高考热点专题——带电粒子在电磁场中的运动

高考热点专题——带电粒子在电磁场中的运动

北 京 四 中 审　 稿：李井军　 责　 编：郭金娟 ‎ 高考热点专题——带电粒子在电磁场中的运动 ‎ ‎　　【高考展望】 　　高考对电场的考查重点是：①电场性质的描述；②带电粒子在电场中的运动；③平行板电容器。近几年高考对本章知识的考查命题频率较高且有相当难度的，集中在电场力做功与电势能变化、带电粒子在电场中的运动这两个知识点上，特别在与力学知识的结合中巧妙地把电场概念、牛顿定律和功能关系等联系起来。 　　带电粒子在电场中的运动，是电学知识和力学知识的结合点，所以，带电粒子在电场中的运动问题常将电场知识和力学中的牛顿第二定律、匀变速运动的规律、动能定理、运动的合成与分解等主干知识相结合。电场问题还可与生产技术、生活实际、科学研究、前沿科技等联系起来，如电容式传感器、示波管原理等。这些都可以成为新情景综合问题的命题素材。这类题目综合性强，情景新颖、难度较大，对能力的要求较高。命题趋于综合能力考查，考查分析问题能力、综合能力、用数学方法解决物理问题的能力。带电粒子在电场中的运动问题是高考中考查几率较高的知识点，几乎每年都考，并且多数是以计算题的形式出现。 　　带电粒子在磁场中的运动，不仅应有了磁场的有关知识，还涉及力学中的圆周运动的规律、牛顿定律、功能关系或能量守恒等知识，这类问题对学生的空间想象能力、分析综合能力、应用数学知识处理物理问题的能力有较高的要求，是考查考生多项能力的极好载体。 　　【知识升华】 　　电场部分的知识结构如下表 　　带电粒子在电场中的运动： 　　1.带电粒子在电场中的运动情况与力学中的分析方法基本相同：先分析研究对象的受力情况，再结合研究对象的运动状态或运动过程（平衡、加速或减速，轨迹是直线还是曲线等），选用恰当的力学规律（如牛顿运动定律、运动学公式、动能定理、能量守恒定律等）进行处理。如本专题中讨论较多的垂直射入匀强电场中的带电粒子的偏转问题，其处理方法完全和平抛运动的处理方法一样：粒子沿初速度方向做匀速直线运动，垂直于初速度方向做初速度为零的匀加速运动。若已知粒子初速度v0，质量为m，电量为q，偏转电压为U，偏转极板长度为，极板间距为d，则粒子穿越电场的时间t=‎ ‎，粒子垂直于v0方向的加速度a=，离开电场时侧移量y=at2=，偏转角tanθ==。 　　2.带电体的重力是否忽略，关键是看其重力和其他力的大小比较。一般来说，一些微观粒子如电子、质子、α粒子等重力可以忽略，而一些宏观的带电体如带电的小球、带电的液滴等重力不能忽略。 　　3.如果偏转极板上加一交变电压，极板间出现一交变电场，但其交变周期T远大于粒子穿越电场的时间时，则在粒子穿越电场的过程中，极板间电场可当做匀强电场处理，只不过不同时刻匀强电场的场强大小不同而已。 　　带电粒子在匀强磁场中的运动 　　 　　由于磁场对运动电荷产生的洛伦兹力方向始终垂直于粒子的速度方向，所以洛伦兹力在任何情况下对电荷都不做功，只能改变电荷运动速度的方向而不改变速度的大小，特别当电荷以垂直于磁场方向的速度v射入匀强磁场B中时，若只受洛伦兹力作用，则电荷将在磁场中做半径R=，周期T=的匀速圆周运动。对于带电粒子在有界磁场中的匀速圆周运动，往往只有一段圆弧，这类问题一般是先确定电荷运动的圆心——通常过入射点和射出点作射入和穿出磁场时速度方向垂线，两垂线的交点即是圆心，或过入射点作射入方向的垂线和弦的中垂线，两线交点即为圆心。再根据几何关系确定运动半径和圆心角。根据求出的半径由半径公式可求带电粒子的线速度（磁感应强度或带电粒子的比荷），根据求出的圆心角θ和周期公式可以带电粒子在磁场中运动的时间： t=（注意：代入公式的圆心角θ必须以弧度为单位）。 　　【典型例题】 　　[例1] 两平行金属板A、B水平放置，一个质量为m=5×10-6 kg的带电微粒，以v0=2 m/s的水平速度从两板正中位置射入电场，如图所示，A、B两板间距离为d=4 cm，板长L=10 cm. 　　（1）当A、B间的电压为UAB=1000V时，微粒恰好不偏转，沿图中直线射出电场，求该微粒的电量和电性； 　　（2）令B板接地，欲使该微粒射出偏转电场，求A板所加电势的范围。 　　 　　解析：‎ 本题中微粒的重力不可忽略，因此微粒的运动规律将取决于重力和电场力的合力。当重力跟电场力相等时，微粒做匀速直线运动；当重力大于电场力时，微粒将向下偏转；当重力小于电场力时，微粒将向上偏转。 　　