高考数学试题精编不等式 有解析

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高考数学试题精编不等式 有解析

‎2009年高考数学试题不等式 一、选择题 ‎1.(2009安徽卷理)若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分,则的值是 ‎ B ‎(A) (B) (C) (D) ‎ A x D y C O y=kx+‎ ‎[解析]:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC 由得A(1,1),又B(0,4),C(0,)‎ ‎∴△ABC=,设与的 交点为D,则由知,∴‎ ‎∴选A。 ‎ ‎2(2009安徽卷文)不等式组所表示的平面区域的面积等于 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎【解析】由可得,故阴 =,选C。‎ ‎【答案】C ‎3(2009安徽卷文)“”是“且”的 ‎ ‎ A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 ‎ ‎ C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【解析】易得时必有.若时,则可能有,选A。‎ ‎【答案】A ‎4(2009四川卷文)已知,,,为实数,且>.则“>”是“->-”的 ‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【解析】显然,充分性不成立.又,若->-和>都成立,则同向不等式相加得>‎ ‎ 即由“->-”“>”‎ ‎5(2009四川卷文)某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨,B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨,B原料3吨,销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是 ‎ A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元 ‎【答案】D ‎(3,4)‎ ‎(0,6)‎ O ‎(,0)‎ ‎9‎ ‎13‎ ‎【解析】设生产甲产品吨,生产乙产品吨,则有关系:‎ ‎ A原料 ‎ B原料 甲产品吨 ‎ 3‎ ‎ 2‎ ‎ 乙产品吨 ‎ ‎ ‎ 3‎ ‎ 则有:‎ ‎ 目标函数 ‎ 作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标,经验证知:‎ ‎ 当=3,=5时可获得最大利润为27万元,故选D ‎6.(2009安徽卷理)下列选项中,p是q的必要不充分条件的是 ‎ ‎(A)p:>b+d , q:>b且c>d ‎ ‎(B)p:a>1,b>1 q:的图像不过第二象限 ‎ ‎(C)p: x=1, q: ‎ ‎(D)p:a>1, q: 在上为增函数 ‎ ‎[解析]:由>b且c>d>b+d,而由>b+d >b且c>d,可举反例。选A ‎7.(2009山东卷理)设x,y满足约束条件 , ‎ 若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的值是最大值为12,‎ 则的最小值为( ). ‎ A. B. C. D. 4‎ x ‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ y ‎ O ‎ ‎-2 ‎ z=ax+by ‎ ‎3x-y-6=0 ‎ x-y+2=0 ‎ ‎【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z(a>0,b>0)‎ 过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时,‎ 目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大12,‎ 即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=,故选A.‎ 答案:A ‎【命题立意】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知2a+3b=6,求的最小值常用乘积进而用基本不等式解答. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎8.(2009湖南卷文)若,则的最小值为 . ‎ 解: ,当且仅当时取等号.‎ ‎9.(2009宁夏海南卷理)设x,y满足 ‎(A)有最小值2,最大值3 (B)有最小值2,无最大值 ‎(C)有最大值3,无最小值 (D)既无最小值,也无最大值 解析:画出可行域可知,当过点(2,0)时,,但无最大值。选B.‎ ‎10.(2009宁夏海南卷文)设满足则 ‎(A)有最小值2,最大值3 (B)有最小值2,无最大值 ‎(C)有最大值3,无最小值 (D)既无最小值,也无最大值w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出不等式表示的平面区域,如右图,由z=x+y,得y=-x+z,令z=0,画出y=-x的图象,当它的平行线经过A(2,0)时,z取得最小值,最小值为:z=2,无最大值,故选.B ‎11.(2009湖南卷理)已知D是由不等式组,所确定的平面区域,则圆 在区域D内 的弧长为 [ B]‎ A B C D ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【答案】:B ‎【解析】解析如图示,图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求,易知图中两直线的斜率分别是,所以圆心角即为两直线的所成夹角,所以,所以,而圆的半径是2,所以弧长是,故选B现。‎ ‎12.(2009天津卷理)设变量x,y满足约束条件:.则目标函数z=2x+3y的最小值为 ‎(A)6 (B)7 (C)8 (D)23‎ ‎【考点定位】本小考查简单的线性规划,基础题。‎ 解析:画出不等式表示的可行域,如右图,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 让目标函数表示直线在可行域上平移,知在点B自目标函数取到最小值,解方程组得,所以,故选择B。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎13.(2009天津卷理)设若的最小值为 ‎ A 8 B ‎4 C 1 D ‎ ‎【考点定位】本小题考查指数式和对数式的互化,以及均值不等式求最值的运用,考查了变通能力。‎ ‎【解析】因为,所以,‎ ‎,当且仅当即时“=”成立,故选择C ‎14.(2009天津卷理),若关于x 的不等式>的解集中的整数恰有3个,则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【考点定位】本小题考查解一元二次不等式,‎ 解析:由题得不等式>即,它的解应在两根之间,故有,不等式的解集为或。若不等式的解集为,又由得 ‎,故,即 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎15.(2009四川卷理)已知为实数,且。则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 ‎ C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【考点定位】本小题考查不等式的性质、简单逻辑,基础题。(同文7)‎ 解析:推不出;但,故选择B。‎ 解析2:令,则;由可得,因为,则,所以。故“”是“”的必要而不充分条件。‎ ‎16.(2009四川卷理)某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元,该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨,那么该企业可获得最大利润是 ‎ A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【考点定位】本小题考查简单的线性规划,基础题。(同文10)‎ 解析:设甲、乙种两种产品各需生产、吨,可使利润最大,故本题即 已知约束条件,求目标函数的最大值,可求出最优解为,故,故选择D。‎ ‎17.(2009福建卷文)在平面直角坐标系中,若不等式组(为常数)所表示的平面区域内的面积等于2,则的值为 A. -5 B. ‎1 C. 2 D. 3 ‎ 解析解析 如图可得黄色即为满足 的直线恒过(0,1),故看作直线绕点(0,1)旋转,当a=-5时,则可行域不是一个封闭区域,当a=1时,面积是1;a=2时,面积是;当a=3时,面积恰好为2,故选D.