横联系，揭示普遍规律.从学科的整体高度考虑问题，在知识网络的交汇处设计命题，体现数学应用的社会性与时代性，紧密联系社会实际，在能力立意的前提下创新，全面考查学生综合素质，考查学生综合分析问题解决问题的能力． ‎ 五、对数学教学与复习的启示 高考是中学教学的强有力的指挥棒，高考命题的特点对中学教学有一定的导向作用，这是不争的事实．但是如果中学的教学只是仅仅围绕着高考的指挥棒转，就太被动了．只有抓住数学教学的本质，紧扣教材，依据大纲，在努力提高学生的数学素养上下功夫，才能做到以不变应万变．‎ ‎1．重结论更重过程，提高课堂教学效率是关键 课堂教学是全面实施素质教育的主阵地，课堂教学就是让学生在认识数学知识由易到难、由点线到面的发生、发展和应用的过程中，逐步形成对数学思想方法的认识及利用其解决问题的能力．教学中要注重知识发生的过程，将未知转化为已知的过程，绝不能以讲代练，要让学生自己去动手，去思索，去探求，去发现，让学生真正做题，做到“做的到答案，讲得出理由”，积累解题经验，以学生能力培养为最终目标．教材具有完备的知识体系，又具有绝对的权威性，而大量的课外参考书、习题集都是教材的衍生和对教材的翻版．为此，教师要引导学生扎根教材．‎ ‎2．抓基础，建构良好知识结构和认知结构体系 ‎ 扎实的数学基础知识，是学好数学的关键，也是成功解题的基础．学生由于基本概念不清楚、基本方法不熟练以及基本运算不正确而失分的情况相当严重．因此，必须将狠抓“三基”‎ 放在首位.由于课本是考试内容的载体，复习时，要以课本为主，全面梳理基础知识、基本方法，做到低起点、宽范围，全面而系统地整理知识、注意知识结构的重组与概括，揭示其内在的联系与规律，从中提炼出思想方法．有针对性地进行一些基础题训练，体会如何运用基础知识解决问题，提炼具有普遍性的解题方法．‎ 良好的知识结构是高效应用知识的保证．切忌孤立对待知识、方法，要将其前后联系，纵横比较综合，自觉地将新知识及时纳入已有的知识系统中去，融代数、三角、立几、解几于一体，进而形成一个条理化、有序化、网络化的高效的有机认知结构．深入理解数学概念，正确揭示数学概念的本质，属性和相互间的内在联系，发挥数学概念在分析问题和解决问题中的作用．例如以函数为主线的知识链．又如直线与平面的位置关系中“平行”与“垂直”的知识链．再如代数中的“四个二次”：二次三项式，一元二次方程，一元二次不等式，二次函数，以二次方程为基础、二次函数为主线，通过联系解析几何、三角函数、带参数的不等式等典型重要问题，建构知识，发展能力．‎ 3． 不依靠题海取胜，要注重题目的质量和处理水平 由于“应试教育”的影响，不少数学教师采取题海战术、“大运动量训练”盲目做题、猜题押题等手段来应付升学考试，其结果是步入了．低效率、重负担、低质量．的恶性循环的怪圈．其实，当处理的题目达到一定的数量后，决定复习效果的关键性因素就不再是题目的数量，而在于题目的质量和处理水平．‎ 首先要重视以课本上的例题、习题为素材，深入浅出、举一反三地加以推敲、延伸和适当变形，形成典型例题，借助于启发式讲解来帮助学生加深理解、融会贯通．传统的好题，包括课本上的一些例、习题应成为保留节目．陈题新解、熟题重温可使学生获得新的感受和乐趣．切实加强基本功，做每个题都要能说出解题思路和依据；对各种练习卷要按高考改革要求有所取舍，不要依靠“记类型”来掌握解题方法．‎ 其次要控制题目的难度，在“稳”、“实”上狠下功夫．那些只有运用“特技”才能解决的“偏、怪、奇”的题，坚决摒弃．讲究讲评试卷的方法和技巧．解题训练与纠错并举，坚持定期定时做综合练习，对于做练习题，不要看一眼以为很容易，自己会做就不去做了．平时做题要做到：想明白、说清楚、算准确.做好反思总结.对立意新颖、结构精巧的新题予以足够的重视，要保证有相当数量的这类题目，但对于特别难的题不要投入大量精力去做，因为这些题往往是超出考试要求，做了也是白做，还挫伤自己的信心．‎ 另外还要夯实解题基本功，注重良好习惯的培养．高考复习的一个基本点是夯实解题基本功，而对这个问题的一个片面做法是，只抓解题的知识因素，其实，解题的效益取决于多种因素，其中最基本的有：解题的知识因素、能力因素、经验因素、非智力因素．学生在答卷中除了知识性错误之外，还有逻辑性错误、策略性错误和心理性错误．加强解题规范性的训练，做到合理、简捷、思路清晰，过程完整．突破一个“老大难”问题：“会而不对，对而不全”．“会而不对”是遇到一道题目有正确的思路但在解题中出现考虑不周、推理不严、书写不准，寻致题后结果出错．“对而不全”是思路大致正确，最终结论也正确，但丢三落四，或缺欠重大步骤，中间某一步逻辑点过不去；或遗漏某一极端情况，整合不够完备；或是潜在假设；或是以偏概全等，这个老大难问题应该认真重视，并综合治理加以解决．‎ 最后要结合实际，了解学生，分类指导．要全面了解学生的实际情况，同时结合高考的实际情况，实行综合指导．如有的学生需要专攻薄弱环节，有的学生需要查漏补缺，也有一些学生则应扬长避短等等．了解学生建立跟踪档案，进行量的分析．只有了解学生，才有利于个别辅导，因材施教；对于差的学生，重在补缺；对于好的学生，重在提高．