2008-2012天津高考数学理科试卷及答案精确版

2008-2012天津高考数学理科试卷及答案精确版

‎2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）‎ 数学（理工类）‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．第I卷1至2页，第II卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 祝各位考生考试顺利！‎ 第I卷 注意事项：‎ ‎ 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上．并在规定位置粘贴考试用条形码．‎ ‎ 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效．‎ ‎ 3．本卷共10小题，每小题5分，共50分．‎ 参考公式：‎ ‎ 如果事件互斥，那么 球的表面积公式 ‎ 球的体积公式 ‎ 如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径 ‎ ‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．是虚数单位，（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）‎ A．2 B．‎3 ‎ C．4 D．5‎ ‎3．设函数，则是（ ）‎ A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 ‎4．设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎5．设椭圆上一点到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则到右准线的距离为（ ）‎ A．6 B．‎2 ‎ C． D．‎ ‎6．设集合，，，则的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C．或 D．或 ‎7．设函数的反函数为，则（ ）‎ A．在其定义域上是增函数且最大值为1‎ B．在其定义域上是减函数且最小值为0‎ C．在其定义域上是减函数且最大值为1‎ D．在其定义域上是增函数且最小值为0‎ ‎8．已知函数则不等式的解集是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数．令，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（ ）‎ A．1344种 B．1248种 C．1056种 D．960种 ‎2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）‎ 数学（理工类）‎ 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎1．答卷前将密封线内的项目填写清楚．‎ ‎2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．‎ ‎3．本卷共12小题，共100分．‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．‎ ‎11．的二项展开式中的系数是 （用数字作答）．‎ ‎12．一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为 ．‎ B A C D ‎13．已知圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与圆相交于两点，且，则圆的方程为 ．‎ ‎14．如图，在平行四边形中，，，‎ 则 ．‎ ‎15．已知数列中，，，则 ．‎ ‎16．设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，这时的取值的集合为 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知，．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为．‎ ‎（Ⅰ）求乙投球的命中率；‎ ‎（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ A B C D P 如图，在四棱锥中，底面是矩形．已知，，，，．‎ ‎（Ⅰ）证明平面；‎ ‎（Ⅱ）求异面直线与所成的角的大小；‎ ‎（Ⅲ）求二面角的大小．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知函数，其中．‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是．‎ ‎（Ⅰ）求双曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围．‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 在数列与中，，，数列的前项和满足，为与的等比中项，．‎ ‎（Ⅰ）求，的值；‎ ‎（Ⅱ）求数列与的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）设，证明．‎ ‎2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）‎ 数学（理工类）参考解答 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．‎ ‎1．A 2．D 3．B 4．C 5．B 6．A 7．D 8．C 9．A 10．B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．‎ ‎11．40 12．24 13． 14．3‎ ‎15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、特殊角三角函数值、两角和的正弦、两角差的余弦、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．‎ ‎（Ⅰ）解法一：因为，所以，于是 ‎．‎ ‎．‎ 解法二：由题设得，即．‎ 又，从而，解得或．‎ 因为，所以．‎ ‎（Ⅱ）解：因为，故．‎ ‎，．‎ 所以，‎ ‎．‎ ‎18．本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．‎ ‎（Ⅰ）解：设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件，‎ 由题意得 ‎，‎ 解得或（舍去），所以乙投球的命中率为．‎ ‎（Ⅱ）解：由题设和（Ⅰ）知，，，．‎ 可能的取值为0，1，2，3，故 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 的分布列为 的数学期望．