(1)当UAB=1000V时，微粒恰好不偏转，则q =mg 　　　 所以q==2×10-9 C 　　　 因为UAB＞0，所以板间电场强度方向向下，而电场力向上，则微粒带负电。 　　（2）当电场力F＞mg时，带电粒子向上偏。设当微粒恰好从右上边缘M点飞出时，A板电势为φ1，因为φB=0，所以UAB=φ1。粒子在水平方向上做匀速直线运动，则 　　L=v0t　　 　　　　 　　　　① 　　微粒在竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，则 　　偏转距离at2　　　　 ② 　　加速度：a=-g　　　　　③ 　　由方程式①②③代入数据可得：φ1=2600 V 　　当电场力F＜mg时，带电粒子向下偏转，竖直方向加速度：a=g- 　　同理可解得A板的电势：φ2=-600 V 　　故欲使微粒射出偏转电场，A板所加电势的范围为：-600 V＜φA＜2600 V 　　点评：通过本例说明综合应用牛顿运动定律、运动合成与分解的规律分析带电粒子在电场力等多个力作用下做匀变速曲线运动问题的分析方法。 　　从此题的解析可以看出，在处理带电体在电场中偏转的问题时，不管是否受重力，都可以把它受的合外力等效成“重力”，然后按类平抛运动的规律来求解。 　　等效法是从效果等同出发来研究物理现象和物理过程的一种科学方法。等效的概念在中学物理中应用很广，例如，力的合成和分解、运动的合成和分解、电路的总电阻、交流电的有效值等，它们的计算都是应用等效法得出的。 　　本例还说明了利用临界情况求极值的分析方法。粒子恰能飞出极板和粒子恰不能飞出极板，对应着同一临界状态，根据题意找出临界状态，由临界状态来确定极值，也是求解极值问题的常用方法。 　　此题是一个较典型的带电粒子先加速再偏转的题目。通过该题认真体会求解这类问题的思路和方法，并注意解体格式的规范化。 　　变式训练1．一束电子流在经U=5000V的加速电压加速后，在距两极板等距处垂直进入平行板间的匀强电场，如图所示。若两板间d=1.0cm ，板长 ‎=5.0cm，那么，要使电子能从平行板间的边缘飞出，两个极板上最多能加多大电压？ 　　 　　解析：在加速电压一定时，偏转电压越大，电子在极板间的偏距就越大。当偏转电压大到电子刚好擦着极板的边缘飞出，此时的偏转电压即为题目要求的最大电压。‎ 加速过程，由动能定理得：　 　　进入偏转电场，电子在平行于板面的方向上做匀速运动　　 　　在垂直于板面的方向做匀加速直线运动，加速度　　 　　偏距　　　　　　　　　 　　能飞出的条件为　　　　　 　　解以上各式得：V=400V 　　即要使电子能飞出，所加电压最大为400V。 　　[例2] 如图甲中A和B表示在真空中相距为d的两平行金属板，加上电压后，它们之间的电场可视为匀强电场，图乙表示一周期性的交变电压波形，横坐标代表时间t，纵坐标代表电压U，从t=0开始，电压为一给定值U0，经过半个周期，突然变为-U0；再过半个周期，又突然变为U0……如此周期性地交替变化。 　　在t=0时，将上述交变电压U加在A、B两板上，使开始时A板电势比B板高，这时在紧靠B板处有一初速度为零的电子（质量为m，电荷量为e）在电场作用下开始运动。要想使这电子到达A板时具有最大的动能，则所加交变电压的频率最大不能超过多少？ 　　 　　解析：在电子由B板向A板运动过程中，A板电势高于B板时电子做加速运动、动能增加，A板电势低于B板时电子做减速运动、动能减少。由动能定理W=ΔEk知，在电子由B板运动到A板的过程中，只有电场力做功最多，电子获得的动能才最大。A、B板间加电压U0后，A、B间形成匀强电场，由U=Ed知，所加电压是均匀地分布在A、B之间的，电子只有一直加速至A板，电场力做功才最大，为eU0，中间只要存在减速过程，电场力做功的总和就小于eU0‎ ‎。所以，欲使电子获得最大动能，应使电子一直处于加速状态，即电子从B→A的运动时间应t≤。 　　电压U0作用下电子的加速度a=，根据d=at2=··t2，电子到达A板所用时间t= 　　设交流电周期为T，则要求t≤ 　　若交流电频率为f，则得t≤ 　　则≤ 　　解得频率最大不能超过 　　点评：分析清楚电子在A、B金属板间的运动情景，是解决本题的关键。本题最易犯的错误，是认为在每一个正半周期末到达A板的电子都应具有相同的最大动能。造成这种错误的原因是忽略了电压是加在A、B两板之间的，电子只有在半周期内到达A板，电场力对电子做的功才最大为eU0，而在其他正半周期末到达A板的电子，电场力对其做的总功为 (n=3、5、7…)。