最新高考数学人教版必修4知识点

最新高考数学人教版必修4知识点

数学4‎ 内容目标 学习要求 教学建议 任意角的概念 ‎1.认识角扩充的必要性，了解任意角的概念，理解正角、负角、零角的概念。了解象限角与轴线角。‎ ‎2.能用集合表示终边相同的角、象限角和轴线角。‎ ‎1.通过具体事例让学生充分认识到角扩充的必要性，引入任意角的概念。‎ ‎2.运用信息技术动态演示角形成的过程，让学生观察角的变化与终边位置的关系，引导学生用数形结合的思想方法认识问题，体会旋转量和旋转方向是刻画角的两个基本要素。‎ ‎3.对于判断一个角是第几象限角，只要求给定具体度数的角即可。在学习象限角时应强调角与平面直角坐标系的关系。在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律。‎ ‎4.从具体问题入手，通过开展探究活动，让学生操作思考，经历由具体到一般的抽象过程，形成对“终边相同的角相差的整数倍”的直观感知，了解终边相同的角的关系，并能用集合表示。‎ ‎5.用集合表示终边相同的角表示方式不唯一，要注意采用简约的形式。‎ 弧度制 ‎1.了解弧度制，知道弧度也是角的一种度量单位。‎ ‎2.能进行弧度与角度的互化。 ‎ ‎1.通过对长度、重量等度量单位的比较，引出弧度制。‎ ‎2.引进弧度制后，要引导学生建立弧与圆心角的联系，并与角度制进行对比，让学生知道弧度也是一种度量角的单位。‎ ‎3.通过学生探究，概括出弧度与角度互化的关键：，推导出换算公式，引导学生写出等特殊角的弧度数。‎ ‎4.对于弧长公式，可作为课堂教学范例，只要能简单应用即可。‎ 任意角三角函数的定义 ‎1.理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。‎ ‎2.在三角函数定义学习中体会数形结合思想。‎ ‎1．根据学生的生活经验，创设丰富的情境，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，让学生体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模型的意义。‎ ‎2.通过以锐角三角函数为引子，先用单位圆上点的坐标表示锐角三角函数，在此基础上定义任意角的三角函数，理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。有条件的学校应当尽量使用信息技术进行教学，展示三角函数定义逐步化归的过程。‎ ‎3.引导学生利用单位圆上点的坐标或坐标的比值定义任意角三角函数，利用已学函数概念理解三角函数，把握其本质。可通过科学计算器求三角函数值，理解三角函数是一种特殊的函数。‎ ‎4.引导学生由定义得到诱导公式一，利用其可把求任意角的三角函数转化为求0～2π内角的三角函数值，从代数角度揭示三角函数值的周期变化规律，渗透化归数学思想。‎ ‎5.通过任意角的三角函数线教学，渗透“以形助数”的数形结合思想。‎ 同角三角函数的基本关系式 ‎1．理解同角三角函数的基本关系式：‎ ‎2．会根据同角三角函数基本关系解决已知一个角的某个三角函数值求其余两个三角函数值（简称“知一求二”）及简单的三角恒等式证明问题。‎ ‎1.以单位圆中的三角函数线作为认知基础，通过探究学习，引导学生在单位圆中构造出以任意角的正弦线、余弦线为直角边的直角三角形，启发学生思考其中的几何关系，从而得出同角三角函数基本关系：‎ ‎2.对于“已知一个角的某个三角函数值求其余两个三角函数值”问题，应要求学生先判断角的象限，进而确定所求三角函数值的符号，再求值。‎ ‎3．对于“恒等式证明”，只要让学生学会遵循“由繁到简”、“等价转化”的原则进行变形，能证明一些简单的三角恒等式即可。‎ 诱导公式 ‎1．能借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（的正弦、余弦、正切）。‎ ‎2．会利用上述公式解决相关问题。‎ ‎3．在利用上述公式解决问题的过程体会化归与转化思想。‎ ‎1.在教学中应引导学生复习已学知识，提出探究问题，借助单位圆，通过图形观察，启发学生发现公式二至四，然后引导学生，概括四组公式，认识它们的作用。‎ ‎2.在教学中，要善于利用单位圆的对称性，让学生自主发现分别关于原点或对称轴对称的角的三角函数值之间的关系，体现数形结合的数学思想方法。