‎ ‎19．本小题主要考查直线和平面垂直、异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．‎ ‎（Ⅰ）证明：在中，由题设，，，可得，于是．在矩形中，，又，所以平面．‎ ‎（Ⅱ）解：由题设，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角．‎ A B C D P H E 在中，由余弦定理得 ‎．‎ 由（Ⅰ）知平面，平面，‎ 所以，因而，于是是直角三角形，‎ 故．‎ 所以异面直线与所成的角的大小为．‎ ‎（Ⅲ）解：过点作于，过点作于，连结．‎ 因为平面，平面，所以．又，因而平面，故为在平面内的射影．由三垂线定理可知，．从而是二面角的平面角．‎ 由题设可得，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎．‎ 于是在中，．‎ 所以二面角的大小为．‎ ‎20．本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．满分12分．‎ ‎（Ⅰ）解：，由导数的几何意义得，于是．‎ 由切点在直线上可得，解得．‎ 所以函数的解析式为．‎ ‎（Ⅱ）解：．‎ 当时，显然，这时在，内是增函数．‎ 当时，令，解得．‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以在，内是增函数，在，内是减函数．‎ ‎（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，在上的最大值为与中的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当 ‎ 即 对任意的成立．‎ 从而得，所以满足条件的的取值范围是．‎ ‎21．本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．满分14分．‎ ‎（Ⅰ）解：设双曲线的方程为，由题设得 ‎ 解得 所以双曲线的方程为．‎ ‎（Ⅱ）解：设直线的方程为，点，‎ 的坐标满足方程组 将①式代入②式，得，整理得 ‎．‎ 此方程有两个不等实根，于是，且 ‎．整理得 ‎． ③‎ 由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足 ‎，．‎ 从而线段的垂直平分线的方程为 ‎．‎ 此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．由题设可得 ‎．‎ 整理得 ‎，．‎ 将上式代入③式得，‎ 整理得 ‎，．‎ 解得或．‎ 所以的取值范围是．‎ ‎22．本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等式证明、数学归纳法等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分14分．‎ ‎（Ⅰ）解：由题设有，，解得．由题设又有，，解得．‎ ‎（Ⅱ）解法一：由题设，，，及，，‎ 进一步可得，，，，猜想 ‎，，．‎ 先证，．‎ 当时，，等式成立．当时用数学归纳法证明如下：‎ ‎（1）当时，，等式成立．‎ ‎（2）假设当时等式成立，即，．‎ 由题设，‎ ‎， ①‎ ‎． ②‎ ‎①的两边分别减去②的两边，整理得，从而 ‎．‎ 这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何的成立．‎ 综上所述，等式对任何的都成立．‎ 再用数学归纳法证明，．‎ ‎（1）当时，，等式成立．‎ ‎（2）假设当时等式成立，即，那么 ‎．‎ 这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何的都成立．‎ 解法二：由题设 ‎， ①‎ ‎． ②‎ ‎①的两边分别减去②的两边，整理得，，所以 ‎，‎ ‎，‎ ‎……‎ ‎，．‎ 将以上各式左右两端分别相乘，得 ‎，‎ 由（Ⅰ）并化简得 ‎，．‎ 上式对，也成立．‎ 由题设有，所以，即 ‎，．‎ 令，则，即．由得，．所以 ‎．即 ‎，．‎ 解法三：由题设有，，所以 ‎，‎ ‎，‎ ‎……‎ ‎，．‎ 将以上各式左右两端分别相乘，得 ‎，‎ 化简得 ‎，．‎ 由（Ⅰ），上式对，也成立．所以 ‎，．‎ 上式对也成立．‎ 以下同解法二，可得，．‎ ‎（Ⅲ）证明：‎ ‎．‎ 当，时，‎ ‎．‎ 注意到，故 ‎．‎ 当，时，‎ ‎．‎ 当，时，‎ ‎．‎ 当，时，‎ ‎．‎ 所以，‎ 从而时，有 总之，当时有，即．‎ ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）‎ 一、 选择题（每小题5分 ）‎ （1） i是虚数单位，=‎ ‎（A）1+2i （B）-1-2i （C）1-2i （D）-1+2i ‎（2）设变量x，y满足约束条件：.则目标函数z=2x+3y的最小值为 ‎（A）6 （B）7 （C）8 （D）23‎ ‎（3）命题“存在R，‎0”‎的否定是 ‎（A）不存在R, >0 （B）存在R, 0 ‎ ‎（C）对任意的R, 0 （D）对任意的R, >0‎ ‎（4）设函数则 A在区间内均有零点。‎ B在区间内均无零点。‎ C在区间内有零点，在区间内无零点。‎ D在区间内无零点，在区间内有零点。‎ ‎（5）阅读右图的程序框图，则输出的S= ‎ A 26 B ‎35 C 40 D 57‎ ‎(6）设若的最小值为 ‎ A 8 B ‎4 C 1 D ‎ ‎（7）已知函数的最小正周期为，为了得到函数 ‎ 的图象，只要将的图象 ‎ A 向左平移个单位长度 B 向右平移个单位长度 ‎ C 向左平移个单位长度 D 向右平移个单位长度 ‎（8）已知函数若则实数的取值范围是 ‎ A B C D ‎ ‎（9）．设抛物线=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，=2，则BCF与ACF的成面积之比=‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（10）.0＜b＜1+a,若关于x 的不等式＞的解集中的整数恰有3个，则 ‎（A）-1＜a＜0 （B）0＜a＜1 （C）1＜a＜3 （D）3＜a＜6‎ 二．填空题：（6小题，每题4分，共24分）‎ ‎（11）某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调 ‎ 查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取 ‎ 一个容量为120的样本。已知该学院的A专业有380名学生，‎ B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取____名学生。