三维设计广东文人教版2014高考数学第一轮复习考案 数列求和2 文

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第47课 数列求和（2） ‎ ‎1．（2019天津高考）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，，，.‎ ‎(1)求数列与的通项公式；‎ ‎ (2)记；证明：．‎ ‎【解析】(1)设数列的公差为，数列的公比为，‎ 解得，‎ ‎(2) ，‎ ‎①②，得 当时，，‎ ‎∴当时，．‎ ‎2．（2019江西高考）已知数列的前项和（其中为常数），且，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】(1)∵当时，，‎ 当时，，‎ 当或时，，且，‎ ‎∵，∴且，∴，‎ 当时，， ‎ 综上所述．‎ ‎(2) ，则 ‎①②，得 ‎3．（2019惠州调研）已知数列的前项和为，对任意，有．‎ ‎（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎【解析】（1）∵ 对任意，有，‎ ‎∴，得． ‎ 又由，得 ．‎ 当且时，‎ 有，‎ 即， ∴，‎ ‎∴是以为首项，为公比的等比数列．‎ 需验证取,时也成立.‎ ‎∴，有． ‎ ‎∴数列的通项公式为．‎ ‎（2）由（1）得，，‎ 设数列 的前项和为，‎ 则 ‎ 两式相减，得 ‎4．（2019安徽高考）设函数的所有正的极小值点从小到大排成的数列为．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设的前项和为，求．‎ ‎【解析】（1），‎ 得：当时，取极小值，‎ 得：．‎ ‎（2）由（1）得：．‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 得： 当时，，‎ 当时，，‎ 当时，．‎ ‎5．（2019湖南高考）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了％．预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第年年底企业上缴资金后的剩余资金为万元．‎ ‎（1）用表示，，并写出与的关系式；‎ ‎（2）若公司希望经过年使企业的剩余资金为万元，试确定企业每年上缴资金的值（用表示）．‎ ‎【解析】（1），‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，‎ 由题意，，‎ 故该企业每年上缴资金的值为缴时，‎ 经过年企业的剩余资金为元．‎ ‎6．（2019湖北高考）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为．‎ ‎（1）求等差数列的通项公式；‎ ‎（2）若成等比数列，求数列的前项和．‎ ‎【解析】（1）设等差数列的公差为，‎ 则，，‎ 由题意得，‎ 解得，或．‎ ‎∴，或．‎ ‎（2）当时，分别为，不成等比数列；‎ 当时，分别为，成等比数列，满足条件．‎ 故 ‎ 记数列的前项和为．‎ 当时，；当时，；‎ 当时，‎ ‎ 当时，满足此式．‎ 综上， ‎