‎ ‎4．抓思想方法渗透 重能力培养 数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于知识发生、发展和应用的过程之中，是知识转化为能力的桥梁，数学能力的高低往往表现在对数学思想方法的理解和运用上．高考复习要树立这样的指导思想：那就是你做的题，以及老师所选的例题不过是一种知识载体.我们的任务就是通过这一知识载体去发现、挖掘、其中不变的数学内涵，即数学的基础知识和基本技能、数学的通性通法.抓住了通性通法，就抓住了数学对象的基本性质．要结合基础知识和基本方法的复习，帮助学生体会函数与方程的思想、等价转化的思想、分类整合 的思想、数形结合的思想等重要思想方法在数学解题中的应用，使学生学会自觉地运用数学思想方法指导数学解题，要把总结与反思解题的思维过程成为数学思想方法的渗透、领悟、升华和应用的过程，要注意打破数学内部的学科界限，加强综合解题的训练，重视培养学生收集处理信息的能力，指导学生学会用数学的眼光去观察分析，因此，为了将能力的培养落到实处，重视数学思想方法的提炼和渗透显得尤为重要．‎ 总之，高考是基础知识、基本能力的高层次的反映，需要从运算准确、表达清楚、推理严密等基本功的强化着手，通过严格训练学生从审题、解答到反思，独立完成解题全过程来实现．要从解题的全过程中去引导学生挖掘提炼数学的本质内涵即数学思想方法．复习的重点应放在研究、研讨上，而不是灌输，重在通过复习提高学生的悟性，启发引导学生自己去感悟、提高，要把提高学生的数学能力与培养数学素养有机结合起来，真正关注到学生终身发展的需要．‎ 参考文献 ‎[1]刘彩萍. 高考数学中数学思想方法的研究及启示[D].上海师范大学硕士学位论文，2010,37－42.‎ ‎[2]钱佩玲.数学思想方法与中学数学[M].北京:北京师范大学出版社,2008,7-13.‎ ‎[3]华敬海.分类与整合思想在解题中的应用[J].中学生理科应试:高中,2010,5:25-32.‎ ‎[4]曹才翰.中学数学教学概论[M].北京:北京师范大学出版社,1990,13-16.‎ ‎[5]郑毓信.数学方法论入门[M].杭州:浙江教育出版社,2006,24-27.‎ ‎[6]张承然.数形结合培养学生思维能力[J].中学数学教学,2005,5:42-43.‎ ‎[7]朱成杰.数学思想方法教学研究导论[M].上海:文汇出版社,2001,6-7.‎ ‎[8]胡炯涛.数学教学论[M].南宁:广西出版社,1996,38-39.‎ ‎[9]郭刘龙,陈宇涛.论数学思想方法的教育价值[J].教育理论实践,2005,1:59-60.‎ ‎[10]涂钊榕.高中数学中函数与方程思想的研究[D].福建师范大学硕士学位论文,2012,11.‎ 英文摘要 Research and enlightenment on Mathematical Way of Thinking in College Entrance of Mathematics -----To classify and Integration as an example ‎ ‎ Abstract Mathematical Way of Thinking is the math of the soul ,through stating the significance of studying mathematical way of thinking, revealing the necessity of studying it. In order to study the typical mathematical way of thinking embodied in high school math problems of the type, form, style, degree, on the basis of theoretical analysis, empirical research done. This paper mainly analyzes the typical high school mathematics thinking method, to understand the nearly 10 years of mathematics thought method applied in the college entrance examination in mathematics papers embodied in the case, and roughly divided for its; through the above research, to produce the implications for teaching ‎ Key words Mathematical Way of Thinking College Entrance Examination Classification and Integration Revelation