‎ ‎（12）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则 a=_______‎ ‎(13) 设直线的参数方程为（t为参数），直线的方程为y=3x+4则与的距离为_______‎ ‎(14)若圆与圆（a>0）的公共弦的长为，‎ 则a=___________‎ ‎(15)在四边形ABCD中，==（1，1），，则四边形ABCD的面积是 ‎ ‎（16）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个（用数字作答）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（满分12分）在⊿ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA ‎(I) 求AB的值： ‎ ‎(II) 求sin的值 ‎（18）（满分12分）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。从这10件产品中任取3件，求：‎ ‎（I） 取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；‎ ‎（II） 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。 ‎ ‎（19）（满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD ‎ ‎(I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；‎ ‎(II) 证明平面AMD平面CDE；‎ ‎（III）求二面角A-CD-E的余弦值 ‎（20）（满分12分）‎ 已知函数其中 （1） 当时，求曲线处的切线的斜率；‎ （2） 当时，求函数的单调区间与极值。‎ ‎（21）（满分14分）‎ 以知椭圆的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交与两点，且。‎ （1） 求椭圆的离心率 ‎ （2） 求直线AB的斜率；‎ （3） 设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值 ‎（22）（满分14分）已知等差数列{}的公差为d（d0），等比数列{}的公比为q（q>1）。设=+…..+ ,=-+…..+(-1 ,n (I) 若== 1，d=2，q=3，求 的值；‎ (II) 若=1，证明（1-q）-（1+q）=，n； ‎ ‎(Ⅲ) 若正数n满足2nq，设的两个不同的排列， ， 证明。‎ ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）‎ 数学（理工类）参考解答 一． 选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。‎ ‎（1）D （2）B （3）D （4）D （5） C ‎（6）B （7）A （8）C （9）A （10）C 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分24分。‎ ‎（11） 40 （12） （13）‎ ‎（14） 1 （15） （16）324‎ 三．解答题 ‎（17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。满分12分。‎ ‎（Ⅰ）解：在△ABC中，根据正弦定理，‎ 于是AB=‎ ‎（Ⅱ）解：在△ABC中，根据余弦定理，得cosA=‎ 于是 sinA=‎ ‎ 从而sin‎2A=2sinAcosA=,cos‎2A=cos‎2A-sin‎2A=‎ ‎ 所以 sin(‎2A-)=sin2Acos-cos2Asin=‎ ‎(18)本小题主要考查古典概型及计算公式、离散型随机变量的分布列和数学期望、互斥事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。‎ ‎（Ⅰ）解：由于从10件产品中任取3件的结果为，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X=k)= ,k=0,1,2,3.‎ 所以随机变量X的分布列是 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P X的数学期望EX=‎ ‎（Ⅱ）解：设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1“恰好取出2件一等品“为事件A2，”恰好取出3件一等品”为事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1∪A2∪A3而 P(A2)=P(X=2)= ,P(A3)=P(X=3)= ,‎ 所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= ++=‎ ‎(19)本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力。满分12分.‎ 方法一：（Ⅰ）解：由题设知，BF//CE，所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点，连结EP，PC。因为FEAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD内,故EP⊥PC，EP⊥AD。由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故∠CED=60°。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°‎ ‎（II）证明：因为 ‎（III）‎ 由（I）可得，‎ ‎ w 方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，‎ 点为坐标原点。设依题意得 ‎ ‎（I） ‎ 所以异面直线与所成的角的大小为.‎ ‎（II）证明： ，‎ ‎（III）‎ 又由题设，平面的一个法向量为 ‎（20）本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。‎ ‎（I）解：‎ ‎（II）‎ 以下分两种情况讨论。‎ ‎（1）＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎（2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ ‎ ‎（21）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力，满分14分 （I） 解：由//且，得，从而 ‎ 整理，得，故离心率 解：由（I）得，所以椭圆的方程可写为 ‎ 设直线AB的方程为，即. ‎ ‎ 由已知设，则它们的坐标满足方程组 消去y整理，得.‎ 依题意，‎ 而 ①‎ ‎ ②‎ 由题设知，点B为线段AE的中点，所以 ‎ ③‎ 联立①③解得，‎ 将代入②中，解得.‎ ‎(III)解法一：由（II）可知 当时，得，由已知得.