‎ ‎3.通过将任意角的三角函数等价转化为0～角的三角函数的例题与练习，渗透化归与转化思想。对于公式五、六的教学，可同上安排。‎ ‎4. 在教学中要注意归纳，引导学生熟记诱导公式，如两套诱导公式可概括为：“奇变偶不变，符号看象限”，并明确它的作用是将任意角的三角函数化为锐角三角函数，强调化归与转化的数学思想方法。‎ 三角函数图象 ‎1.能画出，的图像。‎ ‎1.通过学生亲自动手或教师做演示实验方式完成单摆做简谐振动的实验，使学生对三角函数图象产生直观认识，引出正弦函数、余弦函数的图象。‎ ‎2.‎ 在教学时应启发学生从正弦线的变化规律、诱导公式一，引导学生思考如何才能更快地画正弦函数曲线（）的图象，注意其自变量一般用弧度制度量。‎ ‎3.“五点法”是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法。在教学中应引导学生观察图象，得出五个关键点。还可先让学生动手作图，并回答如何通过图象变换得出要画的图象。‎ 三角函数性质 ‎1.了解三角函数的周期性、奇偶性。‎ ‎2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在［0，2π］，正切函数在（）上的性质（如单调性、最大和最小值与x轴交点等）。‎ ‎1．通过观察正弦线的变化规律，利用正弦函数图象体现这种规律，引导学生给出周期性的概念，从数、形两个方面研究正弦函数具有的周期性变化规律。‎ ‎2.在引导学生学习周期性概念时可强调：周期函数的周期不唯一；周期函数不一定存在最小正周期。‎ ‎3.正弦函数、余弦函数的奇偶性由图象观察或由诱导公式进行证明都较容易，可交给学生自主完成。‎ ‎4.正弦函数、余弦函数的单调性只要由图象观察，不要求证明。在教学时可先选择一个恰当区间，启发学生描述正弦函数在这个区间上的单调性。通过类比也可让学生自己描述余弦函数的单调性。‎ ‎5．正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个结论，由于难度不大，可以让学生自行研究。 ‎ ‎6．对于正切函数，可引导学生类比正、余弦函数图象与性质来研究。‎ ‎7．鼓励学生利用信息技术工具画出正切函数图象。‎ y=Asin（ωx+j）图象与性质 ‎1.了解y=Asin（ωx+j）的实际意义。‎ ‎2．能借助计算器或计算机画出y=Asin（ωx+j）的图像，观察参数A、ω、j对函数图象变化的影响。‎ ‎1.从物理问题引入，可用“五点法”作图，或借助计算器（机）等信息技术工具画出y=Asin（ωx+φ）的图象。通过参数φ、ω、A参数赋值，从具体到抽象，最后得出一般结论。‎ ‎2.在研究函数y=sin x的图象到y=Asin（ωx+φ）的图象变换过程中，先分别考察参数φ、ω、A对函数图象的影响，再从整体上研究参数对图象整体变化的影响。‎ ‎3.通过图象引导学生认识y=Asin(wx+j)图象的五个关键点，由此得出“五点法”画y=Asin(wx+j)图象的方法。作函数y=Asin（ωx+φ）简图方法本质是三种变换：周期变换、振幅变换、相位变换，鼓励学生研究不同变换途径，要求能用准确数学语言描述不同的变换过程，培养学生从不同角度分析问题解决问题的能力。‎ ‎4.在教学中，应鼓励学生使用计算机（器）分析 y=Asin（ωx+j）中参数变化对函数的影响。‎ 三角函数应用 ‎1.会用三角函数解决一些简单实际问题。‎ ‎2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。‎ ‎1.在教学中引导学生从实际问题中发现周期变化规律，分析问题中数量关系，将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型。 ‎ ‎2. 重视学科渗透，运用三角函数分析理解其他学科的相关内容，开展数学探究或数学建模活动, 体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。‎ ‎1.了解向量的实际背景。‎ ‎1.从向量的物理背景和几何背景入手，‎ 平面向量的实际背景及基本概念 ‎2.理解向量、零向量、单位向量、相等向量、向量的模的概念。‎ ‎3.理解向量的几何表示，会用字母表示向量。‎ ‎4.