为进一步加强对此类问题的理解，有兴趣的同学可讨论若A、B板距离足够大，在t为多少时从B板处释放电子，电子将不能到达A板？ 　　变式训练2．图a中A和B是真空中的两块面积很大的平行金属板，加上周期为T的交流电压，在两板间产生交变的匀强电场.已知B板电势为零，A板电势随时间变化的规律如图（b）所示，其中的最大值为、最小值为−3；在图（a）中，虚线MN表示与A、B板平行等距的一个较小的面，此面到A和B的距离皆为L。在MN处，各个时刻产生机会均等的电量为q、质量为m的带负电的微粒，这种微粒产生后，在电场力的作用下从静止开始运动。设微粒一旦碰到金属板，它就附在板上不再运动，且其电量同时消失，不影响A、B板的电压。已知这种微粒的荷质比满足。不计重力，不考虑微粒之间的相互作用。 　　（1）通过计算说明：在t =0时刻产生的微粒能否到达A板？ 　　（2）若在t =0时刻产生的微粒能到达A板，则在t =0到t =T这段时间内产生的微粒中，哪一时刻产生的粒子刚好能到达A板？‎ ‎ 　　 　　答案：（1）t =0时刻产生的微粒能到达A板； （2） 　　解析： 　　(1)由题意知，在0~时间内A板电势为0，所以粒子在电场力作用下由静止向右做匀加速运动，故其加速度为：　　　　 ①　 　　所以在0~时间内一直匀加速运动能够运动的位移： 　　　　　　　　② 　　由题设条件知 　则　 　③ 　　由③得，所以， t =0时刻产生的微粒能到达A板。 　　(2) 粒子要刚好能到达A板，就必须先做加速运动再做减速运动，到达A板的速度应为零。 　　设在0~时间内，t1时刻产生的粒子能刚好到达A板，则A板电势为φ0时，粒子做匀加速运动，其运动的时间为，所以这段时间的位移为 　　　　　　　　　　　　　　④ 　　t1时刻的速度 　　　　　　　⑤ 　　之后， A板电势为-3φ0，这时粒子做匀减速运动最终到达A板速度为0，设其运动的时间为t2‎ ‎，则 　　t2时间内的位移　　　　　　⑥ 　　t1时刻的速度 　　　　　　　　　　 ⑦ 　　由于　　　　　　　　　　　⑧ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　⑨ 　　由以上式子解得： 　　[例3] 如图（a）所示，两平行金属板相距为d，加上如图(b)所示的方波形电压，电压的最大值为U0，周期为T。现有重力忽略不计的一束离子，每个离子的质量为m、电量为q，从与两板等距处的O点，沿着与板平行的方向连续地射入两板中。已知每个离子通过平行板所需的时间恰为T(与电压变化周期相同)，且所有离子都能通过两板间的空间打在右端的荧光屏上。试求： 　　（1）离子击中荧光屏上与O′点的最小距离。 　　（2）离子击中荧光屏上与O′点的的最大距离。 　　 　　答案： (1) ，(2) ymax= 　　解： 　　(1)当离子在t = T/2、3 T /2、5 T /2……时刻进入电场时，离子在水平方向做匀速直线运动，开始T/2没有侧向位移，经过T/2时间后，有了侧向位移y1，这些离子离开电场时有侧向位移的最小值，即y1。　　　 ① 　　　　　　　　　② 　　　　　　　　　 　③ 　　　　　　　　　　　④ 　　解得：　　　 ⑤ 　　（2）当离子在t=0、T、2T……时刻进入电场时，粒子在两板间开始T/2时间内侧向位移y1，在下一个T/2时间内，侧向位移为y2。这些离子在离开电场时，侧向位移有最大值，即(y1+y2)。 ⑥ 　　设离子在t=0、T、2T……时刻进入电场，经过T/2时间后在场强方向的分速度为v′，则 　　　　　　　　 　　　　　‎ ‎ （7） 　　在接着的T/2时间内，侧向位移为y2，则 　　　 　　　　　　　　　（8） 　　侧向位移有最大值 　　ymax=y1+y2=　　　　　　　　　 （9） 　　变式训练3．如图所示，水平放置长为L的平行金属板A和B的距离为d，它们的右端安放着垂直于金属板的靶MN，现在A、B板上加上如图所示的方波电压，电压的正向值为U0，反向电压值为U0/2，且每隔T/2换向一次，现有质量为m、带正电且电量为q的粒子束从A、B的中点O沿平行于金属板OO′方向源源不断的射入，设粒子能全部打在靶上而且所有粒子在A、B间的飞行时间均为T。不计重力的影响，则： 　　（1）在靶MN上距其中心O′点有粒子击中的范围是多少? 　　（2）要使粒子能全部打在靶MN上，电压U0的数值应满足的条件是什么? 　　（3）粒子能全部打在靶MN上，所有粒子的动能是多少? 　　 　　