‎ 线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴 的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为.‎ 直线的方程为，于是点H（m，n）的坐标满足方程组 ‎ ， 由解得故 当时，同理可得 ‎ 解法二：由（II）可知 当时，得,由已知得 由椭圆的对称性可知B，，C三点共线，因为点H（m，n）在的外接圆上，‎ 且，所以四边形为等腰梯形.‎ ‎ 由直线的方程为,知点H的坐标为.‎ 因为，所以，解得m=c（舍），或.‎ 则，所以.‎ 当时同理可得 ‎（22）本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力，满分14分。‎ ‎（Ⅰ）解：由题设，可得 所以，‎ ‎（Ⅱ）证明：由题设可得则 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ① 式减去②式，得 ‎ ① 式加上②式，得 ‎ ③‎ ② 式两边同乘q，得 ‎ ‎ 所以，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅲ)证明：‎ ‎ ‎ 因为所以 ‎ ‎ （1） 若，取i=n （2） 若，取i满足且 由（1）,(2)及题设知，且 ‎ ‎ ① 当时，得 即，…，‎ 又所以 ‎ ‎ 因此 ② 当同理可得，因此 综上，‎ ‎2010年高考天津卷理科 一、选择题 ‎（1）i 是虚数单位，复数 ‎ （A）1＋i （B）5＋5i （C）-5-5i （D）-1－i ‎ ‎（2）函数f（x）=的零点所在的一个区间是 ‎（A）（－2，－1） （B）（－1,0） （C）（0,1） （D）（1,2）‎ ‎（3）命题“若f（x）是奇函数，则f（-x）是奇函数”的否命题是 ‎ （A）若f（x） 是偶函数，则f（-x）是偶函数 （B）若f（x）不是奇函数，则f（-x）不是奇函数 ‎ （C）若f（-x）是奇函数，则f（x）是奇函数 （D）若f（-x）不是奇函数，则f（x）不是奇函数 ‎（4）阅读右边的程序框图，若输出s的值为-7，则判断框内可填写 ‎ （A）i＜3？ （B）i＜4？ （C）i＜5？ （D）i＜6？‎ ‎（5）已知双曲线的一条渐近线方程是y=,它的一个 焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为 ‎ （A） （B） （C）（D）‎ ‎（6）已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，‎ 且，则数列的前5项和为 ‎ （A）或5 （B）或5 （C） （D）‎ ‎（7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（8）若函数f（x）=,若f（a）>f（-a）,则实数a的取值范围是 ‎ （A）（-1，0）∪（0，1） （B）（-∞，-1）∪（1,+∞） ‎ ‎ （C）（-1，0）∪（1,+∞） （D）（-∞，-1）∪（0,1）‎ ‎（9）设集合A=若AB,则实数a,b必满足 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（10）如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有 ‎（A）288种 （B）264种 （C）240种 （D）168种 二、填空题 ‎（11）甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为_________ 和______。‎ ‎（12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为__________‎ ‎（13）已知圆C的圆心是直线（t为参数）与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为_________‎ ‎（14）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，‎ 若,则的值为_____。‎ ‎（15）如图，在中，,,,则________．‎ ‎（16）设函数，对任意， 恒成立，则实数的取值范围是________．‎ 三、解答题 ‎（17）（本小题满分12分）已知函数 ‎ （Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；‎ ‎ （Ⅱ）若，求的值。‎ ‎（18）．（本小题满分12分）某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响。‎ ‎ （Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率 ‎ （Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。另外2次未击中目标的概率；‎ ‎ （Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列。‎ ‎（19）（本小题满分12分）如图，在长方体中，、‎ 分别是棱,‎ 上的点，,‎ ‎ （1）求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎ （2）证明平面 ‎ （3）求二面角的正弦值。‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ ‎ 已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。‎ ‎ （1）求椭圆的方程；‎ ‎ （2）设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为（），点 在线段的垂直平分线上，且，求的值 ‎（21）（本小题满分14分）‎ ‎ 已知函数 ‎ （Ⅰ）求函数的单调区间和极值；‎ ‎ （Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，‎ ‎ （Ⅲ）如果，且，证明 ‎（22）（本小题满分14分）‎ ‎ 在数列中，，且对任意．，，成等差数列，其公差为。‎ ‎ （Ⅰ）若=，证明，，成等比数列（）‎ ‎ （Ⅱ）若对任意，，，成等比数列，其公比为。‎ ‎ （i）设1.证明是等差数列；‎ ‎ （ii）若，证明 ‎2010参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。‎ ‎ （1）A （2）B （3）B （4）D （5）B （6）C （7）A （8）C （9）D （10）B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分24分。‎ ‎（11）24:23 （12） （13） （14） （15） （16）‎ 三、解答题 ‎（17）本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。