了解平行向量的概念及表示法，了解相反向量、共线向量的概念。‎ ‎5．知道两个向量不可比较大小。‎ 通过力和力的分析等实例，建立学生熟悉的矢量等概念与向量的联系，引出向量概念。‎ ‎2.将向量与数量概念比较，使学生更深刻把握向量的概念。‎ ‎3.借助信息技术，通过向量的平移来说明向量相等与起点无关。‎ ‎4.通过与平面几何中的直线、线段的平行概念的比较，使学生知道两个共线向量不一定要在一条直线上，但两个向量平行就是共线向量。特别地，零向量与任意向量平行。‎ 向量的线性运算 ‎1．掌握向量加、减法的定义，并理解其几何意义。会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量与差向量。 ‎ ‎2．掌握向量加法的交换律与结合律,并会用它们进行向量运算。‎ ‎3．掌握实数与向量积的定义及向量数乘的运算，并理解其几何意义。‎ ‎4.理解两个向量共线的充要条件。‎ ‎5.了解向量的线性运算性质及其几何意义。‎ ‎6．会用向量法解决简单的几何问题。‎ ‎1.通过类比数的加法，以物理模型为背景引入，让学生实际操作，形成对向量加法的直观感知。‎ ‎2.利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算 教学时，要注意它们对应的物理模型，在本质上二者是一致的。‎ ‎3.可以借助信息技术来探究不等式，通过改变、的位置，动态演示与的关系，加强对向量加、减法运算几何意义的认识和理解。‎ ‎4.引导学生通过类比数的加法交换律和结合律，结合画图验证理解向量加法的交换律和结合律。‎ ‎5. 在教学中应要求学生了解向量线性运算性质及其几何意义。向量的线性表示应控制难度，不宜做太多的拓展。对于向量运算的交换律、数乘的结合律和分配律，只要求会用即可，对于基础较好的学生亦可介绍证明方法。‎ ‎6．在教学中应要求学生熟练掌握向量线性运算律，并会说出几何意义。‎ 平面向量的基本定理及坐标表示 ‎1.了解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题。‎ ‎2.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。‎ ‎3.掌握平面向量的坐标运算，会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。‎ ‎4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件，会依据向量的坐标，判断向量是否共线。‎ ‎1.在教学中通过开展探究活动，引导学生自主得出平面向量基本定理。平面向量基本定理是平面向量的核心内容，它为向量的坐标表示奠定基础，该定理不要求严格的证明。‎ ‎2. 让学生通过作图知道平面内不共线的任意两个向量e1、e2都可以作为平面内所有向量的基底，体会基底的不唯一性。‎ ‎3.通过力的分解问题，使学生感受向量分解与现实的紧密联系，明确向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解，也是平面向量基本定理的一个应用。‎ ‎4．在推导向量的坐标表示教学中，通过类比平面直角坐标系中点用有序实数对表示，联系平面向量基本定理和向量的正交分解，体会每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示。‎ ‎5．要求学生掌握利用向量推导线段的定比分点坐标公式的方法，但公式不要求记忆。‎ ‎1.‎ ‎1.通过物体受力做功为背景，引出向量数量积的概念，‎ 平面向量的数量积 理解平面向量数量积及其几何意义。‎ ‎2.了解一个向量在另一个向量上投影的概念，体会平面向量的数量积与向量投影的关系。‎ ‎3.掌握平面向量数量积的性质、运算律和几何意义。‎ ‎4.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的坐标运算。‎ ‎5.了解两个向量的夹角概念，能运用用数量积表示两个向量的夹角。‎ ‎6.会用向量数量积来处理有关长度、角度和垂直问题。‎ 让学生认识到它是一种新的向量运算，有明显的物理意义、几何意义。‎ ‎2．