‎ ‎18.(2009重庆卷理)不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围为( )‎ A. B. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为对任意x恒成立,所以 ‎19.(2009重庆卷文)已知,则的最小值是( )‎ A.2 B. C.4 D.5‎ ‎【答案】C 解析因为当且仅当,且,即时,取“=”号。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 二、填空题 ‎1.(2009浙江理)若实数满足不等式组则的最小值是 .w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 答案:4 ‎ ‎【解析】通过画出其线性规划,可知直线过点时,‎ ‎2.(2009浙江卷文)若实数满足不等式组则的最小值是 .w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【命题意图】此题主要是考查了线性规划中的最值问题,此题的考查既体现了正确画线性区域的要求,也体现了线性目标函数最值求解的要求 ‎【解析】通过画出其线性规划,可知直线过点时,‎ ‎3.(2009北京文)若实数满足则的最大值为 .‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】.s.5.u本题主要考查线性规划方面的 基础知. 属于基础知识、基本运算的考查. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ 如图,当时,‎ 为最大值. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 故应填9.‎ ‎4.(2009北京卷理)若实数满足则的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【解析】本题主要考查线性规划方面 的基础知. 属于基础知识、基本运算 的考查.‎ ‎ 如图,当时,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 为最小值.‎ 故应填.‎ ‎5.(2009山东卷理)不等式的解集为 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【解析】:原不等式等价于不等式组①或②‎ 或③不等式组①无解,由②得,由③得,综上得,所以原不等式的解集为. ‎ 答案: ‎ ‎【命题立意】:本题考查了含有多个绝对值号的不等式的解法,需要根据绝对值的定义分段去掉绝对值号,最后把各种情况综合得出答案.本题涉及到分类讨论的数学思想.‎ ‎6.(2009山东卷文)某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为__________元. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【解析】:设甲种设备需要生产天, 乙种设备需要生产天, 该公司所需租赁费为元,则,甲、乙两种设备生产A,B两类产品的情况为下表所示: ‎ ‎ 产品 ‎ 设备 ‎ A类产品 ‎ ‎(件)(≥50) ‎ B类产品 ‎ ‎(件)(≥140) ‎ 租赁费 ‎ ‎(元) ‎ 甲设备 ‎ ‎5 ‎ ‎10 ‎ ‎200 ‎ 乙设备 ‎ ‎6 ‎ ‎20 ‎ ‎300 ‎ 则满足的关系为即:, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 作出不等式表示的平面区域,当对应的直线过两直线的交点(4,5)时,目标函数取得最低为2300元. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 答案:2300‎ ‎【命题立意】:本题是线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问题.. ‎ ‎7.(2009年上海卷理)若行列式中,元素4的代数余子式大于0,‎ 则x满足的条件是________________________ . ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】依题意,得: (-1)2×(9x-24)>0,解得: w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎8.(2009上海卷文) 已知实数x、y满足 则目标函数z=x-2y的最小值是___________. ‎ ‎【答案】-9‎ ‎【解析】画出满足不等式组的可行域如右图,目标函数化为:-z,画直线及其平行线,当此直线经过点A时,-z的值最大,z的值最小,A点坐标为(3,6),所以,z的最小值为:3-2×6=-9。‎ 三、解答题 ‎1.(2009江苏卷)(本小题满分16分) ‎ 按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为元,如果他卖出该产品的单价为元,则他的满意度为;如果他买进该产品的单价为元,则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和,则他对这两种交易的综合满意度为. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元,乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元,设产品A、B的单价分别为元和元,甲买进A与卖出B的综合满意度为,乙卖出A与买进B的综合满意度为 ‎(1)求和关于、的表达式;当时,求证:=; ‎ ‎(2)设,当、分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满意度为多少? ‎ ‎(3)记(2)中最大的综合满意度为,试问能否适当选取、的值,使得和同时成立,但等号不同时成立?试说明理由。 ‎ ‎【解析】‎ ‎ 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识,考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力。满分16分。‎ ‎(1) ‎ 当时,,‎ ‎, = w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(2)当时,‎ 由,‎ 故当即时,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 甲乙两人同时取到最大的综合满意度为。‎ ‎(3)(方法一)由(2)知:=‎ 由得:,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 令则,即:。‎ 同理,由得:‎ 另一方面,‎ 当且仅当,即=时,取等号。‎ 所以不能否适当选取、的值,使得和同时成立,但等号不同时成立。‎ ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎2.(2009湖北卷文)(本小题满分12分) ‎ ‎ 围建一个面积为‎360m2‎的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修),其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为‎2m的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位:元)。‎ ‎(Ⅰ)将y表示为x的函数: ‎ ‎(Ⅱ)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。‎ 解:(1)如图,设矩形的另一边长为a m 则-45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360‎ 由已知xa=360,得a=,‎ 所以y=225x+ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(II)‎ ‎.当且仅当225x=时,等号成立.‎ 即当x=‎24m时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是10440元. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎
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