‎ ‎ （1）解：由，得 ‎ ‎ ‎ 所以函数的最小正周期为 ‎ 因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又 ‎，所以函数在区间上的最大值为2，最小值为-1‎ ‎ （Ⅱ）解：由（1）可知 ‎ 又因为，所以 ‎ 由，得 ‎ 从而 ‎ 所以 ‎18．本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分。‎ ‎ （1）解：设为射手在5次射击中击中目标的次数，则~．在5次射击中，恰有2次击中目标的概率 ‎ ‎ ‎ （Ⅱ）解：设“第次射击击中目标”为事件；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件,则 ‎ ‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ （Ⅲ）解：由题意可知，的所有可能取值为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ =‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以的分布列是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎6‎ P ‎（19）本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识， 考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，满分12分。‎ 方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，‎ ‎ 点A为坐标原点，设,依题意得,‎ ‎ ,,‎ ‎ 解：易得,‎ ‎ 于是 ‎ 所以异面直线与所成角的余弦值为 ‎ 证明：易知,,‎ ‎ 于是·=0，·=0．因此，,,又 ‎ 所以平面 ‎ （Ⅲ）解：设平面的法向量，则,即 ‎ 不妨令X=1,可得。由（2）可知，为平面的一个法向量。‎ ‎ 于是，从而 ‎ 所以二面角的正弦值为 ‎ 方法二：（1）解：设AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1．CE=‎ 连接B‎1C,BC1，设B‎1C与BC1交于点M,易知A1D∥B‎1C，由 ‎,可知EF∥BC1．故是异面直线EF与 A1D所成的角，易知BM=CM=,所以 ,所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为 ‎ （Ⅱ）证明：连接AC，设AC与DE交点N 因为，所以，从而，又由于,所以，故AC⊥DE,又因为CC1⊥DE且，所以DE⊥平面ACF，从而AF⊥DE．‎ ‎ 连接BF，同理可证B‎1C⊥平面ABF,从而AF⊥B‎1C,所以AF⊥A1D因为，所以AF⊥平面A1ED ‎ （Ⅲ）解：连接A1N．FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF, A1N平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A1N,故为二面角A1-ED-F的平面角 ‎ 易知，所以，又所以，在 ‎ 连接A‎1C1,A‎1F 在 ‎ 。所以 所以二面角A1-DE-F正弦值为 ‎（20）本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力，满分12分 ‎ （Ⅰ）解：由，得，再由，得 ‎ 由题意可知， ‎ ‎ 解方程组 得 a=2,b=1‎ ‎ 所以椭圆的方程为 ‎ （Ⅱ）解：由（1）可知A（-2,0）。设B点的坐标为（x1,,y1）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+2）,‎ ‎ 于是A,B两点的坐标满足方程组 ‎ 由方程组消去Y并整理，得 ‎ 由得 ‎ ‎ ‎ 设线段AB是中点为M，则M的坐标为 ‎ 以下分两种情况：‎ ‎ （1）当k=0时，点B的坐标为（2,0）。线段AB的垂直平分线为y轴，于是 ‎ （2）当K时，线段AB的垂直平分线方程为 ‎ 令x=0，解得 ‎ 由 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 整理得 ‎ 综上 ‎（21）本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力，满分14分 ‎ （Ⅰ）解：f’‎ ‎ 令f’（x）=0,解得x=1‎ ‎ 当x变化时，f’（x），f（x）的变化情况如下表 X ‎（）‎ ‎1‎ ‎（）‎ f’（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f（x）‎ 极大值 ‎ 所以f（x）在（）内是增函数，在（）内是减函数。‎ ‎ 函数f（x）在x=1处取得极大值f（1）且f（1）=‎ ‎ （Ⅱ）证明：由题意可知g（x）=f（2-x）,得g（x）=（2-x）‎ ‎ 令F（x）=f（x）-g（x）,即 ‎ 于是 ‎ 当x>1时，2x-2>0,从而’（x）>0,从而函数F（x）在[1,+∞）是增函数。‎ 又F（1）=F（x）>F（1）=0,即f（x）>g（x）．‎ ‎ （Ⅲ）证明：（1）‎ ‎ 若 ‎ （2）若 ‎ 根据（1）（2）得 ‎ 由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>‎ ‎．因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f（x）在区间（-∞，1）内事增函数，所以>,即>2．‎ ‎（22）本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分14分。‎ ‎ （Ⅰ）证明：由题设，可得。‎ ‎ 所以 ‎ =‎ ‎ =2k（k+1）‎ ‎ 由=0，得 ‎ 于是。‎ ‎ 所以成等比数列。‎ ‎ （Ⅱ）证法一：（i）证明：由成等差数列，及成等比数列，得 ‎ 当≠1时，可知≠1，k ‎ 从而 ‎ 所以是等差数列，公差为1。‎ ‎ （Ⅱ）证明：，，可得，从而=1．由（Ⅰ）有 ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ 因此，‎ ‎ ‎ ‎ 以下分两种情况进行讨论：‎ ‎ 当n为偶数时，设n=‎2m（）‎ ‎ 若m=1,则．‎ ‎ 若m≥2，则 ‎ +‎ ‎ ‎ ‎ 所以 ‎（2）当n为奇数时，设n=‎2m+1（）‎ ‎ ‎ ‎ 所以从而···‎ ‎ 综合（1）（2）可知，对任意,,有 ‎ 证法二：（i）证明：由题设，可得 ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ 由可知。可得，‎ ‎ 所以是等差数列，公差为1。‎ ‎ （ii）证明：因为所以。