在教学中，从数与形两个方面引导学生对向量数量积定义进行探究，将其与数的乘法比较，通过作图分析，使学生明确：当时，由不能推出一定是零向量；不一定能推出；对于向量，＝未必成立，强调与数的乘法结合律的区别。‎ ‎3．在教学中引导学生探究向量数量积的运算律，其中向量数量积关于向量加法的分配律特别重要。教学中应当让学生独立完成三个运算律的证明，然后教师作适当点评。‎ ‎4．向量的非正交分解、向量投影的概念只要求了解，不必拓展。‎ ‎5．在向量的数量积、向量的模、向量的夹角、两个向量垂直的充要条件的坐标表示公式教学中，可让学生自主探究，体验公式发生、发展的全过程，提高对公式理性的理解认识。‎ ‎6. 平面向量数量积的应用应以解决涉及长度、角度和垂直等数学问题为主，不应随意拓展。‎ 向量的应用 ‎1.了解向量知识在实际生活中有着广泛的应用。‎ ‎2.能运用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题和其他一些实际问题。‎ ‎3.在应用向量解决问题过程中，体会普遍联系的辩证唯物主义观点。‎ ‎1. 经历解决某些简单的平面几何问题、力学问题和其他一些实际问题的过程，体会平面向量突出的工具作用。‎ ‎2．在教学中要渗透数形结合数学思想方法，利用向量工具将几何关系代数化，培养学生分析问题解决问题能力，提高学生数学应用意识。‎ ‎3.通过向量在简单平面几何问题中的应用，让学生从中总结归纳出利用向量解决几何问题的步骤 ：‎ ‎ [形到向量]→[向量的运算]→[向量和数到形]; ‎ 体会向量是沟通代数、几何与三角的桥梁。‎ ‎4.通过向量在物理中的应用，让学生从中总结归纳出利用向量解决物理问题的步骤:‎ ‎[物理问题]→[向量问题]→[向量运算]→[物理现象]。‎ 和与差的三角函数公式 ‎1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。‎ ‎2．能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；‎ ‎3．能利用这些公式进行和、差、倍角的求值和简单的化简。‎ ‎1. 设计教学情境，引导学生从数形结合的角度出发，利用单位圆中的三角函数线、三角形中的边角关系等建立关于正弦、余弦的等量关系, 运用平面向量的数量积推导两角差的余弦公式，体会推导过程中蕴含的数学思想方法，进而突破教学难点。‎ ‎2. 在两角差的余弦公式推导的教学中应合理引导学生联想向量知识，体会向量方法的应用；充分利用单位圆，分析其中有关几何元素（角的终边及其夹角）的关系；要关注公式推导过程中体现的分类讨论、数形结合思想以及向量方法的应用。‎ ‎3.在教学中通过 和角、差角、倍角的三角函数之间存在紧密的内在联系，由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，展示数学发现的过程，让学生从中总结归纳出公式推导的过程:‎ ‎，建立关于两角的三角函数公式体系。‎ 在教学中，老师可以根据学生情况，对公式的推导顺序作出自己的选择。教学中应当把握要求，不要作过多拓展。‎ 简单的三角恒等变换 ‎1.能利用和、差、倍角的公式进行简单的恒等变换，并证明三角恒等式。‎ ‎2.能利用三角恒等变换研究三角函数的性质。 了解三角变换中蕴藏的数学思想和方法。‎ ‎3.能把一些实际问题化为三角问题，通过三角变换解决。‎ ‎1.引导学生以已有的公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式为基本训练，体会三角变换特点，提高推理运算能力。教学时应当把握好“度”，不要随意补充知识点（如半角公式、积化和差与和差化积公式，这些公式不要求记忆，更不要求运用）。‎ ‎2.在教学中，要注意恰当地提出问题，加强对三角函数式特征的观察，使学生明确三角恒等变换包括结构形式、角、不同三角函数名之间的变换，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题。‎ ‎3.要切实提高学生“活”用公式的能力，加强逆用及变用公式的训练。要求学生在解题中不断总结规律，归纳三角恒等变形中常用的变换方法，如函数名的变换、角的变换、升降次的变换、“1”的代换等，注意体会三角恒等变换方法的特殊性。‎ ‎4.把一些实际问题化为三角问题，通过三角变换解决，培养学生应用意识，激发学生学习兴趣。‎