答案： 　　（1）粒子打在距O/点正下方的最大位移为：， 　　　　　粒子打在距O/点正上方的最大位移为： 　　（2） 　　（3） 　　解析：由运动的独立性可知，带电粒子在水平方向做匀速直线运动，竖直方向在电场力的作用下做变速运动。粒子打在靶MN上的范围，实际上就是粒子在竖直方向所能到达的范围。 　　（1）当粒子在0，T，2T，……nT时刻进入电场中时，粒子将打在O/点下方最远点，在前T/2时间内，粒子加速度为，在竖直向下的位移为： 　　　 　　在后T/2时间内，粒子在竖直向下的位移为：‎ ‎　 　　将v=，代入上式得： 　　故粒子打在距O/点正下方的最大位移为：　 　　当粒子在T/2，3T/2，……（2n+1）T/2时刻进入电场时，将打在O/点上方最远点，在前T/2时间内，粒子加速度为，在竖直向上的位移为： 　　 　　在后T/2时间内，粒子在竖直向上的位移为： 　　其中，，，代入上式得：s2/=0 　　故粒子打在距O/点正上方的最大位移为：。 　　（2）要使粒子能全部打在靶上，须有：，即 　　（3）因为粒子在平行于极板方向做匀速直线运动，所以平行于极板的速度： 　 　　　　　设垂直于极板的速度为vy，则有： 　 　　　　　所以打在靶上粒子的速度为　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　[例4]如图所示，涂有特殊材料的阴极K，在灯丝加热时会逸出电子，电子的初速度可视为零，质量为m、电量为e。逸出的电子经过加速电压为U的电场加速后，与磁场垂直的方向射入半径为R的圆形匀强磁场区域。已知磁场的磁感强度为B，方向垂直纸面向里，电子在磁场中运动的轨道半径大于R。试求： 　　（1）电子进入磁场时的速度大小； 　　（2）电子运动轨迹的半径r 的大小； 　　（3）电子从圆形磁场区边界的入射位置不同，它在磁场区内运动的时间就不相同。求电子在磁场区内运动时间的最大值。 　　 　　解析： 　　(1)电子在电场中的加速过程，根据动能定理有： 　　　　eU＝　　　　　　　　　 ① 　　　　得　 　　　　　　　② 　　(2)电子由所受的洛仑兹力提供向心力，有 　　　　　　　　　　　 　　③ 　　　　r＝　　　　　　④ 　　(3)分析可知，当电子在磁场中的轨迹弧最长时，它在磁场中运动的时间也最长。因r＞R，最大的弦长应等2R ，对应的弧最长，运动时间也最长。 　　画出几何关系图如图所示： 　　 　　sin＝　　　　　　　　　　　　⑤ 　　电于做圆周运动的周期　 　　　　⑥ 　　电子在磁场区运动的最长时间　 　　　　⑦ 　　解得　　 　　　　　　⑧ 　　点评：本例给出了关于带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的两类典型问题的处理方法：凡是涉及和粒子轨道半径有关的问题，应首先应用几何知识求出粒子轨道半径，凡是涉及粒子运动时间的相关问题，应根据粒子运动轨迹对应的圆心角 与圆周角的关系找出粒子运动时间和周期的关系，从而使问题得到解决。 　　变式训练4．[ 2006年天津卷.24]在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿－x方向射入磁场，它恰好从磁场边界的交点C处沿＋y方向飞出。 　　（1）判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷； 　　（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B/，该粒子仍以A处相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B′多大？此粒子在磁场中运动所用时间t是多少？ 　　答案：（1），（2）B， 　　解析： 　　（1）由粒子的飞行轨迹，利用左手定则可知，该粒子带负电荷。 　　　　　粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变了90°，则粒子轨迹半径 　　　　　R＝r　　　　　　　　　　　　 ① 　　　　　又 qvB＝m　　　　　　　　 ② 　　　　　则粒子的比荷　 　　　③ 　　（2）粒子从D点飞出磁场速度方向改变60°角，故AD弧所对应的圆心角为60°，粒子做圆周运动的半径 　　　　 R/＝rcot30°＝r 　　　　　④ 　　　 　又R/＝　　　　　　　　　　⑤ 　　　　　所以B/＝B　　　　　　　　⑥ 　　　　　粒子在磁场中飞行时间 　　　　　t＝　 ⑦ ‎