‎ ‎ 所以，从而，。于是，由（i）可知所以是公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得= ，故。‎ ‎ 从而。‎ ‎ 所以，由，可得。‎ ‎ 于是，由（i）可知 ‎ 以下同证法一。‎ 绝密★启用前 ‎2011年高考理科数学试题（天津卷）‎ 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。‎ 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式：‎ 如果事件A，B互斥，那么 如果事件A，B相互独立，那么 ‎ ‎ 棱柱的体积公式 圆锥的体积公式 其中S表示棱柱的底面面积 其中S表示圆锥的底面面积 h表示棱柱的高 h表示圆锥的高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．是虚数单位，复数=‎ ‎ A． 　　　 B．‎ ‎ C． 　　　　 D．‎ ‎2．设则“且”是“”的 ‎ A．充分而不必要条件　　　　 　　 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件　　　　　　　　 D．即不充分也不必要条件 ‎ ‎3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为 ‎ A．3 B．4‎ ‎ C．5 D．6‎ ‎4．已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，为 的前项和，，则的值为 ‎ A．-110 　　 B．-90‎ ‎ C．90 　 D．110‎ ‎5．在的二项展开式中，的系数为 ‎ A． 　　　 B． 　　　 C． 　　　　 D．‎ ‎6．如图，在△中，是边上的点，且，则的值为 ‎ A．　　　 B．‎ ‎ C． 　　 D．‎ ‎7．已知则 ‎ A．　 B． C．　　 D．‎ ‎8．对实数和，定义运算“”： 设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是 ‎ A． 　　　 B．‎ ‎ C． 　　　 D．‎ 第II卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法 从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人 数为___________‎ ‎10．一个几何体的三视图如右图所示（单位：），则该几何体的体积 为__________‎ ‎11．已知抛物线的参数方程为（为参数）若斜率为1的 直线经过抛物线的焦点，且与圆相切，‎ 则=________.‎ ‎12．如图，已知圆中两条弦与相交于点，是延长线上一 点，且若与圆相切，则 线段的长为__________.‎ ‎13．已知集合，则集合=________.‎ ‎14．已知直角梯形中，//,,,是腰上的动点，则的最小值为____________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）求的定义域与最小正周期；‎ ‎（II）设，若求的大小．‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）‎ ‎（Ⅰ）求在1次游戏中，‎ ‎ （i）摸出3个白球的概率；‎ ‎ （ii）获奖的概率；‎ ‎（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数的分布列及数学期望 . ‎ ‎17．（本小题满分13分）如图，在三棱柱中，‎ 是正方形的中心，，平面，且 ‎（Ⅰ）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）设为棱的中点，点在平面内，且平面，求线段的 长．‎ ‎18．（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点．已知△为等腰三角形．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程．‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 已知，函数（的图像连续不断）‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，证明：存在，使；‎ ‎（Ⅲ）若存在均属于区间的，且，使，证明 ‎．‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 已知数列与满足：， ，且 ‎．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）设，证明：是等比数列；‎ ‎（III）设证明：．‎ ‎2011参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分40分.‎ BABDCDCB 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分30分.‎ ‎9．12 10． 11． 12． 13． 14．5‎ 三、解答题 ‎15．本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦、余弦公式，正切函数的性质等基础知识，考查基本运算能力.满分13分.‎ ‎ （I）解：由，‎ ‎ 得.‎ 所以的定义域为 的最小正周期为 ‎ （II）解：由 得 整理得 因为，所以 因此 由，得.‎ 所以 ‎16．本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.满分13分.‎ ‎ （I）（i）解：设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件则 ‎ ‎ ‎ （ii）解：设“在1次游戏中获奖”为事件B，则，又 ‎ ‎ ‎ 且A2，A3互斥，所以 ‎ （II）解：由题意可知X的所有可能取值为0，1，2.‎ ‎ ‎ ‎ 所以X的分布列是 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ X的数学期望 ‎17．本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分13分.‎ ‎ 方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点.‎ ‎ 依题意得 ‎ ‎ ‎ （I）解：易得，‎ ‎ 于是 ‎ 所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为 ‎ （II）解：易知 ‎ 设平面AA1C1的法向量，‎ ‎ 则即 ‎ 不妨令可得，‎ ‎ 同样地，设平面A1B1C1的法向量，‎ ‎ 则即不妨令，‎ 可得 于是 从而 所以二面角A—A1C1—B的正弦值为 ‎ （III）解：由N为棱B1C1的中点，‎ 得设M（a，b，0），‎ 则 由平面A1B1C1，得 即 解得故 因此，所以线段BM的长为 方法二：‎ ‎（I）解：由于AC//A1C1，故是异面直线AC与A1B1所成的角.‎ 因为平面AA1B1B，又H为正方形AA1B1B的中心，‎ 可得 因此 所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为 ‎（II）解：连接AC1，易知AC1=B1C1，‎ 又由于AA1=B1A1，A1C1=A1=C1，‎ 所以≌，过点A作于点R，‎ 连接B1R，于是，故为二面角A—A1C1—B1的平面角.‎ 在中，‎ 连接AB1，在中，‎ ‎，‎ 从而 所以二面角A—A1C1—B1的正弦值为 ‎（III）解：因为平面A1B1C1，所以 取HB1中点D，连接ND，由于N是棱B1C1中点，‎ 所以ND//C1H且.‎ 又平面AA1B1B，‎ 所以平面AA1B1B，故 又 所以平面MND，连接MD并延长交A1B1于点E，‎ 则 由 得，延长EM交AB于点F，‎ 可得连接NE.‎ 在中，‎ 所以 可得 连接BM，在中，‎ ‎18．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.满分13分.‎ ‎ （I）解：设 ‎ 由题意，可得 即 整理得（舍），‎ 或所以 ‎（II）解：由（I）知 可得椭圆方程为 直线PF2方程为 A，B两点的坐标满足方程组 消去y并整理，得 解得 ‎ 得方程组的解 不妨设 设点M的坐标为，‎ 由 于是 由 即，‎ 化简得 将 所以 因此，点M的轨迹方程是 ‎19．本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.‎ ‎ （I）解：， ‎ ‎ 令 ‎ 当x变化时，的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 极大值 ‎ 所以，的单调递增区间是的单调递减区间是 ‎ （II）证明：当 ‎ 由（I）知在（0，2）内单调递增，‎ ‎ 在内单调递减.‎ 令 由于在（0，2）内单调递增，‎ 故 取 所以存在 即存在 ‎（说明：的取法不唯一，只要满足即可）‎ ‎（III）证明：由及（I）的结论知，‎ 从而上的最小值为 又由，知 故 从而 ‎20．本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.‎ ‎ （I）解：由 ‎ 可得 又 ‎（II）证明：对任意 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎ ③‎ ‎②—③，得 ④‎ 将④代入①，可得 即 又 因此是等比数列.‎ ‎（III）证明：由（II）可得，‎ 于是，对任意，有 将以上各式相加，得 即，‎ 此式当k=1时也成立.由④式得 从而 所以，对任意，‎ 对于n=1，不等式显然成立.‎ 所以，对任意 ‎2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）‎ 数学（理工类）‎ 本试卷分为第I卷（选择题〉和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分,考试用时120分钟 第I卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎１． 是虚数单位，复数=‎ ‎（A） 　（Ｂ）　　　（Ｃ）　　　（Ｄ）‎ ‎【答案】B ‎【命题意图】本试题主要考查了复数的概念以及复数的加、减、乘、除四则运算.‎ ‎【解析】===‎ ‎2．设，则“”是“为偶函数”的 ‎（A）充分而不必要条件 （Ｂ）必要而不充分条件 ‎（Ｃ）充分必要条件 （Ｄ）既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【命题意图】本试题主要考查了三角函数的奇偶性的判定以及充分条件与必要条件的判定.‎ ‎【解析】∵为偶函数，反之不成立，∴“”是“为偶函数”的充分而不必要条件.‎ ‎3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入的值为时，输出的值为 ‎（A） 　（Ｂ）　　　（Ｃ）　　　（Ｄ）‎ ‎【答案】C ‎【命题意图】本试题主要考查了算法框图的读取，并能根据已给的算法程序进行运算.‎ ‎【解析】根据图给的算法程序可知：第一次，第二次，则输出.‎ ‎4．函数在区间内的零点个数是 ‎（A）0 　（Ｂ）1　　　（Ｃ）2　　　（Ｄ）3‎ ‎【答案】B ‎【命题意图】本试题主要考查了函数与方程思想，函数的零点的概念，零点存在定理以及作图与用图的数学能力.‎ ‎【解析】解法1：因为，，即且函数在内连续不断，故在内的零点个数是1.‎ 解法2：设，，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B正确.‎ ‎5．在的二项展开式中，的系数为 ‎（A）10 　（Ｂ）-10　　　（Ｃ）40　　　（Ｄ）-40‎ ‎【答案】D ‎【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中的通项公式的运用，并借助于通项公式分析项的系数.‎ ‎【解析】∵=，∴，即，∴的系数为.‎ ‎6．在△ABC中，内角，，所对的边分别是，已知，，则cosC=‎ ‎（A） 　（Ｂ）　　　（Ｃ）　　　（Ｄ）‎ ‎【答案】A ‎【命题意图】本试题主要考查了正弦定理、三角函数中的二倍角公式. 考查学生分析、转化与计算等能力.‎ ‎【解析】∵，由正弦定理得，又∵，∴，所以，易知，∴，=.‎ ‎7．已知△ABC为等边三角形，，设点P，Q满足，，，若，则 ‎（A） 　（Ｂ）　　　（Ｃ）　　　（Ｄ）‎ ‎【答案】A ‎【命题意图】本试题以等边三角形为载体，主要考查了向量加减法的几何意义，平面向量基本定理，共线向量定理及其数量积的综合运用.‎ ‎【解析】∵=，=，‎ 又∵，且，，，∴，，所以，解得.‎ ‎8．设，，若直线与圆相切，则的取值范围是 ‎（A） （Ｂ）‎ ‎（Ｃ）　　　（Ｄ）‎ ‎【答案】D ‎【命题意图】本试题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，重要不等式，一元二次不等式的解法，并借助于直线与圆相切的几何性质求解的能力.‎ ‎【解析】∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离为，所以，设，‎ 则，解得.‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9．某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调査，应从小学中抽取 所学校，中学中抽取 所学校.‎ ‎【答案】18，9‎ ‎【命题意图】本试题主要考查了统计中的分层抽样的概念以及样本获取的方法与计算.‎ ‎【解析】∵分层抽样也叫按比例抽样，由题知学校总数为250所，‎ 所以应从小学中抽取，中学中抽取.‎ ‎10．―个几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的体积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【命题意图】本试题主要考查了简单组合体的三视图的画法与体积的计算以及空间想象能力.‎ ‎【解析】由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体，所以其体积为：=.‎ ‎11．已知集合，集合,且，则 , .‎ ‎【答案】，‎ ‎【命题意图】本试题主要考查了集合的交集的运算及其运算性质，同时考查绝对值不等式与一元二次不等式的解法以及分类讨论思想.‎ ‎【解析】∵=,又∵，画数轴可知，.‎ ‎12．己知抛物线的参数方程为（为参数），其中，焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，若，点的横坐标是3，则 .‎ ‎【答案】2‎ ‎【命题意图】本试题主要考查了参数方程及其参数的几何意义，抛物线的定义及其几何性质.‎ ‎【解析】∵可得抛物线的标准方程为，∴焦点，∵点的横坐标是3，则，所以点，‎ 由抛物线得几何性质得，∵，∴，解得.‎ ‎13．如图，已知AB和AC是圆的两条弦.过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D,过点C作BD的平行线与圆相交于点Ｅ，与AB相交于点F，，，，则线段的长为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【命题意图】本试题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系，相交弦定理，切割线定理，相似三角形的概念、判定与性质.‎ ‎【解析】∵，，，由相交弦定理得，所以，又∵BD∥CE，∴，=，设，则，再由切割线定理得，即，解得，故.‎ ‎14．已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【命题意图】本试题主要考查了函数的图像及其性质，利用函数图像确定两函数的交点，从而确定参数的取值范围.‎ ‎【解析】∵函数的图像直线恒过定点，且，，，∴，，，由图像可知.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎15．（本小题满分13分）已知函数，.‎ ‎(Ⅰ)求函数的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【命题意图】‎ ‎【参考答案】‎ ‎【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为的数学模型，再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可。‎ ‎16．（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.‎ ‎（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率： ‎ ‎（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率： ‎ ‎（Ⅲ）用分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.‎ ‎【命题意图】‎ ‎【参考答案】‎ ‎【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点，近年来都通过概率问题来考查，且常考常新,对于此类考题，要注意认真审题，从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型，独立事件、互斥事件等概率模型求解，因此对概率型应用性问题，理解是基础，转化是关键.‎ ‎17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，丄平面，丄，丄，，，.‎ ‎(Ⅰ)证明丄；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）设E为棱上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为，求AE的长.‎ ‎【命题意图】‎ ‎【参考答案】‎ ‎【点评】试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题相似，但底面是非特殊 的四边形，一直线垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是第三问中点E的位置是不确定的，需要学生根据已知条件进行确定，如此说来就有难度，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好.‎ ‎18．(本小题满分13分）已知{}是等差数列，其前项和为，{}是等比数列,且=‎ ‎，，.‎ ‎(Ⅰ)求数列{}与{}的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)记，，证明.‎ ‎【命题意图】‎ ‎【参考答案】‎ ‎ ‎ ‎【点评】该试题命制比较直接，没有什么隐含的条件，就是等比与等差数列的综合应用，但方法多样，第二问可以用错位相减法求解证明，也可用数学归纳法证明，给学生思维空间留有余地，符合高考命题选拔性的原则.‎ ‎19．（本小题满分14分）设椭圆的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，为坐标原点.‎ ‎（Ⅰ）若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）若，证明直线的斜率满足.‎ ‎【命题意图】‎ ‎【参考答案】‎ ‎20．（本小题满分14分）已知函数的最小值为，其中.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若对任意的,有成立，求实数的最小值；‎ ‎（Ⅲ）证明.‎ ‎【命题意图】‎ ‎【参考答案】‎ ‎【点评】试题分为三问，题面比较简单，给出的函数比较常规，因此入手对于同学们来说没有难度，第二问中，解含参数的不等式时，要注意题中参数的讨论所有的限制条件，从而做到不重不漏；第三问中，证明不等式，应借助于导数证不等式的方法进行.‎ 试卷点评 该套试卷整体上来说与往年相比，比较平稳，试题中没有偏题和怪题，在考查了基础知识的基础上，还考查了同学们灵活运用所学知识的解决问题的能力.题目没有很多汉字的试题，都是比较简约型的.但是不乏也有几道创新试题，像选择题的第8题，填空题的13题，解答题第20题，另外别的试题保持了往年的风格，入题简单，比较好下手，但是做出来并不是很容易.整体上试题由梯度，由易到难，而且大部分试题适合同学们来解答体现了双基，考查了同学们的四大思想的运用，是一份比较好的试卷.‎